吉林省吉林市普通高中2023届高三下学期第四次调研测试数学试卷（含答案）

这是一份吉林省吉林市普通高中2023届高三下学期第四次调研测试数学试卷（含答案），共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

吉林省吉林市普通高中2023届高三下学期第四次调研测试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知集合，，若，则实数( )
A.或1 B.0或1 C.1 D.
2、中，，，，则AB边上的高所在的直线方程是( )
A. B. C. D.
3、已知，是两个不同的平面，则下列命题错误的是( )
A.若，且，则
B.若A，B，C是平面内不共线三点，，，则
C.若直线，直线，则a与b为异面直线
D.若且，则直线
4、下列说法错误的是( )
A.若随机变量，则
B.若随机变量Y服从两点分布，且，则
C.若随机变量Z的分布列为，，0，1，2，则
D.若随机变量，则的分布列中最大的只有
5、设，，，则( )
A. B. C. D.
6、点G是的重心，，，则( )
A.32 B.30 C.16 D.14
7、在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：.类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共层，底层如图，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为

图1 图2 图3
A. B. C. D.
8、已知点F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点A，B和C，D，且，则四边形ACBD面积的最小值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
二、多项选择题
9、已知实数a，b，c，d满足，，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
10、如图所示，正三棱台中，，，与平面ABC所成的角为，则( )

A.该三棱台的体积是
B.该三棱台的体积是
C.该三棱台外接球的表面积是
D.该三棱台外接球的表面积是
11、人均消费支出是社会需求的主体，是拉动经济增长的直接因素，是体现居民生活水平和质量的重要指标.2022年一季度和2023年一季度我国居民人均消费支出分别为6393元和6738元，图、图分别为2022年一季度和2023年一季度居民人均消费支出构成分布图，则( )

图1 图2
A.2022年一季度和2023年一季度居民食品烟酒人均消费支出均超过人均总消费支出的
B.2023年一季度居民食品烟酒、衣着、居住各项人均消费支出占比较上年同期均有所降低
C.2023年一季度居民人均交通通信支出低于上年同期人均交通通信支出
D.2023年一季度居民人均消费支出比上年同期增长约
12、已知函数其中a，，给出下列四个结论：( )
甲：有两个不等实根
乙：有一个极小值是
丙：的所有零点的积为0
丁：的所有零点的和为
若上述结论有且只有一个是错误的，则上述结论正确的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
三、填空题
13、已知复数是关于x的方程的一个根，则_______.
14、已知，，，，，是函数的两个零点，且，则________.
15、已知椭圆的左焦点为，上顶点为B，直线l过F和B，且与圆交于两点，若，，则椭圆C的离心率为________.
四、双空题
16、在三棱锥中，，，，直线PA与平面ABC所成角为，直线PB与平面ABC所成角为，则点P在所在平面内的射影的轨迹长为______；三棱锥体积的取值范围是_______.
五、解答题
17、中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B；
（2）若的外接圆半径为，求的周长的最大值.
18、随着消费者对环保、低碳和健康生活的追求不断加强，新能源汽车的市场需求也在不断增加.新能源汽车主要有混合动力汽车、纯电动汽车、燃料电池汽车等类型.某汽车企业生产的A型汽车，有混合动力和纯电动两种类型，总日产量达120台，其中有30台混合动力汽车，90台纯电动汽车.
（1）若从中随机抽检2台汽车，用X表示抽检混合动力汽车的台数，分别就有放回抽检与不放回抽检，求X的分布列及数学期望；
（2）若从每日生产的120台A型汽车中随机地抽取10台样本，用Y表示样本中混合动力汽车台数，分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本中的混合动力汽车台数的比例估计总体中混合动力汽车台数的比例，求误差不超过0.15的概率，并比较在相同的误差限制下，采用哪种抽取估计的结果更可靠.
参考数据：（概率值精确到0.00001）
k
二项分布概率值
超几何分布概率值
0
0.05631
0.04929
1
0.18771
0.18254
2
0.28157
0.29051
3
0.25028
0.26134
4
0.14600
0.14701
5
0.05840
0.05396
6
0.01622
0.01307
7
0.00309
0.00206
8
0.00039
0.00020
9
0.00003
0.00001
10
0.00000
0.00000
总计
1.00000
1.00000
19、如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，.沿AE将折成，如图2所示，连接PB，PC，得到四棱锥.
（1）若平面平面，求证：；
（2）若点T是PC的中点，求点T到直线EB的距离的取值范围.

图1 图2
20、已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求的前n项和.
21、已知双曲线的左、右顶点分别为，，动直线l过点，当直线l与双曲线C有且仅有一个公共点时，点B到直线l的距离为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）当直线l与双曲线C交于异于A，B的两点P，Q时，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为.
（ⅰ）是否存在实数，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ⅱ）求直线AP和BQ点E的轨迹方程.
22、已知函数，且.
（1）求实数m的取值范围；
（2）设k为整数，且对任意正整数n，不等式恒成立，求k的最小值；
（3）证明：.
参考答案
1、答案：B
解析：由集合，对于方程，当时，此时方程无解，可得集合，满足；当时，解得，要使得，则满足，可得，所以实数a的值为0或1
2、答案：A
解析：设AB边上的高所在的直线为l，由已知可得，，所以直线l的斜率.又l过，所以的方程为，整理可得，.
3、答案：C
解析：基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
根据基本事实3(公理2)可判断A；根据基本事实1(公理3)可判断B；根据异面直线的定义可判断C；根据基本事实2(公理1)可判断D.
对于A，由根据且，则A是平面和平面的公共点，
又，由基本事实3(公理2)可得，故A正确；
对于B，由基本事实1(公理3)：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，
又，，且A，B，，则，故B正确；
对于C，由于平面和平面位置不确定，则直线a与直线b位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故C错误；
对于D，由基本事实2(公理1)：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，故D正确.
4、答案：D
解析：
5、答案：A
解析：令，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值为，
，，，
所以，，
当且时，，
证明如下：令，且，
则，，所以，，
而要证，只需证明，即证明，
即证明，即证明，，
令，则，即证明，
设，则，
故函数在区间上是增函数，
所以，即，所以不等式成立.
设，且，
则，则，由的单调性可得，即，即，所以.
6、答案：A
解析：记，，因为G是的重心，所以，因为，，所以，整理得，所以，解得，即

7、答案：B
解析：法一：由杨辉三角中观察得可得.
推广，得到
即
由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为

由已知顶层6个圆球，设为a_1=2\times3，向下每边依次加1个，
第n层a_n=(n+1)\times(n+2)=n^2+3n+2个.
利用分组求和法，得到n层“刍童垛”小球的总个数为






即2021层“刍童垛”小球的总个数为.
8、答案：B
解析：设，，，，，，，
所以，即，①
设直线，联立抛物线方程，
得，得，②，
将②代入①得，
所以，因为直线AB与CD垂足，则，
则四边形ACBD面积
，当时，等号成立，
所以四边形ACBD面积的最小值是8.
9、答案：AC
解析：对A，因为，又，，故，则，故A正确；
对B，取，，，因为，故B错误；
对C，因为，由题意，，，，故，即，故C正确；
对D，取，，，，则，，则，故D错误；
10、答案：AD
解析：
11、答案：AD
解析：对于A项，
由居民人均消费支出构成分布图可知，2022年一季度居民食品烟酒人均消费支出占人均总消费支出的，2023年一季度居民食品烟酒人均消费支出占人均总消费支出的，故A项正确；
对于B项，
由居民人均消费支出构成分布图可知，2022年一季度居民居住人均消费支出占人均总消费支出的，2023年一季度居民居住人均消费支出占人均总消费支出的，故B项错误；
对于C项，由居民人均消费支出构成分布图可知，2022年一季度居民人均交通通信支出消费支出为，2023年一季
度居民人均交通通信支出消费支出为，故C项错误；
对于D项，因为，故D项正确.
12、答案：ABC
解析：
13、答案：
解析：由求根公式可得或，所以
14、答案：1
解析：由题意，

，故即，
故当，是函数的两个零点时，।为一个周期，即，解得.
15、答案：
解析：
16、答案：；
解析：过P作平面ABC垂足为H，则，
，

H点轨迹是半径为3的圆（阿波罗尼斯圆），即轨迹长为
易知，，

17、答案：（1）
（2）9
解析：（1）由，得：

由正弦定理，得
整理得：
因为，所以
两边平方得，消，得
解得：或（舍去）
又，所以.
（2）法一：
因为且
所以：
所以
所以，当且仅当时，取“=”号所以的周长，
即当时，的周长最大值为9
法二：
设的外接圆半径为R，
因为，
所以，，

所以的周长
因为，所以
当时，的最大值1，此时的周长的最大值为9
18、答案：（1）分布列见解析，期望为
（2）采用不放回抽取估计的结果更可靠，理由见解析
解析：（1）对于有放回抽检，每次抽到混合动力汽车的概率为，且各次抽检结果是独立的，设为有放回抽检的混合动力汽车的台数，则，可取0，1，2，
；；
的分布列如下：

0
1
2
P



则
对于不放回抽检，各次抽检的结果不独立，设为不放回抽检的混合动力汽车的台数，则服从超几何分布，可取0，1，2，
；；
的分布列如下：

0
1
2
P



则
（2）样本中混合动力汽车的比例是一个随机变量，根据参考数据，
有放回抽取：
不放回抽取：
因为，
所以，在相同的误差限制下，采用不放回抽取估计的结果更可靠
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为AB垂直且平行CE，四边形ABCE是平行四边形
，平面PAE，平面PAE
平面PAE
平面PBC，平面平面..
（2）法一：，，，设，
点T到直线EB的距离




，，，
即点T到直线EB的距离的取值范围是
法二：取AE中点O，连接OB，OP
是等边三角形
以O为原点，OE，OB所在直线为x轴，y轴，过O作平面ABCE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示
设，
则，，，
，，，，
点T到直线EB的距离.


当时，；当时，
即点T到直线EB的距离的取值范围是.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）令时
，
，时，相减得.

（2）由（1）知
令，则

相减得：

相减得：




21、答案：（1）
（2）（i）存在，
（ii）
解析：（1），
故当直线l过与双曲线C有且仅有一个公共点时，l应与C的渐近线平行
设直线，即，则点B到直线l的距离为，
即双曲线C的标准方程为：
（2）(i)由题可知，直线l斜率不为0
设直线，，
由得：
成立，
，

，

，
所以存在实数，使得成立.
(ii)直线，直线
联立得：，，
所以直线AP和BQ交点E的轨迹方程为：.
22、答案：（1）
（2）2
（3）证明见解析
解析：（1）法一：在上恒成立
在上恒成立
设，
①当时，恒成立在上单调递增，且，，时，不符合题意，舍去
②当时，令，则；令，则.
在上单调递减，在上单调递增

设，
令，则；令，则.
在上单调递增，在上单调递减
，即当时，
m的取值范围是：
法二：，在上恒成立
是上最小值，也是极小值
，即.
当时，，
令，则；令，则
在上单调递减，在上单调递增
即，满足：在上恒成立

法三：①当时，恒成立，
②当时，恒成立，设，
设，
在上单调递增，，，，在上单调递增
当时，，，，为“”型
由洛必达法则得
当时，，即
③当时，恒成立，设，
设，
在上单调递减，，，，在上单调递增
当时，，，，为“”型
由洛必达法则得
当时，，即
综上，m的取值范围是：
（2）由（1）知，，即在上恒成立（当且仅当时取等）
令，则
即，，
又且，k的最小值为2
（3）不等式在上恒成立（当且仅当时取等）令，则，即令，则，即故