2023年河南省洛阳市中考数学三模试卷（含解析）

2023年河南省洛阳市中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据统计，年我国达到万亿元，其中万亿元用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，是一个正方体的一种展开图，那么在正方体的表面与“力”相对的汉字是(    )

A. 我
B. 要
C. 学
D. 习

4.  如图，直线，于点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  为庆祝神舟十五号载人飞船发射成功，学校开展航天知识竞赛活动经过几轮筛选，九班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数单位：分及方差单位：分如表所示：

如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7.  定义运算：例如：，则方程的根的情况为(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 无实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根

8.  如图，已知四边形是平行四边形，下列三个结论：当时，它是菱形；当时，它是矩形；当时，它是正方形其中结论正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9.  如图，为矩形边上的一点，点从点沿折线运动到点时停止，点从点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是若，同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与的函数关系图象如图，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点，、、、，那么点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  化简的结果是______．

12.  不等式组的所有整数解的和是______ ．

13.  现有种没有标签的无色溶液蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱，任取其中两种滴加无色酚酞溶液友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色颜色恰好都发生变化的概率是______ ．

14.  如图，已知的半径为，所对的弦长为，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，则在该旋转过程中，点的运动路径长是______ ．

15.  如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点，分别在边，上，点，的对应点分别在，且点在矩形内部，的延长线交边于点，交边于点，，当点为三等分点时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：．

17.  本小题分
夏季来临，溺水事故进入高发季，为了增强学生的安全意识，把校园防溺水教育落到实处，某中学组织开展了“珍爱生命，预防溺水”安全教育专题讲座，邀请预防溺水宣讲员来校宣讲，并在讲座活动之后请同学们完成了“防溺水安全教育知识问卷”，现从该校七、八年级中各随机抽取了名学生填写的问卷，进行整理和分析问卷得分均为整数，满分为分，相关数据统计、整理如下：
抽取的年级学生的问卷得分：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
抽取的八年级学生的问卷得分条形统计图

抽取的七、八年级学生的问卷得分统计表

根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述表中，的值，并补全条形统计图；
根据以上数据分析，请从一个方面评价该校七、八年级中哪个年级抽取的学生填写的问卷成绩更好；
该校七年级有名学生填写了问卷，八年级有名学生填写了问卷，请估计两个年级本次问卷成绩大于等于分的学生总人数．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点点在点左边，与轴交于点，延长交反比例函数的图象于点．
填空： ______ 填“”“”或“”；
请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线要求：不写作法，保留作图痕迹；
在的平分线上取点，使，连接，当时，求的面积．

19.  本小题分
某无人机兴趣小组在操场上开展活动如图，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为，又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，求教学楼的高度精确到米注：点，，，都在同一平面上参考数据：，，

20.  本小题分
某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为时所需费用为元，选择这两种卡消费时，与的函数关系如图所示，解答下列问题：
分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数表达式；
当入园次数次时选择哪种卡消费比较合算．

21.  本小题分
如图，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人叹服如图是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，．

求证：；
若，的度数是______ ；
若，米，求车轮的半径长．

22.  本小题分
平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，点、在这条抛物线上，它们的横坐标分别为和．
求这条抛物线的函数关系式；
当时，的取值范围是，求的值；
以线段为对角线作矩形，轴如图当矩形与抛物线有且只有三个公共点时，设第三个公共点为，若与矩形的面积之比为：，请直接写出的值．

23.  本小题分
已知在中，为边的中点，连接，将绕点顺时针旋转旋转角为钝角，得到，连接，．
如图，当且时，则与满足的数量关系是______ ；
如图，当且时，中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
如图，延长到点，使，连接，当，，时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：万亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：由图可知，在正方体的表面与“力”相对的汉字是“我”．
故选：．
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体的空间图形，从相对面入手是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：于点，
，
，
，
，
．
故选：．
由垂直的定义得到，由直角三角形的性质求出，由平行线的性质得到．
本题考查平行线的性质，垂线，直角三角形的性质，关键是掌握平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用单项式乘单项式的法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：由表格数据知，丙、丁成绩的平均数大于甲、乙，
所以丙、丁的平均成绩比甲、乙好，
又丙成绩的方差小于丁，
丙成绩好且状态稳定，
故选：．
根据平均数和方差的意义求解即可．
本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差和平均数的意义．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据新定义可得：，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：．
根据新定义得到关于的一元二次方程，再求出的值，可判断方程根的情况．
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握当时，对应的一元二次方程有两个不相等的实数解．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
故A正确；
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
四边形不一定是矩形，
故B错误；
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
四边形不一定是正方形，
故C错误，
故选：．
由四边形是平行四边形，，根据菱形的定义可证明四边形是菱形，可判断A正确；由四边形是平行四边形，，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可证明四边形是菱形，可知四边形不一定是矩形，可判断B错误；由四边形是平行四边形，，根据矩形的定义可证明四边形是矩形，可知四边形不一定是正方形，可判断C错误，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定等知识，正确选择特殊的平行四边形的定义或判定定理证明四边形是菱形或矩形是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象可知，
，，
，
当时，，
，
，
故选：．
根据图象可以得到、的长度，再用当时的面积为求出的长，再用三角形的面积公式求出的面积．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．
 

10.【答案】 

【解析】解：点、、、、、、、、、，
点为自然数的坐标为，
点的坐标为．
故选：．
观察图形结合点的坐标的变化，可得出点为自然数的坐标为，依此规律即可得出结论．
本题属于循环类规律探究题，考查了学生归纳猜想的能力，结合图象找准循环节是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
则所有整数解为，，之和为．
故答案为：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出所有整数解的和即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：将种没有标签的无色溶液分别记作、、、，
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中颜色恰好都发生变化的有种结果，
所以颜色恰好都发生变化的概率为，
故答案为：．
先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法求概率以及随机事件和不可能事件的概念．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：设所在圆的圆心是，
作半径于，连接，，，
，是的中点，
，
，
，
，
由题意得：，
以为圆心，长为半径的的长，
点的运动路径长是
故答案为：
由垂径定理，勾股定理求出的长，由弧长公式即可解决问题．
本题考查勾股定理，垂径定理，轨迹，旋转的性质，弧长的计算，关键是由垂径定理，勾股定理求出的长．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当时，，
将矩形纸片折叠，折痕为，
，，，，，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
过点作于点，则，
设，
则，
，
，
，
，
解得：或舍去，
；
当时，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
故答案为：或．
根据点为三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明，得到，证明∽，求出的长，过点作于点，则，设，根据勾股定理列方程求出即可．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，考查了分类讨论的思想，根据勾股定理列方程求解是解题的关键．
 

16.【答案】解：


；



． 

【解析】先算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，再算加减即可；
先算完全平方，平方差，再合并同类项即可．
本题主要考查平方差公式，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

17.【答案】解：，，
八年级等级的学生人数为：，
补全条形统计图如图所示；

八年级抽取的学生填写的问卷成绩更好，
因为七、八年级抽取的学生填写的问卷成绩的平均数均为，但八年级抽取的学生填
写的问卷成绩中位数大于七年级抽取的学生填写的问卷成绩中位数，
所以八年级抽取的学生填写的问卷成绩更好．合理即可，
，
答：估计两个年级本次问卷成绩大于等于的学生总人数为人． 

【解析】根据众数和中位数的概念求解可得、的值，再求出八年级等级的学生人数，即可补全条形统计图；
从众数或中位数方面比较大小即可得；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查条形统计图、频数分布表，中位数、众数、平均数，掌握平均数、中位数、众数的意义是解决问题的前提．
 

18.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象是中心对称图形，
，
故答案为：；
如图所示：
连接，
解方程组，
解得，，
在的左边
点坐标为，
当时，，
，
，
，
平分，
，
是的中点，，
，
，
，
，
．
由反比例函数的中心对称性知，再利用直角三角形斜边上中线的性质得；
根据角平分线的画法作图即可；
连接，解方程组得到点坐标为，求得，根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象的性质，直角三角形斜边上中线的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，证明是解题的关键．
 

19.【答案】解：过点作于点，过点作于点．

由题意得，，，，
在中，，
，米，
米，
米，
四边形是矩形，
米．
在中，，
米，
米，
米．
答：教学楼高约米． 

【解析】作于点，作于点，由求得米，由米知米，再根据四边形是矩形知米．由知米，从而得，进而求得即可．
此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系求解是解题关键．
 

20.【答案】解：设，根据题意得，
解得，
；
设，
根据题意得：
，
解得，
；

，即，解得，当入园次数小于次时，选择甲消费卡比较合算；
，即，解得，当入园次数等于次时，选择两种消费卡费用一样；
，即，解得，当入园次数大于次时，选择乙消费卡比较合算． 

【解析】运用待定系数法，即可求出与之间的函数表达式；
解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．
此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型．
 

21.【答案】 

【解析】证明：如图，连接，
与相切，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
；
解：是圆的直径，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
解：，，
∽，
，
，
米，米，
米．
答：车轮的半径长为米．
连接，得到，由圆周角定理得到，由，得到，即可证明；
由直角三角形的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数；
由∽，得到，求出的长，从而求出的长，得到圆的半径长．
本题考查切线的性质，相似三角形的判定和性质，关键是证明∽，得到，求出的长，从而求出的长．
 

22.【答案】解：将点、代入，得：
，解得：，
抛物线的解析式为；

，
抛物线最小的函数值为，对称轴为，
当时，
在对称轴的左侧，随值的增大而减小，
当时，，当时，，
解得或舍去，
；
当时，最小值为，
，满足条件，
或；

当矩形与抛物线有且只有三个公共点时，存在下图所示的两种情况：
当点在上时，
由知，点，点，则点，

与矩形的面积之比为：，
则，
即，
则，
解得：；
如下图，当点在上时，点，点，
则点，

与矩形的面积之比为：，
则点是的中点，则点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：；
综上，或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
当时，在对称轴的左侧，随值的增大而减小，则当时，，当时，，即可求解；当时，同理可解；
当点在上时，当与矩形的面积之比为：，求出的值，即可求解；当点在上时，同理可解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，用点的坐标表示线段长度，矩形性质等，解题关键是熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题．
 

23.【答案】 

【解析】解：结论：．
理由：如图中，

，，，
，，
，
，
，，
≌，
．
结论成立．
理由：如图中，

，，
，
，
，
，，
≌，
．
如图中，由旋转的性质可知，
，
，

，，，
，
∽，
，
，，，
，
，
．
结论证明≌，可得结论；
结论成立．证明方法类似；
首先证明，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出即可．
本题考查几何变换综合题，掌握旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．