山西省吕梁市交口县2022-2023学年九年级上学期期末学业水平达标检测数学试题（含答案）

交口县2022-2023学年第一学期学业水平达标卷

九年级数学

第Ⅰ卷  选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑．

1．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则m的值为（　　）

A．-4 B．4 C．2 D．-5

2．反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（　　）

A．  B．函数图象分布在第二，四象限

C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小

3．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　）

A．-1 B．1 C．2 D．3

4．下列事件不是随机事件的是（　　）

A．通常在标准大气压下，加热到100℃时，水沸腾

B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中

C．掷一次骰子，向上一面的点数是6

D．打开电视，正播放神舟十五号宇航员太空生活的相关报道

5．如图，AB是的直径，过点A作的切线AC，连接BC，与交于点D，E是上一点，连接AE，DE．若，则的度数为（　　）

A．38° B．48° C．32° D．42°

6．在一个不透明的袋子里装有红球6个，黄球4个，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，摸到黄球的概率是（　　）

A． B． C． D．

7．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为（　　）

A．  B．

C．  D．

8．如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长等于，则正六边形的边长为（　　）

A． B．3 C． D．

9．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（　　）

A． B．

C．  D．

10．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象（　　）

A．经过第一，二，三，四象限 B．仅经过第一，二，四象限

C．仅经过第三，四象限 D．仅经过第一，二象限

第Ⅱ卷  非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是__________．

12．如图，若点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点M，轴于点N，则矩形PMON的面积为________________．

13．如图，BD是的直径，点A，C在上，，AC交BD于点G，若，则的度数为__________．

14．如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则__________．

15．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是__________米．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（每小题4分，共8分）解方程：

（1）；

（2）．

17．（本题8分）2022年9月，为了更好地落实“双减”政策，增强课后服务的时效性，吕梁市一中学定于每周四下午进行兴趣课“走班制”，开设了5类兴趣课（每位学生均只选其一）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．信息技术；E．演讲．为了了解该校学生的参与情况，现随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1）求此次调查的学生人数，并补全条形统计图；

（2）求“C”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数；

（3）若“E”类兴趣班中有2名男生和3名女生，从中随机抽取2名参加市级演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

18．（本题8分）如图，是的外接圆，AB是的直径，过点O作于点E，延长OE至点D，连接CD，使．

（1）求证：CD是的切线；

（2）若，求AC的长．

19．（本题9分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出时，x的取值范围；

（3）求的面积．

20．（本题9分）【阅读材料】

配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．

定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．

例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．

解决问题：

（1）已知29是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式；

（2）若可配方成（m，n为常数），求mn的值；

（3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出k的值，并说明理由．

21．（本题9分）2022年12月18日，卡塔尔世界杯圆满落下帷幕．某公司研发了一款成本为30元的世界杯吉祥物相关产品，投放到市场进行销售．按照物价部门规定，销售单价不得低于成本且不得高于70元，调研发现每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求每天的销售量y（个）与销售单价x（元）的函数关系式；

（2）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？

22．（本题11分）综合与实践：

【问题情境】

如图1，在中，，，点D，E分别在边AB，AC上，，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

【观察猜想】

（1）请判断图1中线段PM与PN的数量关系和位置关系，并说明理由；

【探究证明】

（2）把绕点A逆时针旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断的形状，并说明理由．

23．（本题13分）综合与探究：

如图，抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．

（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；

（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使面积最大时M点的坐标，并求出最大面积；（请在图中探索）

（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．

交口县2022-2023学年第一学期学业水平达标卷

九年级数学参考答案

一、（每小题3分，共30分）

1-5．CDAAD 6-10．ACBBA

二、（每小题3分，共15分）

11．1 12．4 13．108° 14．40°

15．9

三、（本大题共8个小题，共75分）

16．解：（1），

，

，

或，

所以，；

（2），

，

，

，

，

所以，．

17．解：（1）此次调查的学生人数为：（人），

补全条形统计图如下：

（2）“C”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数为：；

（3）画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有12种，

∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为：．

18．（1）证明：连接OC，

∵，∴，

∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴，∴，

∵OC是的半径，∴CD是的切线；

（2）解：∵，∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，∴．

19．解：（1）∵，在的图象上，∴，

∴反比例函数的解析式是，∴，

∵，在函数的图象上，∴，

解得：，

则一次函数的解析式是．

所以反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是；

（2）由图象得：当或时，；

（3）∵直线与y轴相交于点C，∴点C的坐标是，

∴．

20．解：（1）；

（2）∵

，

又∵，

∴，，∴．

（3）当时，S是完美数，

理由如下：

，

，

∵x，y是整数，∴，也是整数，∵S是一个“完美数”，

∴．

21．解：（1）设，

将点，代入得：，

解得，

∴每天的销售量y（个）与销售单价x（元）的函数关系式为：；

（2）设每天获得的利润为w元，

由题意得，

∵按照物价部门规定，销售单价不得低于成本且不得高于70元，

∴，

∵，抛物线开口向下，

∴当时，w有最大值，，

∴销售单价为65元时，每天获得的利润最大，最大利润是1225元．

22．解：（1），，理由如下：

∵点P，N是CD，BC的中点，∴，，

∵点P，M是CD，DE的中点，∴，，

∵，，∴，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴，

∴．

（2）是等腰直角三角形，

理由如下：由旋转可知，，

在和中，，

∴，∴，，

利用三角形的中位线得，，，

∴，∴是等腰三角形，

同（1）的方法得，，

∴，

同（1）的方法得，，∴，

∵，

∴

，

∵，∴，

∴，∴是等腰直角三角形．

23．解：（1）将，代入，

∴，

解得，

∴抛物线解析式为：，

令，则，∴点C的坐标为；

（2）作直线BC，过M点作轴交BC于点N，

设直线BC的解析式为，

∴，

解得，

∴，

设M点坐标为，则N点坐标为，

∴，

∴，

当时，的面积有最大值，为，

此时M点的坐标为；

（3）满足条件的点P的坐标为，，．