2023年河南省洛阳市宜阳县中考数学一诊试卷（含解析）

2023年河南省洛阳市宜阳县中考数学一诊试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “抛掷一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是(    )

A. 确定事件 B. 必然事件 C. 随机事件 D. 不可能事件

3.  如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若，，则与的面积的比是(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

4.  将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面图中阴影部分面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为(    )
 

A.  B.
C.  D.

6.  如图，是的直径，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在中，，、分别是，的中点，是上一点，，连结、，若，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根若将的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定

9.  如图，在中，，将绕点逆时针旋转得，点在上，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，，，直线经过点，且垂直于，分别与、或相交于点，直线从点出发，沿方向以的速度向点运动，当直线经过点时停止运动，若运动过程中的面积是，直线的运动时间是则与之间函数关系的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．

12.  某商场举行有奖竞猜活动，有，，，四个问题，其中，为体育类问题，，为文化类问题，小华从四个问题中不重复地选择两个，则两个问题类型相同的概率为        ．

13.  设，是一元二次方程的两个根，则        ．

14.  如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当拱顶拱桥洞的最高点离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为______

15.  将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度是        ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
解方程：．

17.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论为何值，方程总有两个实数根；
若该方程有一个实数根大于，求的取值范围．

18.  本小题分
为庆祝中国共青团成立周年，某校开展四项活动：项参观学习，项团史宣讲，项经典诵读，项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

本次调查的样本容量是______，项活动所在扇形的圆心角的大小是______，条形统计图中项活动的人数是______；
若该校约有名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．

19.  本小题分
已知：如图，在中，点、分别在边、上，，与相交于点．
求证：；
若，求证：是的平分线．

20.  本小题分
春节来临之际，某商户购进一批特色农产品，已知该农产品成本价为元售价元与每天销售量为正整数之间满足如图所示的函数关系，其中售价不得低于成本价．
求出与之间所满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
当销售量为多少时，获利最大？最大利润是多少？

21.  本小题分
应天门是隋唐洛阳城中轴建筑群上著名的“七天建筑”之一，是古代举行重大国事庆典与外交活动的重要场所．
问题提出：如何测量应天门东阙楼的高度？
方案设计：如图，某数学课题研究小组通过调查研究和实地测量，他们在处测得东阙楼楼顶的仰角为，沿向前走了至点处三点在同一水平线上，测得东阙楼楼顶的仰角为．
问题解决：根据上述方案和数据，求应天门东阙楼的高度结果精确到，参考数据：，，，
 

22.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，，点在点的右侧，与轴交于点．
若直线的解析式为，求抛物线的解析式；
在的条件下，过点的直线与抛物线交于另一点若直线与直线平行，求点的坐标；
点，为平面直角坐标系内两点，连结若抛物线与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
在阿基米德全集中的引理集中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理：如图，是的弦，点在上，于点，点在弦上且，在劣弧上取一点，，连接，则．
如图，小亮尝试说明，于是他连接了，，，请你帮助他完成下列证明．
求证：；
求证：．
如图，将材料中的“弦”改为“直径”，作直线与相切于点过点作直线于点，其余条件不变，连接，若，，求的半径的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：“抛掷一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是随机事件，
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，，
以原点为位似中心放大后得到，
与的相似比是：：，
与的面积的比是：，
故选：．
根据信息，找到与的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案．
本题考查位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比．
 

4.【答案】 

【解析】解：将抛物线向左平移个单位长度所得抛物线解析式为：；
再向下平移个单位为：，即．
故选：．
根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出底面的长和宽是解题的关键．
根据题意可得底面长为，宽为，再列方程即可．
【解答】
解：设剪去的小正方形边长是，则做成的纸盒的底面长为，宽为，
依题意，列方程得：．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：连接、，

，
，
是的直径，
，
．
故选：．
连接、，先根据圆周角定理求出，再根据圆周角定理证得，进而求出的度数．
本题考查了圆周角定理，掌握并熟练运用圆周角定理是解题的关键，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角．
 

7.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
在中，
点是的中点，
，
故选：．
根据三角形中位线定理求出，得到的长，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
当时，
，
该方程有两个不相等的实数根，
故选：．
根据根的判别式即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：方法一：
由旋转可得，≌，
，，
，
又，
，
又，
∽，
，即，
，
，
方法二：过点作于点，

由旋转可得，
则，
则，
则，而，
即，
解得，
故BE．
故选：．
根据，，即可判定∽，再根据相似三角形的性质，即可得到的长，进而得到的长．
本题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于，
，
故为直角三角形，
，则，，
故CD，同理，
当，如图，

，即，
，该函数为开口向上的抛物线，且对称轴为轴，位于轴的右侧抛物线的一部分；
当时，如图，

同理：，
，该函数为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为，
故选：．
用面积公式，分段求出的面积即可求解．
本题考查的是动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件和分母不为的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．
 

12.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两个问题类型相同的结果有：，，，，共种，
两个问题类型相同的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数和两个问题类型相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
；
故答案为：．
根据，是一元二次方程的两根时，，，得，，分式通分后相加，再把两根之和与两根之积的结果代入，计算即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，建立平面直角坐标系：

设抛物线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
，
当时，，
解得：，，
，
当水面下降时，水面的宽度为．
故答案为：．
以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，解得值，则问题可解．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：根据与相似时的对应关系，有两种情况：
∽时，，
又，，，
，
解得；
∽时，，
，，，，
而，即，
解得．
故BF的长度是或．
故答案为：或．
由于折叠前后的图形不变，要考虑与相似时的对应情况，分两种情况讨论．
本题考查相似三角形的性质，解答此题时要注意进行分类讨论．
 

16.【答案】解：


；
，
移项，得．
配方，得，即．
由此可得．
，． 

【解析】根据特殊角的三角函数值，结合实数的运算法则计算即可；
利用配方法求解即可．
本题考查了实数的运算以及解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值并掌握配平法是解答本题的关键．
 

17.【答案】证明：，
无论为何值，方程总有两个实数根；

设方程的两个根分别是，，
解方程得，
，．
由题意可知，即．
的取值范围为． 

【解析】求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明；
设方程的两个根分别是，，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系求得的取值范围．
本题考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理．
 

18.【答案】解：，，；
人，
答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为人． 

【解析】解：本次调查的样本容量是，项活动所在扇形的圆心角的大小是，条形统计图中项活动的人数是人，
故答案为：，，；
人，
答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为人．
根据两幅统计图提供的信息列式计算即可；
根据样本估计总体列式计算即可．
本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，正确地理解题意是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，，
∽，
，
；
∽，
，
，
∽，
，
是的平分线． 

【解析】根据两个角相等，可证明∽，从而得出结论；
由得，由，可知∽，则，即可证明结论．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明∽是解题的关键．
 

20.【答案】解：当且为整数时，；
当时，设，代入和得：
，解得．
．
当时，代入，得．
且为整数．
综上所述，与之间所满足的函数关系式为；
设所获利润为元，当且为整数时，，
．
，
随着的增大而增大，则当时，有最大值，最大值为；
当且为整数时，，
，
，
当时，最大，最大值为元．
，
当时，获利最大，最大利润是元． 

【解析】当且为整数时，；当时，设，由待定系数法求得函数解析式；
设所获利润为元，分两种情况：当且为整数时，当且为整数时，分别得出的表达式，并分别得出的最大值，然后两者比较即可得出答案．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在实际问题中的应用，数形结合并明确二次函数的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：设，
在中，，，
，
，
，
在中，，，
，
即，
解得，
．
答：应天门东阙楼的高度约为． 

【解析】设，在中，根据三角函数的定义得到，在中，根据三角函数的定义得到，列方程即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

22.【答案】解：在中，令，得．
点．
抛物线与轴交于点，
．
抛物线的解析式为．
在中，令，得．
解得，．
点在点的右侧，
点．
直线与直线平行，直线的解析式为，
设直线的解析式为．
直线经过点，
解得．
直线的解析式为．
令解得舍去，．
把代入，得．
点．
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线顶点坐标为，
当抛物线顶点落在上时，，
解得，满足题意．

把代入得，
解得，
把代入得，
解得，
满足题意，
 
综上所述，的取值范围为或． 

【解析】通过直线的解析式为求得点，即可求得；
利用抛物线解析式求得点的坐标，根据题意设直线的解析式为，代入点即可求得，令直线的解析式与抛物线的解析式联立，解方程组即可求得点的坐标；
分类讨论抛物线顶点落在上，点和点落在抛物线上的临界值，通过数形结合求解．
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合的方法求解．
 

23.【答案】解：证明：，，
垂直平分线段，
，
，
四边形为的内接四边形，
，
，
，
；
，
，
由知，
，
，
，
，
即，
；
解：如图，连接，．

，
，
，，
≌，
，
，，
，
，
直线与相切于点，
，
，
，
，
≌，
，
，
与同理得，，
，
的半径． 

【解析】根据线段垂直平分线性质得出，根据等腰三角形性质得出，根据圆内接四边形的性质推出，结合邻补角定义即可得解；
根据圆的性质得出，则，根据等腰三角形性质得出，根据角的和差求出，根据等腰三角形的判定即可得解；
连接，，根据圆的性质得出，利用证明≌，根据全等三角形的性质得出，根据切线的性质及直角三角形的性质推出，利用证明≌，根据全等三角形的性质得到
，由得，进而求出，据此求解即可．
此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、切线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理、切线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．