吉林省吉林市普通中学2021届高三下学期第四次调研测试 数学(理)(含答案)
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理科数学
本试卷共23小题,共150分,共6页,考试时间120分钟,考试结束后,将答题卡和试题卷一并交回.
注意事项:
1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条
形码、姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案
的标号;非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、
笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案
无效.
4.作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀.
第I卷(共60分)
一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求.
1. 已知全集,,则集合=
A. B.
C. D.
2. 已知是第二象限角,则
A. B.
C. D.
3. 已知为虚数单位,若复数为纯虚数,则
A. B.
C. 或 D.
4. 甲,乙,丙三名运动员在某次测试中各射击20次,三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1,图2和图3,若,,分别表示他们测试成绩的标准差,则
A. B. C. D.
5. 已知随机变量,且,
,则为
A. B. C. D.
6. 若点为圆的弦的中点,则弦所在直线方程为
A. B.
C. D.
7. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是
A.
B.
C.
D.
8. 已知分别为三个内角的对边,且,则为
A. B.
C. D.
9. 已知,则的大小关系是
A. B.
C. D.
10. 一副三角板有两种规格,一种是等腰直角三角形,另一种
是有一个锐角是的直角三角形,如图两个三角板斜边
之比为. 四边形就是由三角板拼成的,
,则的值为
- B. C. D.
11. 已知函数在区间上单调递增,且在区间
上有且仅有一个解,则的取值范围是
- B.
C. D.
12.已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于两点,以线段为直径的圆与轴交于两点,设线段的中点为,若抛物线上存在一点到焦点的距离等于.下面四个命题:
① 抛物线的方程是 ② 抛物线的准线方程是
③ 的最小值是 ④ 线段长的最小值是
其中正确的命题的个数是
A. B. C. D.
第II卷(共90分)
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分,第二个空填对得3分.
13. 已知变量和需满足约束条件,则的最小值为________.
14. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期,涌现了一大批卓有成就的数学家,其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出,被誉为“宋元数学四大家”.数学周老师将秦九韶的《数书九章》、李冶的《测圆海镜》《益古演段》、杨辉的《详解九章算法》、朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组,则有________种不同的分配方式.
15.已知函数,设,其中
且,则 .
16.如图所示,在长方体中,
,点是棱
上的一个动点,若平面交棱于点
,则四棱锥的体积为 ,
截面四边形的周长的最小值为 .
三、解答题:共70分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(本小题满分12分)
已知等比数列的前项和.
(Ⅰ)求的值,并求出数列的通项公式;
(Ⅱ)令,设为数列的前项和,求.
18.(本小题满分12分)
已知斜三棱柱,侧面与底面垂直,,,,且.
(Ⅰ)试判断与平面是否垂直,并说明理由;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
19.(本小题满分12分)
江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀《最强大脑(8)》现已进入联盟抢分赛环节,由12强选手组建的凌霄、逐日、登峰联盟三支队伍(每队四人)将进行“12进6”的登顶预备战,每局有两队参加,没有平局. 按12强历次成绩统计得出,在一局比赛中,逐日联盟胜凌霄联盟的概率为,逐日联盟胜登峰联盟的概率为,凌霄联盟胜登峰联盟的概率为. 联盟抢分赛规则如下:按抽签决定由逐日联盟和凌霄联盟先进行第一局的比赛,然后每局的获胜队与未参加此局比赛的队伍进行下一局的比赛. 在比赛中,有队伍先获胜两局,就算取得比赛的胜利,直接晋级6强的全国脑王争霸赛.
(Ⅰ)求只进行两局比赛,逐日联盟晋级6强的概率;
(Ⅱ)求只进行两局比赛,就能确定晋级6强联盟队的概率;
(Ⅲ)求逐日联盟晋级6强的概率.
20.(本小题满分12分)
已知点为椭圆的右焦点,椭圆上任意一点到点距离的最大值为,最小值为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若为椭圆上的点,以为圆心,长为半径作圆,若过点可作圆的两条切线(为切点),求四边形面积的最大值.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)当曲线在处的切线与直线垂直时,求实数的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)求证: .
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答. 并用2B铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分. 如果多做,则按所做的第一题计分.
22. [选修4—4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,点是曲线(为参数)上的动点,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若点在轴右侧,点在曲线上,求的最小值.
- [选修4—5:不等式选讲]
设函数.
(Ⅰ)若,求证:;
(Ⅱ)对于,恒成立,求实数的取值范围.
吉林市普通中学2020—2021学年度高中毕业班第四次调研测试
理科数学参考答案
一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
C | C | A | D | B | D | B | B | A | C | D | B |
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分,
第二个空填对得3分.
13. 14. 15. 16. (2分), (3分)
17.【解析】
(Ⅰ)法一:当时, 1分
当时, 3分
是等比数列,,即,解得 5分
所以,的值为,数列的通项公式为 6分
法二:
是等比数列,即 3分
设的公比为, 6分
(Ⅱ) 8分
12分
18.【解析】
取中点,连接、,又,得,平面平面,交线为,又平面,则平面,
,为中点,
以为轴,为轴,为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,
,,
3分
(Ⅰ),
所以与不垂直,即与平面不垂直 6分
(另解:求出平面法向量,与不平行,则与平面不垂直)
(Ⅱ)因为平面,设平面的一个法向量 7分
设为平面的一个法向量,
,
由
令,则,即, 10分
又因为,
如图知,二面角为钝角,所以二面角的余弦值为 12分
法二:(Ⅰ)由,,,得,
由,,,得,
所以,则不垂直于,平面,
则与平面不垂直. 3分
(Ⅱ)如图:过做,垂足为,
平面平面,交线为,又平面,
则平面, 6分
所以二面角的补角为所求. 7分
过向棱作垂线,垂足为,连接,
则就是二面角的平面角
,,所以, 10分
所以,
所以二面角的余弦值为 12分
19.【解析】
(Ⅰ)记“只进行两局比赛,逐日联盟晋级6强”为事件.
3分
(Ⅱ)记“只进行两局比赛,就能确定晋级6强联盟队”为事件
则事件包含逐日联盟晋级或凌霄联盟晋级.
7分
(Ⅲ)记“逐日联盟晋级6强”为事件.则事件包含三种情况:
① 逐日联盟胜凌霄联盟,逐日联盟胜登峰联盟:
② 逐日联盟胜凌霄联盟,逐日联盟负登峰联盟,登峰联盟负凌霄联盟,逐日联盟胜
凌霄联盟:
③ 逐日联盟负凌霄联盟,凌霄联盟负登峰联盟,登峰联盟负逐日联盟,逐日联盟胜
凌霄联盟:
12分
(注:②③求对各给2分)
20.【解析】
(Ⅰ)根据题意椭圆上任意一点到点距离的最大值为,最小值为.
所以 解得 2分
所以
因此椭圆的标准方程为 4分
(Ⅱ)(法一)
由(1)知,为椭圆的左焦点,
根据椭圆定义知,,
设,点在圆外 6分
所以,在直角三角形中,
, 8分
由圆的性质知,四边形面积,其中. 9分
即().
令(),则
当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
所以,在时,取极大值,也是最大值
此时 12分
(法二)同法一,四边形面积,其中 9分
所以
当且仅当,即时取等号
所以 12分
21.【解析】
因为,
所以 1分
根据题意 2分
(Ⅰ)解得 ,满足, 4分
(Ⅱ)
当时,,
令,令或
所以的递增区间是,递减区间是
当时,,
令,令
所以的递增区间是,递减区间是
综上所述:当时,的递增区间是,递减区间是;
当时,的递增区间是,递减区间是. 8分
(3)由(2)知当时,,并且,
因此有在恒成立,
用替换得,即在恒成立,
因此当时不等式恒成立
令用替换得,
所以
即 12分
22.【解析】
(Ⅰ)消去得
即曲线的普通方程为 2分
曲线的极坐标方程为 ,
由 得曲线的直角坐标方程为 4分
(Ⅱ)P是曲线右支上的动点 设点P坐标为
是曲线上 最小值即点P到曲线的距离
则= 7分
,,当且仅当时取等号
当时,取最小值 最小值为 10分
23.【解析】
(Ⅰ)当时, 2分
当且仅当 等号成立
4分
(注:没写取等号条件扣1分)
(Ⅱ)对于,恒成立
恒成立 7分
即
实数的取值范围 10分
法二:
(1)当时 即时,
6分
(2)当 即 时
①当时 ,
②当时 ,
由 ① ②可知 9分
综上:的取值范围 10分
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2021.5.7 吉林省吉林市普通中学2021届高三下学期第四次调研测试四调文数: 这是一份2021.5.7 吉林省吉林市普通中学2021届高三下学期第四次调研测试四调文数,共7页。