2023年河南省洛阳市宜阳县中考数学二模试卷（含解析）

2023年河南省洛阳市宜阳县中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面几何体的正视图、俯视图和左视图是全等图形的几何体是(    )

A. 长方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球体

3.  如图，直线与直线相交于点，若平分，平分，，则(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，在中，，，点为垂足，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

7.  小明对本班名男生依次立定跳远测试成绩统计如下：小于有人，不小于但小于的有人，不小于但小于的有人具体为：，，，，不小于但小于的有人请问这个数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在平行四边形的对角线与相交于点，，，，则四边形(    )

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形

9.  如图，点，都在反比例函数的图象上，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，，，则的值是(    )
 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分式有意义的条件是______．

12.  方程组的解集为______ ．

13.  某学校从“立定跳远，抛掷实心球，米短跑，足球”四个项目中抽取两项进行测试，恰好抽到“立定跳远”和“米短跑”的概率为______ ．

14.  如图，将扇形绕点逆时针旋转，得到扇形，点，的对应点分别为点，，且落在弧上，连结若，，则阴影部分的周长为______ ．

15.  如图，在矩形中，点在边上，将沿对折，使点落在边上的点，若，，则四边形的外接圆的半径为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

16.  某地计划用天含与天的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为万米．
写出运输公司完成任务所需的时间单位：天与平均每天的工作量单位：万米之间的函数关系式，并给出自变量的取值范围；
由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多米，工期比原计划减少了天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米？

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
计算：．

18.  本小题分
某兴趣小组为了测量大楼的高度，先沿着斜坡走了到达坡顶点处，然后在点处测得大楼顶点的仰角为，已知斜坡的坡度为，点到大楼的距离为，求大楼的高度

19.  本小题分
菲尔兹奖是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项每四年颁发一次，颁发给有卓越贡献的年轻数学家，每次最多四人得奖得奖者须在该年元旦前未满四十岁它是根据加拿大数学家约翰查尔斯菲尔兹的要求设立的，被视为数学界的诺贝尔奖从年至年，共有位数学家获得菲尔兹奖，其中有两位华人丘成桐、陶哲轩．
下列数据是截止年菲尔兹奖得主获奖时的年龄：





上面这个数据的中位数是______ ，众数是______ ；
菲尔兹奖得主获奖时年龄的极差是______ ；
求这组数据的平均数．

20.  本小题分
已知直线与双曲线相交于点、．
求，，的值；
在同一坐标系中画出直线与双曲线，根据图写出不等式的解集．

21.  本小题分
请阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．
阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家和物理学家，他与牛顿、高斯并称三大数学王子阿基米德全集的引论集中记述的一个引理用几何语言表示如下：如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，过点作于点，过点作半圆的切线交于点，连接交于点，则．
任务：
请完成该引理的证明；
若，求半圆的半径．

22.  本小题分
已知关于的函数的图象与轴交于点．
当时，求图象与轴的交点坐标；
若时，函数随着的增大而增大，求的取值范围；
无论为何值时，函数的图象都经过两个定点，请直接写出这两个定点的坐标．

23.  本小题分
阅读材料：我们学习了二次根式和乘法公式，可以发现：当，时，有，，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
当时，的最小值为______ ；当时，的最大值为______ ；
当时，求的最小值；
如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为和，求四边形的最小面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
【解答】
解：的相反数是：，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：长方体的三视图都是长方形，不是全等图形，不符合题意；
B.圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆形，不是全等图形，不符合题意；
C.圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆形，不是全等图形，不符合题意；
D.球的三视图都是圆形，是全等图形，符合题意．
故选：．
根据几何体的三种视图，进行选择即可．
本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的轮廓线都应表现在三视图中．
 

3.【答案】 

【解析】解：平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据角平分线的定义表示出和，然后根据计算，再根据即可求解．
本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，解题的关键是熟记概念并准确识图，理清图中各个角度之间的关系．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：．
根据幂的乘方，完全平方公式，负整数指数幂，逐项判断即可求解．
本题主要考查了幂的乘方，完全平方公式，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
，
，
，
．
故选：．
根据勾股定理可得的长，再由，即可求解．
本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
所以方程有两个不相等的两个实数根．
故选：．
先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：小于有人，不小于但小于的有人，不小于但小于的有人具体为：，，，，不小于但小于的有人，
中位数是第个数据和第个数据的平均数，
即．
故选：．
求出从小到大排列后的第个数据和第个数据的平均数即为中位数．
此题考查了中位数，将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或者最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，

四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
，即，
四边形是菱形．
故选：．
根据平行四边形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得，即可求解．
本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得到是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点，都在反比例函数的图象上，
，
解得，
点，，
，
故选：．
根据同一反比例函数图象上横纵坐标的积为定值解答即可．
本题考查反比例函数图象和性质，熟练掌握同一反比例函数图象上点的横纵坐标的积都相等，都等于反比例函数的比例系数．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形．
构造直角三角形，利用特殊锐角三角函数值求出、，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】
解：如图，过点作，交的延长线于点，

，
，
在中，，，
，，
，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分母不等于，．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
解得：，
把代入得：，
解得：．
原方程组的解为．
故答案为：．
利用加减消元法解答，即可求解．
本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法加减消元法和代入消元法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：用，，，分别表示立定跳远，抛掷实心球，米短跑，足球．
画树状图得：

共有种等可能的结果，恰好抽到“立定跳远”和“米短跑”两项的有种情况，
恰好抽到“立定跳远”和“米短跑”的概率是：．
故答案为：．
根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到“立定跳远”、“米短跑”两项的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，

则，由旋转的性质，得，，，，
是等边三角形，
，
是等边三角形，，
，的弧长为，
故阴影部分的周长等于的弧长．
故答案为：．
连接，，，则，由旋转的性质，得，，，，推出是等边三角形，是等边三角形，即可求解．
本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：将沿对折得到，
，
是四边形的外接圆的直径，
，，
在中，，
四边形是矩形，
，
，
设，则，
在中，，
解得，
，
在中，，
四边形的外接圆的半径为，
故答案为：．
由圆周角定理可知，是四边形的外接圆的直径，根据翻折的性质可得，利用勾股定理可求，再根据矩形的性质可得，，设，则，利用勾股定理求得，，利用勾股定理求得，从而求出结果．
本题考查折叠的性质、矩形的性质、圆周角定理及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
 

16.【答案】解：由题意得，
把代入，得
把代入，得，
自变量的取值范围为：，
；

设原计划平均每天运送土石方万米，则实际平均每天运送土石方万米，
根据题意得：，
解得：或
经检验或均为原方程的根，但不符合题意，故舍去，
答：原计划每天运送万米，实际每天运送万米． 

【解析】利用“每天的工作量天数土方总量”可以得到两个变量之间的函数关系；
根据“工期比原计划减少了天”找到等量关系并列出方程求解即可；
本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
 

17.【答案】解：



；



． 

【解析】根据分式混合运算的运算法则即可求解；
根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、有理数的乘方的运算法则，即可求解．
本题考查分式混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、有理数的乘方的运算法则，解题的关键是掌握相关运算法则，正确计算．
 

18.【答案】解：过点作于点，过点作于点，

，
四边形是矩形，
，，
在中，，，由可知，
由勾股定理可知：，
解得：，
，
由图可知：，
在中，，由锐角三角函数可知：，
．
答：大楼的高度约为米． 

【解析】过点作于点，过点作于点，可得四边形是矩形，根据斜坡的坡度为，利用勾股定理可得的值，再根据锐角三角函数即可求大楼的高度．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
 

19.【答案】     

【解析】解：将这组数据从小到大排列后处于最中间的两个数分别是，，
中位数，
出现次数最多，
众数是，
故答案为：，；
极差，
故答案为：；
．
将这组数据从小到大排列后取最中间两位数的平均数即可求得中位数，找到出现次数最多那个数就是众数；
利用极差的定义求得最大值与最小值的差即可；
利用求平均数公式求得平均值即可．
本题考查了中位数，众数，极差及平均数等知识点，熟练掌握其知识点是解决此题的关键．
 

20.【答案】解：双曲线经过点、，
，
，，
，，
直线过点、，
，
解得
故，，的值分别为，，；
如图：

由图象可知，不等式的解集为或． 

【解析】利用待定系数法即可求得；
作出函数的图象，根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点、待定系数法求函数的解析式、函数与不等式的关系，熟练掌握待定系数法以及数形结合思想的运用是解题的关键．
 

21.【答案】证明：连接、、．
与半圆相切，
又，，
≌，
，
，
又是半圆的直径，
，
，，
，
，
，
，，
，
∽，∽，
，
．
解：过点作，于点，则四边形是矩形．
，，
，

，
，
，
在中，
根据勾股定理，得

设半圆的半径为，则，
连接，
在中，
根据勾股定理，得，即，
解得． 

【解析】连接、、，先证≌得到，进而得到∽和∽，得出，最后得出．
过点作，得出的长，再根据勾股定理，得，然后设半圆的半径为，连接，在中，根据勾股定理，即可求出半圆的半径．
本题主要考查了三角形全等，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握三角形全等和相似三角形的判定及性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：当时，，
令，得，
解得，，
所以函数的图象与轴的交点为，；
当时，，符合题意．
当时，是关于的二次函数．
若时，则抛物线开口向下，对称轴为，
不满足当时，函数随的增大而增大的条件；
若时，则抛物线的开口向上．对称轴为，
要使时，函数随的增大而增大，则只需，
解得，
结合前提假设，有．
综上所述，的取值范围是；
，
由题意得，即，
解得，，
论为何值时，函数的图象都经过两个定点和． 

【解析】把代入，再令得，解方程即可求解；
分情况讨论，当时，若时，若时，利用二次函数的性质求解即可；
把解析式整理成，求得方程的解，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用分类讨论的思想解题是关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：当时，，
即，
的最小值为；
当时，，
，
即，
，
，
的最大值为；
故答案为：；；
，
，
，
当时，的最小值为．
设，已知，，
则由等高三角形性质可知，，
，
，
因此四边形的面积，
当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为．
根据题目中给出的信息进行解答即可；
先将变形得到，然后根据题目中给出的信息进行解答即可；
设，根据等高三角形性质得出，求出，根据四边形的面积为，求出最小值即可．
本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算．