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2023年河南省洛阳市宜阳县中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年河南省洛阳市宜阳县中考数学三模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省洛阳市宜阳县中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −11的绝对值为
A. 1 B. 11 C. −111 D. 111
2. 据统计，我国2023年一季度国内生产总值(GDP)约为28.5万亿元.数据“28.5万亿”用科学记数法表示为( )
A. 2.85×1013 B. 2.85×1012 C. 28.5×108 D. 2.85×109
3. 如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“豫”字所在面相对的面上的汉字是( )
A. 魅 B. 力 C. 中 D. 原
4. 下列运算正确的是( )
A. 2x+3y=5xy B. (x−3)2=x2−9
C. (xy2)2=x2y4 D. x4÷x3=x2
5. 如图，直线a//b，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线b上，若∠2=65°，则∠1是( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
6. 小明参加校园歌手比赛，唱功得80分，音乐常识得100分，综合知识得90分，学校按唱功、音乐常识、综合知识的6：2：2的比例计算总评成绩，那么小明的总评成绩是分．( )
A. 86 B. 88 C. 87 D. 93
7. 若关于x的方程2x2+4x+c=0没有实数根，则c的值可能为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 小高有三件运动上衣，分别为蓝色、白色和红色，有两条运动裤，分别是黑色和红色，一天他准备去运动场锻炼，随手拿出一件运动上衣和一条运动裤，则恰好都是红色的概率为( )
A. 16 B. 35 C. 13 D. 25
9. 张老师在化学实验室做实验时，将一杯100℃的开水放在石棉网上自然冷却至室温.水温T(℃)与时间t(min)的对应关系如图所示.根据图中所显示的信息，下列说法错误的是( )
A. 水温从100℃逐渐下降到35℃时用了6min
B. 当t=20时，水温是10℃
C. 水温随时间的增加而降低
D. 当0
A. 2π3
B. 2π3−1
C. π3
D. π3−12
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若二次根式 x−1有意义，则x可以是______ (写出一个x的值即可)．
12. 不等式组3x+6≥0x−22<1的解集是______ ．
13. 反比例函数y=k2+1x的图象过点M(x1,y1)、N(x2,y2)，若x1>x2>0，则y1 ______ y2(填“>”、“=”或“<”)．
14. 如图，长方形纸片ABCD中，点E是CD的中点，连接AE.按以下步骤作图：①分别以点A和点E为圆心，以大于12AE的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，且直线MN刚好经过点B，若DE=2，则BC的长度是______ ．
15. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=BC=4 2，AD=DE=2，∠ABC=∠ADE=90°，连接CE，CD，点O为CE的中点，连接OD.将△ADE绕点A在平面内旋转，当∠CDE=90°时，OD的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)化简：x−3x−2÷(5x−2−x−2)；
(2)计算：(3−π)0−(−13)−2+ 94．
17. (本小题9.0分)
新郑红枣是我省新郑市的特产，以其皮薄、肉厚、核小、味甜备受人们青睐.为了解甲、乙两种红枣的品质，质检员从甲、乙两种红枣中各随机抽取10颗，对这些红枣的品质(大小、甜度等)进行评分(百分制)，在对数据进行了整理后，绘制了如所示的统计图表．
甲、乙两种红枣得分表：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲种红枣得分(分)
75
78
83
84
85
87
92
94
96
96
乙种红枣得分(分)
78
80
83
85
88
89
90
90
93
94
甲、乙两种红枣得分统计表
红枣种类
平均数
中位数
众数
甲种红枣
87
86
a
乙种红枣
87
b
90
(1)a= ______ ，b= ______ ；
(2)你认为哪种红枣的品质更好些？请说明理由．
18. (本小题9.0分)
如图，已知一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A(1,n)，B(−2,−1)两点，与y轴交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式ax+b>mx的解集；
(3)若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
19. (本小题9.0分)
红旗渠，位于河南安阳林州市，是全国重点文物保护单位，被人称之为“人工天河”.某学校数学兴趣小组到红旗渠景区测量总干渠分水闸的楼高.如图，斜坡CD的坡底C、楼AB的底部B与点F在同一水平线上.已知斜坡的坡角为8°，斜坡CD长为10m，BC长为8.46m，在点D处测得楼顶A的仰角为30°，求楼AB的高.(结果精确到1m.sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14， 3≈1.73)
20. (本小题9.0分)
人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“圆，一中同长也.”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一，我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角，弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．
(1)如图1，AB是⊙O的切线，点C，D在⊙O上.求证：∠ADC=∠CAB；
(2)如图2，CE是⊙O的切线，连接AE交⊙O于点D，AB为⊙O的直径，若CE⊥AD，BC=2，⊙O的半径为5，求DE的长．
21. (本小题9.0分)
开学初，小华和小红去学校附近的商店购买学习用品.小华用24元钱购买的水笔是小红用20元钱购买的笔记本数量的2倍.已知每个笔记本的价格比每支水笔的价格多2元．
(1)求每支水笔和每个笔记本的价格分别为多少元；
(2)学校决定购买上面的两种学习用品共100个作为奖品奖励运动会中获奖的学生.设购买的水笔数量为n支，总花费为s元．
①求s关于n的函数关系式；
②若购买的笔记本的数量不少于水笔数量的13，要使总花费最少，应购买水笔和笔记本各多少？最少总花费是多少元？
22. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−3,5)，B(0,5).抛物线y=−x2+bx+c交x轴于C(1,0)，D(−3,0)两点，交y轴于点E．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当−4≤x≤0时，求y的最大值与最小值的积；
(3)连接AB，若二次函数y=−x2+bx+c的图象向上平移m(m>0)个单位时，与线段AB有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
23. (本小题10.0分)
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答.问题情境：在▱ABCD中，点P是边AD上一点，将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．
数学思考：
(1)“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF//AD，与PC交于点F，连接DF，则四边形AEFD是菱形.请你证明“兴趣小组”提出的问题；
拓展探究：
(2)“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，连接PF.试判断PF与PC的位置关系，并说明理由；
问题解决：
(3)“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在AB边上时，AP=6，PD=8，DC=20，求AE的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：|−11|=−(−11)=11．
故选：B．
根据负有理数的绝对值是它的相反数，求出−11的绝对值即可．
此题主要考查了绝对值的含义和求法，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数−a；③当a是零时，a的绝对值是零．
2.【答案】A
【解析】解：28.5万亿=28500000000000=2.85×1013．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“豫”与“力”是对面，
故选：B．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
4.【答案】C
【解析】解：A、2x与3y不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、(x−3)2=x2−6x+9，故B不符合题意；
C、(xy2)2=x2y4，故C符合题意；
D、x4÷x3=x，故D不符合题意；
故选：C．
利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】A
【解析】解：∵直线a//b，∠2=65°，
∴∠3=∠2=65°．
∵∠3=∠A+∠1，∠A=45°，
∴∠1=65°−45°=20°．
故选：A．
先由平行线的性质求出∠3的度数，再根据三角形外角的性质求出∠1的度数．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
6.【答案】A
【解析】解：小明的总评成绩是：80×66+2+2+100×26+2+2+90×26+2+2=86(分)．
故选：A．
利用加权平均数按照比例即可求得小明的总评成绩．
本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算的时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意得Δ=42−4×2×c<0，
解得c>2，
所以c可能取3．
故选：D．
先根据根的判别式的意义得到Δ=42−4×2×c<0，再解不等式得到c的取值范围，然后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好都是红色的结果数，再利用概率公式即可求得答案．
本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率、概率公式等知识点．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果．
【解答】
解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果，恰好恰好都是红色的有1种情况，
随手拿出一件运动上衣和一条运动裤，则恰好都是红色的概率为16．
故选：A．
9.【答案】C
【解析】解：当T=100时，t=0；
当T=35时，t=6；
∴水温从100℃逐渐下降到35℃时用了6−0=6(min)．
故A正确，不符合题意．
当t=20时，T=10，
故B正确，不符合题意．
当0≤t≤18时，T随t的增加而减小；
当t>18时，T不随t的增加而变化，恒为室温10℃．
故C不正确，符合题意．
当0
故D正确，不符合题意．
故选：C．
根据图象逐项判断即可．
本题考查函数的图象，这部分内容非常重要，一定要具备从图象上获取有用信息的能力．
10.【答案】B
【解析】解：连接BA，OC，AC，作CH⊥AO于H，
∵BC=2AC，∠AOB=90°，
∴∠AOC=30°，
∴CH=12OC=1，
∴△AOC的面积=12OA⋅CH=12×2×1=1，
∵扇形OAC的面积=30π×22360=π3，
∴弓形ANC的面积=扇形OAC的面积−△AOC的面积=π3−1，
∵扇形AOB的面积=90π×22360=π，△AOB的面积=12OA⋅OB=2，
∴弓形ACB的面积=扇形AOB的面积−△AOB的面积=π−2，
当D与A重合时，线段BD，CD与BC所围成的区域(图中阴影部分)面积最小，
此时阴影的面积=弓形ACB的面积−弓形ANC的面积=2π3−1．
故选：B．
连接BA，OC，AC，作CH⊥AO于H，当D与A重合时，线段BD，CD与BC所围成的区域(图中阴影部分)面积最小，此时阴影的面积=弓形ACB的面积−弓形ANC的面积，求出弓形ACB的面积与弓形ANC的面积，即可解决问题
本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是明白当D与A重合时，线段BD，CD与BC所围成的区域(图中阴影部分)面积最小．
11.【答案】2
【解析】解：二次根式 x−1有意义的条件是：x−1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：2(答案不唯一)．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
12.【答案】4>x≥−2
【解析】解：3x+6≥0①x−22<1②，
解不等式①，得x≥−2，
解不等式②，得x<4，
∴不等式组的解集为−2≤x<4．
故答案为：−2≤x<4．
分别求出两个不等式的解集，然后取公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
13.【答案】<
【解析】解：∵k2≥0，
∴k2+1≥1，
∴反比例函数y=k2+1x的图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，
∵反比例函数y=k2+1x的图象过点M(x1,y1)、N(x2,y2)，x1>x2>0，
∴y1
先证明k2+1≥1，进而得到反比例函数y=k2+1x的图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，由此即可得到答案．
本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知对于反比例函数y=kx(k≠0)，当k>0时，在每个象限内，y随x增大而减小，当k<0时，在每个象限内，y随x增大而增大．
14.【答案】2 3
【解析】解：连接BE，如图，
∵点E矩形ABCD的边CD的中点，
∴CE=DE=2，
∴AB=CD=4，
由作法得MN垂直平分AE，
∴BE=BA=4，
在Rt△BCE中，BC= BE2−CE2= 42−22=2 3．
故答案为：2 3．
连接BE，如图，利用矩形的性质得到AB=CD=4，再利用基本作图得到MN垂直平分AE，所以BE=BA=4，然后利用勾股定理可计算出BC的长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的性质．
15.【答案】 10或 26
【解析】解：∵AB=BC=4 2，∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2=8，
分两种情况讨论：
①如图，
当点D运动到线段AC上时，
∵∠ADE=90°，
∴∠CDE=180°−∠ADE=90°，
∵AD=2，
∴CD=AC−AD=8−2=6，
∴CE= CD2+DE2= 62+22=2 10，
∵点O为CE的中点，
∴OD=12CE= 10；
②如图，
当点D运动到线段CA的延长线上时，
此时∠CDE=∠ADE=90°，CD=AC+AD=8+2=10，
∴CE= CD2+DE2= 102+22=2 26，
∵点O为CE的中点，
∴OD=12CE= 26，
综上所述，OD的长为 10或 26，
故答案为： 10或 26．
首先利用勾股定理可得AC= AB2+BC2=8，然后分两种情况讨论：当点D运动到线段AC上和点D运动到线段CA的延长线上时，利用勾股定理求得CE的长，然后结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可获得答案．
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，利用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
16.【答案】解：(1)原式=x−3x−2÷5−(x+2)(x−2)x−2
=x−3x−2÷5−x2+4x−2
=x−3x−2⋅x−2−(x+3)(x−3)
=−1x+3；
(2)原式=1−9+32
=−132．
【解析】(1)先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
(2)先根据零指数幂、负整数指数幂和算术平方根的定义计算，然后进行有理数的加减运算．
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．也考查了实数的运算．
17.【答案】96 88.5
【解析】解：(1)∵甲种红枣的得分可以知道出现次数最多的是96，
∴甲种红枣的众数是96，
∵乙种红枣得分中第5和第6的得分分别是88和89，
∴乙种红枣的中位数是88+892=88.5，
故答案为：96；88.5；
(2)甲种红枣的品质更好些．
理由如下：甲、乙两种红枣得分的平均数相等，但是甲种红枣得分的众数更高．
(答案不唯一)
(1)根据甲乙两种红枣的得分分别求出甲种红枣的众数和乙种红枣的中位数即可求出a，b的值；
(2)根据两种红枣的平均数、中位数和众数进行比较分析即可知道哪种红枣的品质更好．
本题主要考查众数、中位数和数据的分析，深入理解题意是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)把B(−2,−1)代入y=mx，得：m=2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
把A(1,n)代入y=2x，得：n=2，
∴A(1,2)，
把A(1,2)、B(−2,−1)代入y=ax+b，得a+b=2−2a+b=−1，
解得a=1b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
(2)根据图象得：不等式ax+b>mx的解集为−21；
(3)由y=x+1可知C的坐标为(0,1)，
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D(0,−1)，
∴CD=2，
∴S△ABD=S△ACD+S△BCD=12×2×1+12×2×2=3．
【解析】(1)把B(−2,−1)代入y=mx可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点A坐标，再根据待定系数法可得一次函数的解析式；
(2)根据图象得出不等式ax+b>mx的解集即可；
(3)利用面积的和差关系可求解．
本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
19.【答案】解：过点D作DG⊥BF，垂足为G，
由题意得：BE=DG，DE=BG，DE⊥AB，
在Rt△CDG中，∠DCG=8°，CD=10m，
∴DG=CD⋅sin8°≈10×0.14=1.4(m)，
CG=CD⋅cos8°≈10×0.99=9.9(m)，
∴BE=DG=1.4m，
∵BC=8.46m，
∴DE=BG=BC+CG=8.46+9.9=18.36(m)，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，
∴AE=DE⋅tan30°=18.36× 33=6.12 3(m)，
∴AB=AE+BE=6.12 3+1.4≈12(m)，
∴楼AB的高约为12m．
【解析】过点D作DG⊥BF，垂足为G，根据题意可得：BE=DG，DE=BG，DE⊥AB，然后在Rt△CDG中，利用锐角三角函数的定义求出DG和CG的长，从而求出BE和DE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：如图1，连接OA、OC，则OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA=∠AOC+2∠OAC=180°，
∴12∠AOC+∠OAC=90°，
∵∠ADC=12∠AOC，
∴∠ADC+∠OAC=90°，
∵AB与⊙O相切于点A，
∴AB⊥OA，
∴∠OAB=90°，
∴∠CAB+∠OAC=90°，
∴∠ADC=∠CAB．
(2)解：如图2，连接BD交OC于点F，连接AC、DC，
∵AB为⊙O的直径，CE⊥AD，
∴∠ADB=∠E=∠ACB=90°，
∴BD//CE，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴CE⊥OC，
∴∠OFD=∠OCE=90°，
∴OC⊥BD，
∴CD=BC
∴CD=BC=2，∠CAD=∠CAB，
∵∠CAD=∠ECD，
∴∠ECD=∠CAB，
∵OA=OB=5，
∴AB=2OA=2×5=10，
∴DECD=sin∠ECD=sin∠CAB=BCAB=210=15，
∴DE=15CD=15×2=25，
∴DE的长是25．
【解析】(1)连接OA、OC，则∠OAC=∠OCA，由∠AOC+2∠OAC=180°，得12∠AOC+∠OAC=90°，而∠ADC=12∠AOC，所以∠ADC+∠OAC=90°，由切线的性质得∠OAB=90°，则∠CAB+∠OAC=90°，所以∠ADC=∠CAB；
(2)连接BD交OC于点F，连接AC、DC，可证明BD//CE，则∠OFD=∠OCE=90°，所以OC⊥BD，根据垂径定理得CD=BC，则CD=BC=2，∠CAD=∠CAB，由弦切角定理得∠CAD=∠ECD，所以∠ECD=∠CAB，由DECD=sin∠ECD=sin∠CAB=BCAB=210=15，得DE=15CD=25．
此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、弦切角定理的证明及应用、圆周角定理、切线的性质、垂径定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设每支水笔的价格为x元，则每个笔记本的价格为(x+2)元，
根据题意得：24x=2⋅20x+2，
解得：x=3，
经检验，x=3是原分式方程的解，
则x+2=5，
∴每支水笔的价格为3元，每个笔记本的价格为5元；
(2)①设购买的水笔数量为n支，则购买的笔记本数量为(100−n)个，
则n≥0100−n≥0，
∴0≤n≤100，
∴s=3n+5(100−n)=−2n+500(0≤n≤100)；
②∵购买的笔记本的数量不少于水笔数量的13，
∴100−n≥13n，
解得：n≤75，
由①可知，s=−2n+500，
∵−2<0，
∴s随n的增大而减小，
∴当n=75时，s取得最小值，
此时100−n=25，s=−2×75+500=350，
∴要使总花费最少，应购买水笔75支，笔记本25本，最少总花费是350元．
【解析】(1)设每支水笔的价格为x元，则每个笔记本的价格为(x+2)元，根据“小华用24元钱购买的水笔是小红用20元钱购买的笔记本数量的2倍”列出方程，求解即可；
(2)①设购买的水笔数量为n支，则购买的笔记本数量为(100−n)个，根据“总费用=水笔单价×购买数量+笔记本单价×购买数量”计算即可；
②由题意可得100−n≥13n，解得n≤75，由①可知s=−2n+500，再根据一次函数的性质结合n的取值范围即可求解．
本题主要考查分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，根据等量关系和不等关系列出方程和不等式，并熟知一次函数的性质是解题关键．
22.【答案】解：(1)将C(1,0)，D(−3,0)代入y=−x2+bx+c得0=−1+b+c0=−9−3b+c，
解得b=−2c=3，
∴y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴抛物线顶点坐标为(−1,4)．
(2)∵抛物线开口向下，顶点坐标为(−1,4)，
∴函数最大值为y=4，对称轴为直线x=−1，
∵−1−(−4)>0−(−1)，
∴x=−4时，y=−16+8+3=−5为函数最小值，
∴当−4≤x≤0时，y的最大值与最小值的积为4×(−5)=−20．
(3)二次函数y=−x2+bx+c的图象向上平移m个单位后解析式为y=−x2−2x+3+m，
抛物线顶点坐标为(−1,4+m)，
当顶点落在线段AB上时，4+m=5，
解得m=1，
当抛物线向上移动，经过点B(0,5)时，5=3+m，
解得m=2，
当抛物线经过点A(−3,5)时，5=−9+6+3+m，
解得m=5，
∴当m=1，或2
(2)根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合x的取值范围求解．
(3)结合图象，分别求出抛物线顶点在AB上，经过点A，B时m的值，进而求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律．
23.【答案】(1)证明：由折叠的性质可知，AD=AE，DF=EF，∠DAF=∠EAF，
∵EF//AD，
∴∠DAF=∠EFA，
∴∠EFA=∠EAF，
∴EA=EF，
∴AD=DF=EF=AE，
∴四边形AEFD是菱形；
(2)解：结论：PF⊥PC．
理由：连接AE.由折叠的性质可知，PD=PE，∠PEC=∠PDC，∠DPC=∠EPC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DAB=180°，
∵∠PEC+∠PEF=180°，
∴∠DAB=∠PEF，
∵点P是AD的中点，
∴PA=PD=PE，
∴∠PAE=∠PEA，
∴∠DAB−∠PAE=∠PEF−∠PEA，
∴∠AEF=∠EAF，
∴AF=EF，
∵PF=PF，
∴△PAF≌△PEF(SSS)，
∴∠APF=∠EPF，
∵∠DPC+∠CPE+∠EPF+∠APF=180°，
∴2∠CPE+2∠FPE=180°，
∴∠FPC=90°，
∴PF⊥PC；
(3)解：延长CP交BA的延长线于点T.设AE=x．
由折叠的性质可知，∠PCD=∠PCE，CD=CE=20，
∵CD//BT，
∴∠T=∠DCP，
∴∠T=∠PCE，
∴EC=ET=20，AT=20−x，
∵AT//CD，
∴APPD=ATCD，
∴68=20−x20，
∴x=5，
∴AE=5．
【解析】(1)由折叠的性质得出AD=AE，DF=EF，∠DAF=∠EAF，根据四边相等的四边形是菱形证明即可；
(2)证明△PAF≌△PEF(SSS)，推出∠APF=∠EPF，可得结论；
(3)延长CP交BA的延长线于点T.设AE=x.首先证明ET=EC=20，再利用平行线分线段成比例定理，构建方程求解．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
2023年河南省洛阳市宜阳县中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −11的绝对值为
A. 1 B. 11 C. −111 D. 111
2. 据统计，我国2023年一季度国内生产总值(GDP)约为28.5万亿元.数据“28.5万亿”用科学记数法表示为( )
A. 2.85×1013 B. 2.85×1012 C. 28.5×108 D. 2.85×109
3. 如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“豫”字所在面相对的面上的汉字是( )
A. 魅 B. 力 C. 中 D. 原
4. 下列运算正确的是( )
A. 2x+3y=5xy B. (x−3)2=x2−9
C. (xy2)2=x2y4 D. x4÷x3=x2
5. 如图，直线a//b，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线b上，若∠2=65°，则∠1是( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
6. 小明参加校园歌手比赛，唱功得80分，音乐常识得100分，综合知识得90分，学校按唱功、音乐常识、综合知识的6：2：2的比例计算总评成绩，那么小明的总评成绩是分．( )
A. 86 B. 88 C. 87 D. 93
7. 若关于x的方程2x2+4x+c=0没有实数根，则c的值可能为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 小高有三件运动上衣，分别为蓝色、白色和红色，有两条运动裤，分别是黑色和红色，一天他准备去运动场锻炼，随手拿出一件运动上衣和一条运动裤，则恰好都是红色的概率为( )
A. 16 B. 35 C. 13 D. 25
9. 张老师在化学实验室做实验时，将一杯100℃的开水放在石棉网上自然冷却至室温.水温T(℃)与时间t(min)的对应关系如图所示.根据图中所显示的信息，下列说法错误的是( )
A. 水温从100℃逐渐下降到35℃时用了6min
B. 当t=20时，水温是10℃
C. 水温随时间的增加而降低
D. 当0
A. 2π3
B. 2π3−1
C. π3
D. π3−12
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若二次根式 x−1有意义，则x可以是______ (写出一个x的值即可)．
12. 不等式组3x+6≥0x−22<1的解集是______ ．
13. 反比例函数y=k2+1x的图象过点M(x1,y1)、N(x2,y2)，若x1>x2>0，则y1 ______ y2(填“>”、“=”或“<”)．
14. 如图，长方形纸片ABCD中，点E是CD的中点，连接AE.按以下步骤作图：①分别以点A和点E为圆心，以大于12AE的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，且直线MN刚好经过点B，若DE=2，则BC的长度是______ ．
15. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=BC=4 2，AD=DE=2，∠ABC=∠ADE=90°，连接CE，CD，点O为CE的中点，连接OD.将△ADE绕点A在平面内旋转，当∠CDE=90°时，OD的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)化简：x−3x−2÷(5x−2−x−2)；
(2)计算：(3−π)0−(−13)−2+ 94．
17. (本小题9.0分)
新郑红枣是我省新郑市的特产，以其皮薄、肉厚、核小、味甜备受人们青睐.为了解甲、乙两种红枣的品质，质检员从甲、乙两种红枣中各随机抽取10颗，对这些红枣的品质(大小、甜度等)进行评分(百分制)，在对数据进行了整理后，绘制了如所示的统计图表．
甲、乙两种红枣得分表：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲种红枣得分(分)
75
78
83
84
85
87
92
94
96
96
乙种红枣得分(分)
78
80
83
85
88
89
90
90
93
94
甲、乙两种红枣得分统计表
红枣种类
平均数
中位数
众数
甲种红枣
87
86
a
乙种红枣
87
b
90
(1)a= ______ ，b= ______ ；
(2)你认为哪种红枣的品质更好些？请说明理由．
18. (本小题9.0分)
如图，已知一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A(1,n)，B(−2,−1)两点，与y轴交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式ax+b>mx的解集；
(3)若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
19. (本小题9.0分)
红旗渠，位于河南安阳林州市，是全国重点文物保护单位，被人称之为“人工天河”.某学校数学兴趣小组到红旗渠景区测量总干渠分水闸的楼高.如图，斜坡CD的坡底C、楼AB的底部B与点F在同一水平线上.已知斜坡的坡角为8°，斜坡CD长为10m，BC长为8.46m，在点D处测得楼顶A的仰角为30°，求楼AB的高.(结果精确到1m.sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14， 3≈1.73)
20. (本小题9.0分)
人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“圆，一中同长也.”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一，我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角，弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．
(1)如图1，AB是⊙O的切线，点C，D在⊙O上.求证：∠ADC=∠CAB；
(2)如图2，CE是⊙O的切线，连接AE交⊙O于点D，AB为⊙O的直径，若CE⊥AD，BC=2，⊙O的半径为5，求DE的长．
21. (本小题9.0分)
开学初，小华和小红去学校附近的商店购买学习用品.小华用24元钱购买的水笔是小红用20元钱购买的笔记本数量的2倍.已知每个笔记本的价格比每支水笔的价格多2元．
(1)求每支水笔和每个笔记本的价格分别为多少元；
(2)学校决定购买上面的两种学习用品共100个作为奖品奖励运动会中获奖的学生.设购买的水笔数量为n支，总花费为s元．
①求s关于n的函数关系式；
②若购买的笔记本的数量不少于水笔数量的13，要使总花费最少，应购买水笔和笔记本各多少？最少总花费是多少元？
22. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−3,5)，B(0,5).抛物线y=−x2+bx+c交x轴于C(1,0)，D(−3,0)两点，交y轴于点E．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当−4≤x≤0时，求y的最大值与最小值的积；
(3)连接AB，若二次函数y=−x2+bx+c的图象向上平移m(m>0)个单位时，与线段AB有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
23. (本小题10.0分)
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答.问题情境：在▱ABCD中，点P是边AD上一点，将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．
数学思考：
(1)“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF//AD，与PC交于点F，连接DF，则四边形AEFD是菱形.请你证明“兴趣小组”提出的问题；
拓展探究：
(2)“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，连接PF.试判断PF与PC的位置关系，并说明理由；
问题解决：
(3)“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在AB边上时，AP=6，PD=8，DC=20，求AE的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：|−11|=−(−11)=11．
故选：B．
根据负有理数的绝对值是它的相反数，求出−11的绝对值即可．
此题主要考查了绝对值的含义和求法，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数−a；③当a是零时，a的绝对值是零．
2.【答案】A
【解析】解：28.5万亿=28500000000000=2.85×1013．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“豫”与“力”是对面，
故选：B．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
4.【答案】C
【解析】解：A、2x与3y不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、(x−3)2=x2−6x+9，故B不符合题意；
C、(xy2)2=x2y4，故C符合题意；
D、x4÷x3=x，故D不符合题意；
故选：C．
利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】A
【解析】解：∵直线a//b，∠2=65°，
∴∠3=∠2=65°．
∵∠3=∠A+∠1，∠A=45°，
∴∠1=65°−45°=20°．
故选：A．
先由平行线的性质求出∠3的度数，再根据三角形外角的性质求出∠1的度数．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
6.【答案】A
【解析】解：小明的总评成绩是：80×66+2+2+100×26+2+2+90×26+2+2=86(分)．
故选：A．
利用加权平均数按照比例即可求得小明的总评成绩．
本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算的时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意得Δ=42−4×2×c<0，
解得c>2，
所以c可能取3．
故选：D．
先根据根的判别式的意义得到Δ=42−4×2×c<0，再解不等式得到c的取值范围，然后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好都是红色的结果数，再利用概率公式即可求得答案．
本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率、概率公式等知识点．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果．
【解答】
解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果，恰好恰好都是红色的有1种情况，
随手拿出一件运动上衣和一条运动裤，则恰好都是红色的概率为16．
故选：A．
9.【答案】C
【解析】解：当T=100时，t=0；
当T=35时，t=6；
∴水温从100℃逐渐下降到35℃时用了6−0=6(min)．
故A正确，不符合题意．
当t=20时，T=10，
故B正确，不符合题意．
当0≤t≤18时，T随t的增加而减小；
当t>18时，T不随t的增加而变化，恒为室温10℃．
故C不正确，符合题意．
当0
故D正确，不符合题意．
故选：C．
根据图象逐项判断即可．
本题考查函数的图象，这部分内容非常重要，一定要具备从图象上获取有用信息的能力．
10.【答案】B
【解析】解：连接BA，OC，AC，作CH⊥AO于H，
∵BC=2AC，∠AOB=90°，
∴∠AOC=30°，
∴CH=12OC=1，
∴△AOC的面积=12OA⋅CH=12×2×1=1，
∵扇形OAC的面积=30π×22360=π3，
∴弓形ANC的面积=扇形OAC的面积−△AOC的面积=π3−1，
∵扇形AOB的面积=90π×22360=π，△AOB的面积=12OA⋅OB=2，
∴弓形ACB的面积=扇形AOB的面积−△AOB的面积=π−2，
当D与A重合时，线段BD，CD与BC所围成的区域(图中阴影部分)面积最小，
此时阴影的面积=弓形ACB的面积−弓形ANC的面积=2π3−1．
故选：B．
连接BA，OC，AC，作CH⊥AO于H，当D与A重合时，线段BD，CD与BC所围成的区域(图中阴影部分)面积最小，此时阴影的面积=弓形ACB的面积−弓形ANC的面积，求出弓形ACB的面积与弓形ANC的面积，即可解决问题
本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是明白当D与A重合时，线段BD，CD与BC所围成的区域(图中阴影部分)面积最小．
11.【答案】2
【解析】解：二次根式 x−1有意义的条件是：x−1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：2(答案不唯一)．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
12.【答案】4>x≥−2
【解析】解：3x+6≥0①x−22<1②，
解不等式①，得x≥−2，
解不等式②，得x<4，
∴不等式组的解集为−2≤x<4．
故答案为：−2≤x<4．
分别求出两个不等式的解集，然后取公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
13.【答案】<
【解析】解：∵k2≥0，
∴k2+1≥1，
∴反比例函数y=k2+1x的图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，
∵反比例函数y=k2+1x的图象过点M(x1,y1)、N(x2,y2)，x1>x2>0，
∴y1
先证明k2+1≥1，进而得到反比例函数y=k2+1x的图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，由此即可得到答案．
本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知对于反比例函数y=kx(k≠0)，当k>0时，在每个象限内，y随x增大而减小，当k<0时，在每个象限内，y随x增大而增大．
14.【答案】2 3
【解析】解：连接BE，如图，
∵点E矩形ABCD的边CD的中点，
∴CE=DE=2，
∴AB=CD=4，
由作法得MN垂直平分AE，
∴BE=BA=4，
在Rt△BCE中，BC= BE2−CE2= 42−22=2 3．
故答案为：2 3．
连接BE，如图，利用矩形的性质得到AB=CD=4，再利用基本作图得到MN垂直平分AE，所以BE=BA=4，然后利用勾股定理可计算出BC的长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的性质．
15.【答案】 10或 26
【解析】解：∵AB=BC=4 2，∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2=8，
分两种情况讨论：
①如图，
当点D运动到线段AC上时，
∵∠ADE=90°，
∴∠CDE=180°−∠ADE=90°，
∵AD=2，
∴CD=AC−AD=8−2=6，
∴CE= CD2+DE2= 62+22=2 10，
∵点O为CE的中点，
∴OD=12CE= 10；
②如图，
当点D运动到线段CA的延长线上时，
此时∠CDE=∠ADE=90°，CD=AC+AD=8+2=10，
∴CE= CD2+DE2= 102+22=2 26，
∵点O为CE的中点，
∴OD=12CE= 26，
综上所述，OD的长为 10或 26，
故答案为： 10或 26．
首先利用勾股定理可得AC= AB2+BC2=8，然后分两种情况讨论：当点D运动到线段AC上和点D运动到线段CA的延长线上时，利用勾股定理求得CE的长，然后结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可获得答案．
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，利用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
16.【答案】解：(1)原式=x−3x−2÷5−(x+2)(x−2)x−2
=x−3x−2÷5−x2+4x−2
=x−3x−2⋅x−2−(x+3)(x−3)
=−1x+3；
(2)原式=1−9+32
=−132．
【解析】(1)先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
(2)先根据零指数幂、负整数指数幂和算术平方根的定义计算，然后进行有理数的加减运算．
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．也考查了实数的运算．
17.【答案】96 88.5
【解析】解：(1)∵甲种红枣的得分可以知道出现次数最多的是96，
∴甲种红枣的众数是96，
∵乙种红枣得分中第5和第6的得分分别是88和89，
∴乙种红枣的中位数是88+892=88.5，
故答案为：96；88.5；
(2)甲种红枣的品质更好些．
理由如下：甲、乙两种红枣得分的平均数相等，但是甲种红枣得分的众数更高．
(答案不唯一)
(1)根据甲乙两种红枣的得分分别求出甲种红枣的众数和乙种红枣的中位数即可求出a，b的值；
(2)根据两种红枣的平均数、中位数和众数进行比较分析即可知道哪种红枣的品质更好．
本题主要考查众数、中位数和数据的分析，深入理解题意是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)把B(−2,−1)代入y=mx，得：m=2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
把A(1,n)代入y=2x，得：n=2，
∴A(1,2)，
把A(1,2)、B(−2,−1)代入y=ax+b，得a+b=2−2a+b=−1，
解得a=1b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
(2)根据图象得：不等式ax+b>mx的解集为−2
(3)由y=x+1可知C的坐标为(0,1)，
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D(0,−1)，
∴CD=2，
∴S△ABD=S△ACD+S△BCD=12×2×1+12×2×2=3．
【解析】(1)把B(−2,−1)代入y=mx可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点A坐标，再根据待定系数法可得一次函数的解析式；
(2)根据图象得出不等式ax+b>mx的解集即可；
(3)利用面积的和差关系可求解．
本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
19.【答案】解：过点D作DG⊥BF，垂足为G，
由题意得：BE=DG，DE=BG，DE⊥AB，
在Rt△CDG中，∠DCG=8°，CD=10m，
∴DG=CD⋅sin8°≈10×0.14=1.4(m)，
CG=CD⋅cos8°≈10×0.99=9.9(m)，
∴BE=DG=1.4m，
∵BC=8.46m，
∴DE=BG=BC+CG=8.46+9.9=18.36(m)，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，
∴AE=DE⋅tan30°=18.36× 33=6.12 3(m)，
∴AB=AE+BE=6.12 3+1.4≈12(m)，
∴楼AB的高约为12m．
【解析】过点D作DG⊥BF，垂足为G，根据题意可得：BE=DG，DE=BG，DE⊥AB，然后在Rt△CDG中，利用锐角三角函数的定义求出DG和CG的长，从而求出BE和DE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：如图1，连接OA、OC，则OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA=∠AOC+2∠OAC=180°，
∴12∠AOC+∠OAC=90°，
∵∠ADC=12∠AOC，
∴∠ADC+∠OAC=90°，
∵AB与⊙O相切于点A，
∴AB⊥OA，
∴∠OAB=90°，
∴∠CAB+∠OAC=90°，
∴∠ADC=∠CAB．
(2)解：如图2，连接BD交OC于点F，连接AC、DC，
∵AB为⊙O的直径，CE⊥AD，
∴∠ADB=∠E=∠ACB=90°，
∴BD//CE，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴CE⊥OC，
∴∠OFD=∠OCE=90°，
∴OC⊥BD，
∴CD=BC
∴CD=BC=2，∠CAD=∠CAB，
∵∠CAD=∠ECD，
∴∠ECD=∠CAB，
∵OA=OB=5，
∴AB=2OA=2×5=10，
∴DECD=sin∠ECD=sin∠CAB=BCAB=210=15，
∴DE=15CD=15×2=25，
∴DE的长是25．
【解析】(1)连接OA、OC，则∠OAC=∠OCA，由∠AOC+2∠OAC=180°，得12∠AOC+∠OAC=90°，而∠ADC=12∠AOC，所以∠ADC+∠OAC=90°，由切线的性质得∠OAB=90°，则∠CAB+∠OAC=90°，所以∠ADC=∠CAB；
(2)连接BD交OC于点F，连接AC、DC，可证明BD//CE，则∠OFD=∠OCE=90°，所以OC⊥BD，根据垂径定理得CD=BC，则CD=BC=2，∠CAD=∠CAB，由弦切角定理得∠CAD=∠ECD，所以∠ECD=∠CAB，由DECD=sin∠ECD=sin∠CAB=BCAB=210=15，得DE=15CD=25．
此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、弦切角定理的证明及应用、圆周角定理、切线的性质、垂径定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设每支水笔的价格为x元，则每个笔记本的价格为(x+2)元，
根据题意得：24x=2⋅20x+2，
解得：x=3，
经检验，x=3是原分式方程的解，
则x+2=5，
∴每支水笔的价格为3元，每个笔记本的价格为5元；
(2)①设购买的水笔数量为n支，则购买的笔记本数量为(100−n)个，
则n≥0100−n≥0，
∴0≤n≤100，
∴s=3n+5(100−n)=−2n+500(0≤n≤100)；
②∵购买的笔记本的数量不少于水笔数量的13，
∴100−n≥13n，
解得：n≤75，
由①可知，s=−2n+500，
∵−2<0，
∴s随n的增大而减小，
∴当n=75时，s取得最小值，
此时100−n=25，s=−2×75+500=350，
∴要使总花费最少，应购买水笔75支，笔记本25本，最少总花费是350元．
【解析】(1)设每支水笔的价格为x元，则每个笔记本的价格为(x+2)元，根据“小华用24元钱购买的水笔是小红用20元钱购买的笔记本数量的2倍”列出方程，求解即可；
(2)①设购买的水笔数量为n支，则购买的笔记本数量为(100−n)个，根据“总费用=水笔单价×购买数量+笔记本单价×购买数量”计算即可；
②由题意可得100−n≥13n，解得n≤75，由①可知s=−2n+500，再根据一次函数的性质结合n的取值范围即可求解．
本题主要考查分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，根据等量关系和不等关系列出方程和不等式，并熟知一次函数的性质是解题关键．
22.【答案】解：(1)将C(1,0)，D(−3,0)代入y=−x2+bx+c得0=−1+b+c0=−9−3b+c，
解得b=−2c=3，
∴y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴抛物线顶点坐标为(−1,4)．
(2)∵抛物线开口向下，顶点坐标为(−1,4)，
∴函数最大值为y=4，对称轴为直线x=−1，
∵−1−(−4)>0−(−1)，
∴x=−4时，y=−16+8+3=−5为函数最小值，
∴当−4≤x≤0时，y的最大值与最小值的积为4×(−5)=−20．
(3)二次函数y=−x2+bx+c的图象向上平移m个单位后解析式为y=−x2−2x+3+m，
抛物线顶点坐标为(−1,4+m)，
当顶点落在线段AB上时，4+m=5，
解得m=1，
当抛物线向上移动，经过点B(0,5)时，5=3+m，
解得m=2，
当抛物线经过点A(−3,5)时，5=−9+6+3+m，
解得m=5，
∴当m=1，或2
(2)根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合x的取值范围求解．
(3)结合图象，分别求出抛物线顶点在AB上，经过点A，B时m的值，进而求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律．
23.【答案】(1)证明：由折叠的性质可知，AD=AE，DF=EF，∠DAF=∠EAF，
∵EF//AD，
∴∠DAF=∠EFA，
∴∠EFA=∠EAF，
∴EA=EF，
∴AD=DF=EF=AE，
∴四边形AEFD是菱形；
(2)解：结论：PF⊥PC．
理由：连接AE.由折叠的性质可知，PD=PE，∠PEC=∠PDC，∠DPC=∠EPC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DAB=180°，
∵∠PEC+∠PEF=180°，
∴∠DAB=∠PEF，
∵点P是AD的中点，
∴PA=PD=PE，
∴∠PAE=∠PEA，
∴∠DAB−∠PAE=∠PEF−∠PEA，
∴∠AEF=∠EAF，
∴AF=EF，
∵PF=PF，
∴△PAF≌△PEF(SSS)，
∴∠APF=∠EPF，
∵∠DPC+∠CPE+∠EPF+∠APF=180°，
∴2∠CPE+2∠FPE=180°，
∴∠FPC=90°，
∴PF⊥PC；
(3)解：延长CP交BA的延长线于点T.设AE=x．
由折叠的性质可知，∠PCD=∠PCE，CD=CE=20，
∵CD//BT，
∴∠T=∠DCP，
∴∠T=∠PCE，
∴EC=ET=20，AT=20−x，
∵AT//CD，
∴APPD=ATCD，
∴68=20−x20，
∴x=5，
∴AE=5．
【解析】(1)由折叠的性质得出AD=AE，DF=EF，∠DAF=∠EAF，根据四边相等的四边形是菱形证明即可；
(2)证明△PAF≌△PEF(SSS)，推出∠APF=∠EPF，可得结论；
(3)延长CP交BA的延长线于点T.设AE=x.首先证明ET=EC=20，再利用平行线分线段成比例定理，构建方程求解．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
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