山西省临汾市侯马市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份山西省临汾市侯马市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 山西省临汾市侯马市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．函数中自变量的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
2．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（   ）
A．调查全国中小学生对第二次太空授课的满意度 B．调查全国人民掌握新冠防疫知识情况
C．了解某类型医用口罩的质量 D．检查神舟飞船十三号的各零部件
3．如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（    ）

A． B． C． D．
4．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（    ）
A．0， B．0，0 C．， D．，0
5．如图，正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（   ）

A． B． C． D．
6．如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（    ）

A． B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为 D．
7．某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（    ）
A． B． C． D．
8．如图，点是⊙的弦上一点．若，，的弦心距为，则的长为（    ）

A．3 B．4 C． D．
9．如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ）
A． B．
C． D．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（    ）
A．12π B．15π C．20π D．24π

二、填空题
11．最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 ．
12．在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
13．如图，用一段长为的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 ．

14．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．
  
15．如图，在中，，，，点D是边上的一点，过点D作，交于点F，作的平分线交于点E，连接．若的面积是2，则的值是 ．
  

三、解答题
16．（1）计算：．
（2）解方程：
17．如图，在⊙中，直径与弦相交于点，连接、．

(1)求证：；
(2)连接，若，，求⊙的半径．
18．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
19．为让同学们了解新冠病毒的危害及预防措施，某中学举行了“新冠病毒预防”知识竞赛．数学课外活动小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组进行统计，并绘制了下列不完整的统计图表：
分数段
频数
频率
74.5﹣79.5
2
0.05
79.5﹣84.5
8
n
84.5﹣89.5
12
0.3
89.5﹣94.5
m
0.35
94.5﹣99.5
4
0.1
(1)表中m＝　　，n＝　；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
20．为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为和桥墩底部B处的俯角为，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为，测得C、D两点之间的距离为，直线、在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩的高度．（结果保留整数，参考数据：）

21．公司电商平台准备在2022年十一长假期间销售某种儿童玩具，市场调查反映：当它的售价为每件60元时，每天可卖出120件；售价每增加1元，每天销售量会减少4件．已知玩具的进价为40元．设售价增加x元，每天售出y件．
(1)请直接写出y与x之间的函数表达式：
(2)求当x为多少时，平台每天销售这种玩具可获利润1600元？
(3)设平台每天销售这种玩具可获利w元，求当x为多少时，w最大，最大值是多少？
22．问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．

(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝；
(2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）．
23．如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．

(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．B
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2．D
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：A、调查全国中小学生对第二次太空授课的满意度，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B、调查全国人民，掌握新冠防疫知识情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
C、了解某类型医用口罩的质量，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
D、检查神舟飞船十三号的各零部件，事件重大，适合全面调查，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．B
【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再根据外径的长度解答．
【详解】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD=3，
∴AB：3=3，
∴AB=9（cm），
∵外径为10cm，
∴9+2x=10，
∴x=0.5（cm）．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB的长．
4．B
【分析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意，
∵是一元二次方程的一个根，
把代入，则
，
解得：；
∴，
∴，
∴，，
∴方程的另一个根是；
故选：B
【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．
5．B
【分析】设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，分别求出正方形和阴影部分的面积，再利用面积比求出概率，即可．
【详解】解：设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，
∴其内切圆的半径为，正方形的面积为a2，
∴阴影部分的面积为，
∴随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是．
故选：B
【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，关键是明确几何测度，利用面积比求之．
6．D
【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．
【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意；
B、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意；
C、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意；
D、根据可知，当时，，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与轴交点得到是解决问题的关键．
7．C
【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
8．D
【分析】过点作于点，根据垂径定理得出，继而得出，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，

∵，，的弦心距为，
∴,，，
∴，
在中，，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
9．B
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
10．C
【分析】先利用勾股定理计算出AB，再利用扇形的面积公式即可计算出圆锥的侧面积．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积=×2π×4×5
=20π．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
11．2
【分析】先将化成最简二次根式，据同类二次根式的定义得出3a-4=2，求出即可．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，，
∴3a-4=2，
解得：a=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出3a-4=2是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
12．
【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为，
再向下平移5个单位，即．
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）．
【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．
13．32
【分析】设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，列出围栏面积S关于x的二次函数解析式，化为顶点式，即可求解．
【详解】解：设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，
∴围栏的面积，
∴当时，S取最大值，最大值为32，
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出函数解析式是解题的关键．
14．
【分析】根据题意，画出示意图，易得，进而可得，代入数据求解即可得答案．
【详解】解：根据题意作出示意图，则，，，，
  
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键．
15．
【分析】先根据勾股定理得出，根据的面积是2，求出点到的距离为，根据的面积，求出点到的距离为，即可得出点到的距离为，根据相似三角形的判定与性质，得出，求出，，根据等角对等边求出，即可求出，即可得出最后结果．
【详解】解：在中，由勾股定理得，，
∵的面积是2，
∴点到的距离为，
在中，点到的距离为，
∵，
∴点到的距离为，
∵，
∴，
∴，即
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
  
【点睛】本题主要考查了三角形高的有关计算，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解题的关键是求出点到的距离为，点到的距离为．
16．（1）2；（2）．
【分析】（1）分别按照零指数幂、负指数幂、实数的绝对值化简以及特殊角三角函数值化简各部分，再进行加减运算即可；
（2）利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：（1）


；
（2），
开平方得，
∴或，
解得：．
【点睛】本题分别考查了零指数幂、负指数幂、实数的绝对值化简以及特殊角三角函数值，解答关键是按照运算法则进行计算．也考查了直接开平方解一元二次方程．
17．(1)证明见解析
(2)⊙的半径为3

【分析】（1）利用，同弧所对的圆周角相等，得到，再结合对顶角相等，即可证明；
（2）利用，得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得⊙的半径．
【详解】（1）证明：在⊙中，
∵，
∴，
又∵,
∴．
（2）解：∵，
由（1）可知，，
∵直径，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴，
即⊙的半径为3．
【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含角的直角三角形．主要涉及的知识点有同弧所对的圆周角相等；两个角对应相等的两个三角形相似；直径所对的圆周角是直角；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半．
18．(1)k；
(2)k=3

【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根．
∴∆0，即32-4（k-2）0，
解得k
（2）∵方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．
19．(1)14；0.2
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据总数为40，频率为0.35，求出m，根据频数为8，总数为40，求出频率n；
（2）根据89.5﹣94.5的频数为14，补全频数分布直方图即可；
（3）先根据题意画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：m＝40×35%＝14，n＝8÷40＝0.2．
故答案为：14，0.2．
（2）补全频数分布直方图如下：

（3）∵成绩在94.5分以上的选手有4人，男生和女生各占一半，
∴2名是男生，2名是女生，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，画树状图或列表格求概率，根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键．
20．103米
【分析】延长DC交AB于点E，设CE=x米，由题意可得AB⊥DE，解Rt△AEC求得AE，解Rt△BEC求得BE，解Rt△AED求得DE，根据CD=DE-CE列方程求得x即可；
【详解】解：延长DC交AB于点E，设CE=x米，

∵AB、CD在同一平面内，AB⊥水平地面，点C、D在同一水平地面，
∴AB⊥DE，
Rt△AEC中，∠ACE=60°，EC=x米，则AE=EC•tan∠ACE=米，
Rt△BEC中，∠BCE=40°，EC=x米，则BE=EC•tan∠BEC=0.84x米，
Rt△AED中，∠D=30°，AE=米，则DE=AE÷tan∠D=3x米，
∵CD=DE-CE=3x-x=80米，
∴x=40米，
∴AB=AE+BE=米，
∴桥墩的高度为103米；
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握正切三角函数的相关概念是解题关键．
21．(1)
(2)当x为20时，平台每天销售这种玩具可获利润1600元.
(3)当时，w有最大值，最大值为：元.

【分析】（1）由售价增加x元，销售量减小件，从而可得函数关系式；
（2）由每件利润乘以销售量等于利润，再列方程，解方程即可；
（3）由每件利润乘以销售量等于总利润，再列函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案.
【详解】（1）解：由题意得：
（2）解：由题意可得：
整理得：
解得：
经检验不符合题意，舍去，
答：当x为20时，平台每天销售这种玩具可获利润1600元.
（3）由题意得：

∵
当时，w有最大值，
最大值为：（元）.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的应用，确定相等关系是列方程与列函数关系式的关键.
22．(1)详见解析
(2)①DE=；②

【分析】（1）利用AB∥CE，可证得，即，由AD平分∠BAC，可知AC=EC，即可证得结果；
（2）利用（1）中的结论进行求解表示即可．
【详解】（1）解：∵AB∥CE，
∴∠BAD=∠DEC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠DEC，
∴AC=EC，
∵∠BDA=∠CDE，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）①由折叠可知，AD平分∠BAC，CD=DE，
由（1）得，，
∵AC＝1，AB＝2，
∴，
∴，
解得：CD=，
∴DE= CD=；
②由折叠可知∠AED＝∠C=，
∴，
由①可知，
∴，
∴，
即：．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的综合运用，灵活转化比例关系是解题的关键．
23．(1)y＝﹣x2﹣x+4
(2)S最大＝，D（﹣，5）
(3)存在，Q（﹣2，）

【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；
（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．
【详解】（1）解：当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；
（2）如图1，

作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S最大＝，
当m＝﹣时，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；
（3）设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝，
∴P（﹣1，），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q（﹣2，）．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质