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2023年河南省洛阳市宜阳县中考数学二模试卷附解析
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这是一份2023年河南省洛阳市宜阳县中考数学二模试卷附解析，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省洛阳市宜阳县中考数学二模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（3分）下面几何体的正视图、俯视图和左视图是全等图形的几何体是（ ）
A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球体
3．（3分）如图，直线AB与直线CD相交于点O，若OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∠BOF＝40°，则∠COE＝（ ）
A．40° B．50° C．30° D．60°
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．（a2）3＝a5
C．a2+1＝（a+1）2 D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，点D为垂足，若AB＝3，BC＝4，则BD＝（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．1.2
6．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．（3分）小明对本班20名男生依次立定跳远测试成绩统计如下：小于200cm有5人，不小于200cm但小于220cm的有4人，不小于220cm但小于240cm的有4人（具体为：220，222，222，224），不小于240cm但小于260cm的有7人．请问这20个数据的中位数是（ ）
A．200 B．220 C．221 D．222
8．（3分）在平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BC＝5，AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
9．（3分）如图，点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．14 D．12
10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）分式有意义的条件是 ．
12．（3分）方程组的解集为 ．
13．（3分）某学校从“立定跳远，抛掷实心球，100米短跑，足球”四个项目中抽取两项进行测试，恰好抽到“立定跳远”和“100米短跑”的概率为 ．
14．（3分）如图，将扇形AOB绕点A逆时针旋转，得到扇形AO'B'，点O，B的对应点分别为点O'，B'，且O'落在弧AB上，连结BB'．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的周长为 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折，使点D落在边BC上的F点，若AD＝10，AB＝8，则四边形ADEF的外接圆的半径为 ．
三、解答题（本题8个小题，共75分）
16．（1）计算：；
（2）计算：．
17．某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52m到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为，点A到大楼的距离AD为72m，求大楼的高度CD．（sin53°≈0.8，cos≈0.6，）
18．菲尔兹奖是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项．每四年颁发一次，颁发给有卓越贡献的年轻数学家，每次最多四人得奖．得奖者须在该年元旦前未满四十岁．它是根据加拿大数学家约翰•查尔斯•菲尔兹的要求设立的，被视为数学界的诺贝尔奖．从1936年至2022年，共有64位数学家获得菲尔兹奖，其中有两位华人（丘成桐、陶哲轩）．
下列数据是截止2022年菲尔兹奖得主获奖时的年龄：
29 39 35 33 39 28 33 35 31 31 37 32 38
36 31 39 32 38 37 34 29 34 38 32 35 36
33 29 32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38
34 33 40 36 36 37 40 31 38 38 40 40 37
35 39 37 37 39 34 31 37 39 35 37 38
（1）上面这64个数据的中位数是 ，众数是 ；
（2）菲尔兹奖得主获奖时年龄的极差是 ；
（3）求这组数据的平均数．
19．某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．
（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？
20．已知直线y1＝k1x+b与双曲线相交于点P（﹣2，1）、Q（1，m）．
（1）求k1，b，k2的值；
（2）在同一坐标系中画出直线y1＝k1x+b与双曲线，根据图写出不等式k1x+b的解集．
21．请阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．
阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家和物理学家，他与牛顿、高斯并称三大数学王子．《阿基米德全集》的《引论集》中记述的一个引理用几何语言表示如下：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆O，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作半圆O的切线DT交BC于点T，连接AT交DE于点F，则DF＝EF．
任务：
（1）请完成该引理的证明；
（2）若FT＝CT＝6，求半圆O的半径．
22．已知关于x的函数y＝kx2﹣（k﹣1）x﹣2k﹣2的图象与y轴交于点C．
（1）当k＝2时，求图象与x轴的交点坐标；
（2）若时，函数y随着x的增大而增大，求k的取值范围；
（3）无论k为何值时，函数的图象都经过两个定点，请直接写出这两个定点的坐标．
23．阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a＞0，b＞0时，有，∴，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，的最小值为 ；当x＜0时，的最大值为 ；
（2）当x＞0时，求的最小值；
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为9和16，求四边形ABCD的最小面积．
2023年河南省洛阳市宜阳县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（3分）下面几何体的正视图、俯视图和左视图是全等图形的几何体是（ ）
A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球体
【分析】根据几何体的三种视图，进行选择即可．
【解答】解：A．长方体的三视图都是长方形，不是全等图形，不符合题意；
B．圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆形，不是全等图形，不符合题意；
C．圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆形，不是全等图形，不符合题意；
D．球的三视图都是圆形，是全等图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的轮廓线都应表现在三视图中．
3．（3分）如图，直线AB与直线CD相交于点O，若OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∠BOF＝40°，则∠COE＝（ ）
A．40° B．50° C．30° D．60°
【分析】B根据角平分线的定义表示出∠COE和∠COF，然后根据∠EOF＝∠COE+∠COF计算，再根据∠COE＝90°﹣∠COF即可求解．
【解答】解：∵OE平分∠AOC，
∴，
∵OF平分∠BOC，
∴，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝90°，
∵∠BOF＝40°，
∴∠BOF＝∠COF＝40°，
∴∠COE＝90°﹣∠COF＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，解题的关键是熟记概念并准确识图，理清图中各个角度之间的关系．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．（a2）3＝a5
C．a2+1＝（a+1）2 D．
【分析】根据幂的乘方，完全平方公式，负整数指数幂，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故本选项错误，不符合题意；
C、（a+1）2＝a2+2a+1，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了幂的乘方，完全平方公式，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，点D为垂足，若AB＝3，BC＝4，则BD＝（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．1.2
【分析】根据勾股定理可得AC的长，再由，即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴，
∵BD⊥AC，
∴，
∴，
∴BD＝2.4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
【解答】解：Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
所以方程有两个不相等的两个实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（3分）小明对本班20名男生依次立定跳远测试成绩统计如下：小于200cm有5人，不小于200cm但小于220cm的有4人，不小于220cm但小于240cm的有4人（具体为：220，222，222，224），不小于240cm但小于260cm的有7人．请问这20个数据的中位数是（ ）
A．200 B．220 C．221 D．222
【分析】求出从小到大排列后的第10个数据220cm和第11个数据222的平均数即为中位数．
【解答】解：∵小于200cm有5人，不小于200cm但小于220cm的有4人，不小于220cm但小于240cm的有4人（具体为：220，222，222，224），不小于240cm但小于260cm的有7人，
∴中位数是第10个数据220和第11个数据222的平均数，
即．
故选：C．
【点评】此题考查了中位数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数或者最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．
8．（3分）在平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BC＝5，AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】根据平行四边形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得∠BOC＝90°，即可求解．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝8，
∴，，
∵BC＝5，
∴OB2+OC2＝BC2，
∴∠BOC＝90°，即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得到∠BOC＝90°是解题的关键．
9．（3分）如图，点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．14 D．12
【分析】根据同一反比例函数图象上横纵坐标的积为定值解答即可．
【解答】解：∵点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数的图象上，
∴m（m+1）＝（m+3）（m﹣1），
解得m＝3，
∴点A（3，4），B（6，2），
∴k＝3×4＝12，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数图象和性质，熟练掌握同一反比例函数图象上点的横纵坐标的积都相等，都等于反比例函数的比例系数．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】构造直角三角形，利用特殊锐角三角函数值求出AD、CD，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAD＝180°﹣120°＝60°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝2，
∴AD＝AC＝1，CD＝AC＝，
∴tanB＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）分式有意义的条件是 x≠1 ．
【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分母不等于0．
12．（3分）方程组的解集为 ．
【分析】利用加减消元法解答，即可求解．
【解答】解：，
由②﹣①×2得：7y＝14，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：x﹣3×2＝2，
解得：x＝8．
∴原方程组的解为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法是解题的关键．
13．（3分）某学校从“立定跳远，抛掷实心球，100米短跑，足球”四个项目中抽取两项进行测试，恰好抽到“立定跳远”和“100米短跑”的概率为 ．
【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到“立定跳远”、“100米短跑”两项的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：用1，2，3，4分别表示立定跳远，抛掷实心球，100米短跑，足球．
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好抽到“立定跳远”和“100米短跑”两项的有2种情况，
∴恰好抽到“立定跳远”和“100米短跑”的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）如图，将扇形AOB绕点A逆时针旋转，得到扇形AO'B'，点O，B的对应点分别为点O'，B'，且O'落在弧AB上，连结BB'．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的周长为 ．
【分析】连接AB，AB'，OO'，则OO'＝OA，由旋转的性质，得∠OAO'＝∠BAB'，AB'＝AB，AO'＝AO，O'B'＝OB＝2，推出△AOO'是等边三角形，△ABB'是等边三角形，即可求解．
【解答】解：如图，连接AB，AB'，OO'，
则OO'＝OA，由旋转的性质，得∠OAO'＝∠BAB'，AB'＝AB，AO'＝AO，O'B'＝OB＝OA＝2，
∴△AOO'是等边三角形，
∴∠OAO'＝∠BAB'＝∠AOO'＝60°，
∴△ABB'是等边三角形，∠O'OB＝30°，
∴，O'B的弧长为，
故阴影部分的周长等于O'B的弧长+O'B'+BB'＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折，使点D落在边BC上的F点，若AD＝10，AB＝8，则四边形ADEF的外接圆的半径为 ．
【分析】由圆周角定理可知，AE是四边形ADEF的外接圆的直径，根据翻折的性质可得AD＝AF＝10，利用勾股定理可求BF＝6，再根据矩形的性质可得AD＝BC＝10，FC＝4，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，利用勾股定理求得x＝3，DE＝5，利用勾股定理求得，从而求出结果．
【解答】解：∵将△ADE沿AE对折得到△AFE，
∴∠D＝∠AFE＝90°，
∴AE是四边形ADEF的外接圆的直径，
∵AD＝AF＝10，AB＝8，
在Rt△ABF中，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，
∴FC＝10﹣6＝4，
设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，
在Rt△EFC中，x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴DE＝8﹣3＝5，
在Rt△ADE中，，
∴四边形ADEF的外接圆的半径为，
故答案为：．
【点评】本题考查折叠的性质、矩形的性质、圆周角定理及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题（本题8个小题，共75分）
16．（1）计算：；
（2）计算：．
【分析】（1）根据分式混合运算的运算法则即可求解；
（2）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、有理数的乘方的运算法则，即可求解．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝1+1+π﹣3+1
＝π．
【点评】本题考查分式混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、有理数的乘方的运算法则，解题的关键是掌握相关运算法则，正确计算．
17．某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52m到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为，点A到大楼的距离AD为72m，求大楼的高度CD．（sin53°≈0.8，cos≈0.6，）
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AD于点F，可得四边形BEDF是矩形，根据斜坡AB的坡度为，利用勾股定理可得x的值，再根据锐角三角函数即可求大楼的高度CD．
【解答】解：过点B作BE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AD于点F，
∵CD⊥AD，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DF＝BE，BF＝DE，
在Rt△ABF中，∠BFA＝90°，AB＝52，由可知AF＝2.4BF，
由勾股定理可知：BF2+（2.4BF）2＝522，
解得：BF＝20，
∴AF＝2.4×20＝48，
由图可知：DE＝BF＝20．BE＝FD＝AD﹣AF＝72﹣48＝24，
在Rt△CEB中，∠CBE＝90°，由锐角三角函数可知：，
∴CD＝CE+ED＝16+24＝40．
答：大楼的高度约为40米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
18．菲尔兹奖是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项．每四年颁发一次，颁发给有卓越贡献的年轻数学家，每次最多四人得奖．得奖者须在该年元旦前未满四十岁．它是根据加拿大数学家约翰•查尔斯•菲尔兹的要求设立的，被视为数学界的诺贝尔奖．从1936年至2022年，共有64位数学家获得菲尔兹奖，其中有两位华人（丘成桐、陶哲轩）．
下列数据是截止2022年菲尔兹奖得主获奖时的年龄：
29 39 35 33 39 28 33 35 31 31 37 32 38
36 31 39 32 38 37 34 29 34 38 32 35 36
33 29 32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38
34 33 40 36 36 37 40 31 38 38 40 40 37
35 39 37 37 39 34 31 37 39 35 37 38
（1）上面这64个数据的中位数是 36.5 ，众数是 37 ；
（2）菲尔兹奖得主获奖时年龄的极差是 12 ；
（3）求这组数据的平均数．
【分析】（1）将这组数据从小到大排列后取最中间两位数的平均数即可求得中位数，找到出现次数最多那个数就是众数；
（2）利用极差的定义求得最大值与最小值的差即可；
（3）利用求平均数公式求得平均值即可．
【解答】解：（1）∵将这组数据从小到大排列后处于最中间的两个数分别是36，37，
∴中位数＝，
∵37出现次数最多，
∴众数是37，
故答案为：36.5，37；
（2）极差＝40﹣28＝12，
故答案为：12；
（3）≈35.6．
【点评】本题考查了中位数，众数，极差及平均数等知识点，熟练掌握其知识点是解决此题的关键．
19．某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．
（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？
【分析】（1）利用“每天的工作量×天数＝土方总量”可以得到两个变量之间的函数关系；
（2）根据“工期比原计划减少了24天”找到等量关系并列出方程求解即可；
【解答】解：（1）由题意得，y＝
把y＝120代入y＝，得x＝3
把y＝180代入y＝，得x＝2，
∴自变量的取值范围为：2≤x≤3，
∴y＝（2≤x≤3）；
（2）设原计划平均每天运送土石方x万米3，则实际平均每天运送土石方（x+0.5）万米3，
根据题意得：﹣＝24，
解得：x＝2.5或x＝﹣3
经检验x＝2.5或x＝﹣3均为原方程的根，但x＝﹣3不符合题意，故舍去，
答：原计划每天运送2.5万米3，实际每天运送3万米3．
【点评】本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
20．已知直线y1＝k1x+b与双曲线相交于点P（﹣2，1）、Q（1，m）．
（1）求k1，b，k2的值；
（2）在同一坐标系中画出直线y1＝k1x+b与双曲线，根据图写出不等式k1x+b的解集．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）作出函数的图象，根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵双曲线经过点P（﹣2，1）、Q（1，m），
∴k2＝﹣2×1＝1×m，
∴k2＝﹣2，m＝﹣2，
∴y2＝﹣，Q（1，﹣2），
∵直线y1＝k1x+b过点P（﹣2，1）、Q（1，﹣2），
∴，
解得
故k1，b，k2的值分别为﹣1，﹣1，﹣2；
（2）如图：
由图象可知，不等式k1x+b的解集为x≤﹣2或0＜x≤1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点、待定系数法求函数的解析式、函数与不等式的关系，熟练掌握待定系数法以及数形结合思想的运用是解题的关键．
21．请阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．
阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家和物理学家，他与牛顿、高斯并称三大数学王子．《阿基米德全集》的《引论集》中记述的一个引理用几何语言表示如下：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆O，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作半圆O的切线DT交BC于点T，连接AT交DE于点F，则DF＝EF．
任务：
（1）请完成该引理的证明；
（2）若FT＝CT＝6，求半圆O的半径．
【分析】（1）连接OD、OT、DB，先证Rt△ODT≌Rt△OBT得到DT＝BT，进而得到△ADT∽△ACT和△AEF∽△ABT，得出，最后得出DF＝EF．
（2）过点T作TH⊥DE，得出DE的长，再根据勾股定理，得，然后设半圆O的半径为r，连接OD，在Rt△ODE中，根据勾股定理，即可求出半圆O的半径．
【解答】（1）证明：连接OD、OT、DB．
∵DT与半圆O相切，
又∵OD＝OB，OT＝OT，
∴Rt△ODT≌Rt△OBT，
∴DT＝BT，
∴∠TDB＝∠TBD，
又∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠TDB+∠CDT＝90°，∠TBD+∠TCD＝90°，
∴∠CDT＝∠TCD，
∴DT＝CT，
∴CT＝BT，
∵DE⊥AB，∠ABC＝90°，
∴DE∥BC，
∴△ADT∽△ACT，△AEF∽△ABT，
∴，
∴DF＝EF．
（2）解：过点T作TH⊥DE，于点H，则四边形BEHT是矩形．
∵FT＝CT，CT＝DT，
∴DT＝HF，
∴DH＝HF
∴EH＝HF+2HF＝BT＝6，
∴HF＝2，
∴DE＝6+2＝8，
在Rt△HTF中，
根据勾股定理，得
∴
设半圆O的半径为r，则，
连接OD，
在Rt△ODE中，
根据勾股定理，得OD2＝OE2+DE2，即，
解得．
【点评】本题主要考查了三角形全等，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握三角形全等和相似三角形的判定及性质是解题的关键．
22．已知关于x的函数y＝kx2﹣（k﹣1）x﹣2k﹣2的图象与y轴交于点C．
（1）当k＝2时，求图象与x轴的交点坐标；
（2）若时，函数y随着x的增大而增大，求k的取值范围；
（3）无论k为何值时，函数的图象都经过两个定点，请直接写出这两个定点的坐标．
【分析】（1）把k＝2代入，再令y＝0得（2x+3）（x﹣2）＝0，解方程即可求解；
（2）分情况讨论，①当k＝0时，②若k＜0时，③若k＞0时，利用二次函数的性质求解即可；
（3）把解析式整理成y＝（x2﹣x﹣2）k+x﹣2，求得方程x2﹣x﹣2＝0的解，即可求解．
【解答】解：（1）当k＝2时，y＝2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2），
令y＝0，得（2x+3）（x﹣2）＝0，
解得，x2＝2，
所以函数的图象与x轴的交点为，（2，0）；
（2）①当k＝0时，y＝x﹣2，符合题意．
当k≠0时，y是关于x的二次函数．
②若k＜0时，则抛物线开口向下，对称轴为，
不满足当时，函数y随x的增大而增大的条件；
③若k＞0时，则抛物线的开口向上．对称轴为，
要使时，函数y随x的增大而增大，则只需，
解得k≤3，
结合前提假设k＞0，有0＜k≤3．
综上所述，k的取值范围是0≤k≤3；
（3）y＝kx2﹣（k﹣1）x﹣2k﹣2＝（x2﹣x﹣2）k+x﹣2，
由题意得x2﹣x﹣2＝0，即（x﹣2）（x+1）＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
∴论k为何值时，函数的图象都经过两个定点（2，0）和（﹣1，﹣3）．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用分类讨论的思想解题是关键．
23．阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a＞0，b＞0时，有，∴，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，的最小值为 2 ；当x＜0时，的最大值为 ﹣2 ；
（2）当x＞0时，求的最小值；
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为9和16，求四边形ABCD的最小面积．
【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可；
（2）先将变形得到，然后根据题目中给出的信息进行解答即可；
（3）设S△BOC＝x，根据等高三角形性质得出，求出，根据四边形ABCD的面积为，求出最小值即可．
【解答】解：（1）∵当x＞0时，，
即，
∴的最小值为2；
∵当x＜0时，﹣x＞0，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的最大值为﹣2；
故答案为：2；﹣2；
（2），
∵x＞0，
∴，
∴当x＝4时，y的最小值为11．
（3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝9，S△COD＝16，
则由等高三角形性质可知，，
∴，
∴，
因此四边形ABCD的面积＝，
当且仅当x＝12时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为49．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算．
2023年河南省洛阳市宜阳县中考数学二模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（3分）下面几何体的正视图、俯视图和左视图是全等图形的几何体是（ ）
A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球体
3．（3分）如图，直线AB与直线CD相交于点O，若OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∠BOF＝40°，则∠COE＝（ ）
A．40° B．50° C．30° D．60°
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．（a2）3＝a5
C．a2+1＝（a+1）2 D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，点D为垂足，若AB＝3，BC＝4，则BD＝（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．1.2
6．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．（3分）小明对本班20名男生依次立定跳远测试成绩统计如下：小于200cm有5人，不小于200cm但小于220cm的有4人，不小于220cm但小于240cm的有4人（具体为：220，222，222，224），不小于240cm但小于260cm的有7人．请问这20个数据的中位数是（ ）
A．200 B．220 C．221 D．222
8．（3分）在平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BC＝5，AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
9．（3分）如图，点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．14 D．12
10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）分式有意义的条件是 ．
12．（3分）方程组的解集为 ．
13．（3分）某学校从“立定跳远，抛掷实心球，100米短跑，足球”四个项目中抽取两项进行测试，恰好抽到“立定跳远”和“100米短跑”的概率为 ．
14．（3分）如图，将扇形AOB绕点A逆时针旋转，得到扇形AO'B'，点O，B的对应点分别为点O'，B'，且O'落在弧AB上，连结BB'．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的周长为 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折，使点D落在边BC上的F点，若AD＝10，AB＝8，则四边形ADEF的外接圆的半径为 ．
三、解答题（本题8个小题，共75分）
16．（1）计算：；
（2）计算：．
17．某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52m到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为，点A到大楼的距离AD为72m，求大楼的高度CD．（sin53°≈0.8，cos≈0.6，）
18．菲尔兹奖是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项．每四年颁发一次，颁发给有卓越贡献的年轻数学家，每次最多四人得奖．得奖者须在该年元旦前未满四十岁．它是根据加拿大数学家约翰•查尔斯•菲尔兹的要求设立的，被视为数学界的诺贝尔奖．从1936年至2022年，共有64位数学家获得菲尔兹奖，其中有两位华人（丘成桐、陶哲轩）．
下列数据是截止2022年菲尔兹奖得主获奖时的年龄：
29 39 35 33 39 28 33 35 31 31 37 32 38
36 31 39 32 38 37 34 29 34 38 32 35 36
33 29 32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38
34 33 40 36 36 37 40 31 38 38 40 40 37
35 39 37 37 39 34 31 37 39 35 37 38
（1）上面这64个数据的中位数是 ，众数是 ；
（2）菲尔兹奖得主获奖时年龄的极差是 ；
（3）求这组数据的平均数．
19．某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．
（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？
20．已知直线y1＝k1x+b与双曲线相交于点P（﹣2，1）、Q（1，m）．
（1）求k1，b，k2的值；
（2）在同一坐标系中画出直线y1＝k1x+b与双曲线，根据图写出不等式k1x+b的解集．
21．请阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．
阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家和物理学家，他与牛顿、高斯并称三大数学王子．《阿基米德全集》的《引论集》中记述的一个引理用几何语言表示如下：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆O，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作半圆O的切线DT交BC于点T，连接AT交DE于点F，则DF＝EF．
任务：
（1）请完成该引理的证明；
（2）若FT＝CT＝6，求半圆O的半径．
22．已知关于x的函数y＝kx2﹣（k﹣1）x﹣2k﹣2的图象与y轴交于点C．
（1）当k＝2时，求图象与x轴的交点坐标；
（2）若时，函数y随着x的增大而增大，求k的取值范围；
（3）无论k为何值时，函数的图象都经过两个定点，请直接写出这两个定点的坐标．
23．阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a＞0，b＞0时，有，∴，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，的最小值为 ；当x＜0时，的最大值为 ；
（2）当x＞0时，求的最小值；
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为9和16，求四边形ABCD的最小面积．
2023年河南省洛阳市宜阳县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（3分）下面几何体的正视图、俯视图和左视图是全等图形的几何体是（ ）
A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球体
【分析】根据几何体的三种视图，进行选择即可．
【解答】解：A．长方体的三视图都是长方形，不是全等图形，不符合题意；
B．圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆形，不是全等图形，不符合题意；
C．圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆形，不是全等图形，不符合题意；
D．球的三视图都是圆形，是全等图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的轮廓线都应表现在三视图中．
3．（3分）如图，直线AB与直线CD相交于点O，若OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∠BOF＝40°，则∠COE＝（ ）
A．40° B．50° C．30° D．60°
【分析】B根据角平分线的定义表示出∠COE和∠COF，然后根据∠EOF＝∠COE+∠COF计算，再根据∠COE＝90°﹣∠COF即可求解．
【解答】解：∵OE平分∠AOC，
∴，
∵OF平分∠BOC，
∴，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝90°，
∵∠BOF＝40°，
∴∠BOF＝∠COF＝40°，
∴∠COE＝90°﹣∠COF＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，解题的关键是熟记概念并准确识图，理清图中各个角度之间的关系．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．（a2）3＝a5
C．a2+1＝（a+1）2 D．
【分析】根据幂的乘方，完全平方公式，负整数指数幂，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故本选项错误，不符合题意；
C、（a+1）2＝a2+2a+1，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了幂的乘方，完全平方公式，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，点D为垂足，若AB＝3，BC＝4，则BD＝（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．1.2
【分析】根据勾股定理可得AC的长，再由，即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴，
∵BD⊥AC，
∴，
∴，
∴BD＝2.4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
【解答】解：Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
所以方程有两个不相等的两个实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（3分）小明对本班20名男生依次立定跳远测试成绩统计如下：小于200cm有5人，不小于200cm但小于220cm的有4人，不小于220cm但小于240cm的有4人（具体为：220，222，222，224），不小于240cm但小于260cm的有7人．请问这20个数据的中位数是（ ）
A．200 B．220 C．221 D．222
【分析】求出从小到大排列后的第10个数据220cm和第11个数据222的平均数即为中位数．
【解答】解：∵小于200cm有5人，不小于200cm但小于220cm的有4人，不小于220cm但小于240cm的有4人（具体为：220，222，222，224），不小于240cm但小于260cm的有7人，
∴中位数是第10个数据220和第11个数据222的平均数，
即．
故选：C．
【点评】此题考查了中位数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数或者最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．
8．（3分）在平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BC＝5，AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】根据平行四边形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得∠BOC＝90°，即可求解．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝8，
∴，，
∵BC＝5，
∴OB2+OC2＝BC2，
∴∠BOC＝90°，即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得到∠BOC＝90°是解题的关键．
9．（3分）如图，点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．14 D．12
【分析】根据同一反比例函数图象上横纵坐标的积为定值解答即可．
【解答】解：∵点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数的图象上，
∴m（m+1）＝（m+3）（m﹣1），
解得m＝3，
∴点A（3，4），B（6，2），
∴k＝3×4＝12，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数图象和性质，熟练掌握同一反比例函数图象上点的横纵坐标的积都相等，都等于反比例函数的比例系数．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】构造直角三角形，利用特殊锐角三角函数值求出AD、CD，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAD＝180°﹣120°＝60°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝2，
∴AD＝AC＝1，CD＝AC＝，
∴tanB＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）分式有意义的条件是 x≠1 ．
【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分母不等于0．
12．（3分）方程组的解集为 ．
【分析】利用加减消元法解答，即可求解．
【解答】解：，
由②﹣①×2得：7y＝14，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：x﹣3×2＝2，
解得：x＝8．
∴原方程组的解为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法是解题的关键．
13．（3分）某学校从“立定跳远，抛掷实心球，100米短跑，足球”四个项目中抽取两项进行测试，恰好抽到“立定跳远”和“100米短跑”的概率为 ．
【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到“立定跳远”、“100米短跑”两项的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：用1，2，3，4分别表示立定跳远，抛掷实心球，100米短跑，足球．
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好抽到“立定跳远”和“100米短跑”两项的有2种情况，
∴恰好抽到“立定跳远”和“100米短跑”的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）如图，将扇形AOB绕点A逆时针旋转，得到扇形AO'B'，点O，B的对应点分别为点O'，B'，且O'落在弧AB上，连结BB'．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的周长为 ．
【分析】连接AB，AB'，OO'，则OO'＝OA，由旋转的性质，得∠OAO'＝∠BAB'，AB'＝AB，AO'＝AO，O'B'＝OB＝2，推出△AOO'是等边三角形，△ABB'是等边三角形，即可求解．
【解答】解：如图，连接AB，AB'，OO'，
则OO'＝OA，由旋转的性质，得∠OAO'＝∠BAB'，AB'＝AB，AO'＝AO，O'B'＝OB＝OA＝2，
∴△AOO'是等边三角形，
∴∠OAO'＝∠BAB'＝∠AOO'＝60°，
∴△ABB'是等边三角形，∠O'OB＝30°，
∴，O'B的弧长为，
故阴影部分的周长等于O'B的弧长+O'B'+BB'＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折，使点D落在边BC上的F点，若AD＝10，AB＝8，则四边形ADEF的外接圆的半径为 ．
【分析】由圆周角定理可知，AE是四边形ADEF的外接圆的直径，根据翻折的性质可得AD＝AF＝10，利用勾股定理可求BF＝6，再根据矩形的性质可得AD＝BC＝10，FC＝4，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，利用勾股定理求得x＝3，DE＝5，利用勾股定理求得，从而求出结果．
【解答】解：∵将△ADE沿AE对折得到△AFE，
∴∠D＝∠AFE＝90°，
∴AE是四边形ADEF的外接圆的直径，
∵AD＝AF＝10，AB＝8，
在Rt△ABF中，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，
∴FC＝10﹣6＝4，
设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，
在Rt△EFC中，x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴DE＝8﹣3＝5，
在Rt△ADE中，，
∴四边形ADEF的外接圆的半径为，
故答案为：．
【点评】本题考查折叠的性质、矩形的性质、圆周角定理及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题（本题8个小题，共75分）
16．（1）计算：；
（2）计算：．
【分析】（1）根据分式混合运算的运算法则即可求解；
（2）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、有理数的乘方的运算法则，即可求解．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝1+1+π﹣3+1
＝π．
【点评】本题考查分式混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、有理数的乘方的运算法则，解题的关键是掌握相关运算法则，正确计算．
17．某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52m到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为，点A到大楼的距离AD为72m，求大楼的高度CD．（sin53°≈0.8，cos≈0.6，）
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AD于点F，可得四边形BEDF是矩形，根据斜坡AB的坡度为，利用勾股定理可得x的值，再根据锐角三角函数即可求大楼的高度CD．
【解答】解：过点B作BE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AD于点F，
∵CD⊥AD，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DF＝BE，BF＝DE，
在Rt△ABF中，∠BFA＝90°，AB＝52，由可知AF＝2.4BF，
由勾股定理可知：BF2+（2.4BF）2＝522，
解得：BF＝20，
∴AF＝2.4×20＝48，
由图可知：DE＝BF＝20．BE＝FD＝AD﹣AF＝72﹣48＝24，
在Rt△CEB中，∠CBE＝90°，由锐角三角函数可知：，
∴CD＝CE+ED＝16+24＝40．
答：大楼的高度约为40米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
18．菲尔兹奖是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项．每四年颁发一次，颁发给有卓越贡献的年轻数学家，每次最多四人得奖．得奖者须在该年元旦前未满四十岁．它是根据加拿大数学家约翰•查尔斯•菲尔兹的要求设立的，被视为数学界的诺贝尔奖．从1936年至2022年，共有64位数学家获得菲尔兹奖，其中有两位华人（丘成桐、陶哲轩）．
下列数据是截止2022年菲尔兹奖得主获奖时的年龄：
29 39 35 33 39 28 33 35 31 31 37 32 38
36 31 39 32 38 37 34 29 34 38 32 35 36
33 29 32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38
34 33 40 36 36 37 40 31 38 38 40 40 37
35 39 37 37 39 34 31 37 39 35 37 38
（1）上面这64个数据的中位数是 36.5 ，众数是 37 ；
（2）菲尔兹奖得主获奖时年龄的极差是 12 ；
（3）求这组数据的平均数．
【分析】（1）将这组数据从小到大排列后取最中间两位数的平均数即可求得中位数，找到出现次数最多那个数就是众数；
（2）利用极差的定义求得最大值与最小值的差即可；
（3）利用求平均数公式求得平均值即可．
【解答】解：（1）∵将这组数据从小到大排列后处于最中间的两个数分别是36，37，
∴中位数＝，
∵37出现次数最多，
∴众数是37，
故答案为：36.5，37；
（2）极差＝40﹣28＝12，
故答案为：12；
（3）≈35.6．
【点评】本题考查了中位数，众数，极差及平均数等知识点，熟练掌握其知识点是解决此题的关键．
19．某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．
（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？
【分析】（1）利用“每天的工作量×天数＝土方总量”可以得到两个变量之间的函数关系；
（2）根据“工期比原计划减少了24天”找到等量关系并列出方程求解即可；
【解答】解：（1）由题意得，y＝
把y＝120代入y＝，得x＝3
把y＝180代入y＝，得x＝2，
∴自变量的取值范围为：2≤x≤3，
∴y＝（2≤x≤3）；
（2）设原计划平均每天运送土石方x万米3，则实际平均每天运送土石方（x+0.5）万米3，
根据题意得：﹣＝24，
解得：x＝2.5或x＝﹣3
经检验x＝2.5或x＝﹣3均为原方程的根，但x＝﹣3不符合题意，故舍去，
答：原计划每天运送2.5万米3，实际每天运送3万米3．
【点评】本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
20．已知直线y1＝k1x+b与双曲线相交于点P（﹣2，1）、Q（1，m）．
（1）求k1，b，k2的值；
（2）在同一坐标系中画出直线y1＝k1x+b与双曲线，根据图写出不等式k1x+b的解集．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）作出函数的图象，根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵双曲线经过点P（﹣2，1）、Q（1，m），
∴k2＝﹣2×1＝1×m，
∴k2＝﹣2，m＝﹣2，
∴y2＝﹣，Q（1，﹣2），
∵直线y1＝k1x+b过点P（﹣2，1）、Q（1，﹣2），
∴，
解得
故k1，b，k2的值分别为﹣1，﹣1，﹣2；
（2）如图：
由图象可知，不等式k1x+b的解集为x≤﹣2或0＜x≤1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点、待定系数法求函数的解析式、函数与不等式的关系，熟练掌握待定系数法以及数形结合思想的运用是解题的关键．
21．请阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．
阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家和物理学家，他与牛顿、高斯并称三大数学王子．《阿基米德全集》的《引论集》中记述的一个引理用几何语言表示如下：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆O，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作半圆O的切线DT交BC于点T，连接AT交DE于点F，则DF＝EF．
任务：
（1）请完成该引理的证明；
（2）若FT＝CT＝6，求半圆O的半径．
【分析】（1）连接OD、OT、DB，先证Rt△ODT≌Rt△OBT得到DT＝BT，进而得到△ADT∽△ACT和△AEF∽△ABT，得出，最后得出DF＝EF．
（2）过点T作TH⊥DE，得出DE的长，再根据勾股定理，得，然后设半圆O的半径为r，连接OD，在Rt△ODE中，根据勾股定理，即可求出半圆O的半径．
【解答】（1）证明：连接OD、OT、DB．
∵DT与半圆O相切，
又∵OD＝OB，OT＝OT，
∴Rt△ODT≌Rt△OBT，
∴DT＝BT，
∴∠TDB＝∠TBD，
又∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠TDB+∠CDT＝90°，∠TBD+∠TCD＝90°，
∴∠CDT＝∠TCD，
∴DT＝CT，
∴CT＝BT，
∵DE⊥AB，∠ABC＝90°，
∴DE∥BC，
∴△ADT∽△ACT，△AEF∽△ABT，
∴，
∴DF＝EF．
（2）解：过点T作TH⊥DE，于点H，则四边形BEHT是矩形．
∵FT＝CT，CT＝DT，
∴DT＝HF，
∴DH＝HF
∴EH＝HF+2HF＝BT＝6，
∴HF＝2，
∴DE＝6+2＝8，
在Rt△HTF中，
根据勾股定理，得
∴
设半圆O的半径为r，则，
连接OD，
在Rt△ODE中，
根据勾股定理，得OD2＝OE2+DE2，即，
解得．
【点评】本题主要考查了三角形全等，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握三角形全等和相似三角形的判定及性质是解题的关键．
22．已知关于x的函数y＝kx2﹣（k﹣1）x﹣2k﹣2的图象与y轴交于点C．
（1）当k＝2时，求图象与x轴的交点坐标；
（2）若时，函数y随着x的增大而增大，求k的取值范围；
（3）无论k为何值时，函数的图象都经过两个定点，请直接写出这两个定点的坐标．
【分析】（1）把k＝2代入，再令y＝0得（2x+3）（x﹣2）＝0，解方程即可求解；
（2）分情况讨论，①当k＝0时，②若k＜0时，③若k＞0时，利用二次函数的性质求解即可；
（3）把解析式整理成y＝（x2﹣x﹣2）k+x﹣2，求得方程x2﹣x﹣2＝0的解，即可求解．
【解答】解：（1）当k＝2时，y＝2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2），
令y＝0，得（2x+3）（x﹣2）＝0，
解得，x2＝2，
所以函数的图象与x轴的交点为，（2，0）；
（2）①当k＝0时，y＝x﹣2，符合题意．
当k≠0时，y是关于x的二次函数．
②若k＜0时，则抛物线开口向下，对称轴为，
不满足当时，函数y随x的增大而增大的条件；
③若k＞0时，则抛物线的开口向上．对称轴为，
要使时，函数y随x的增大而增大，则只需，
解得k≤3，
结合前提假设k＞0，有0＜k≤3．
综上所述，k的取值范围是0≤k≤3；
（3）y＝kx2﹣（k﹣1）x﹣2k﹣2＝（x2﹣x﹣2）k+x﹣2，
由题意得x2﹣x﹣2＝0，即（x﹣2）（x+1）＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
∴论k为何值时，函数的图象都经过两个定点（2，0）和（﹣1，﹣3）．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用分类讨论的思想解题是关键．
23．阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a＞0，b＞0时，有，∴，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，的最小值为 2 ；当x＜0时，的最大值为 ﹣2 ；
（2）当x＞0时，求的最小值；
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为9和16，求四边形ABCD的最小面积．
【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可；
（2）先将变形得到，然后根据题目中给出的信息进行解答即可；
（3）设S△BOC＝x，根据等高三角形性质得出，求出，根据四边形ABCD的面积为，求出最小值即可．
【解答】解：（1）∵当x＞0时，，
即，
∴的最小值为2；
∵当x＜0时，﹣x＞0，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的最大值为﹣2；
故答案为：2；﹣2；
（2），
∵x＞0，
∴，
∴当x＝4时，y的最小值为11．
（3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝9，S△COD＝16，
则由等高三角形性质可知，，
∴，
∴，
因此四边形ABCD的面积＝，
当且仅当x＝12时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为49．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算．
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