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    吉林省吉林市普通中学2021届高三下学期第四次调研测试 数学(理)(含答案)

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    这是一份吉林省吉林市普通中学2021届高三下学期第四次调研测试 数学(理)(含答案),共15页。试卷主要包含了【解析】等内容,欢迎下载使用。

    吉林市普通中学20202021学年度高中毕业班第四次调研测试

    理科数学

    本试卷共23小题,共150分,共6页,考试时间120分钟,考试结束后,将答题卡和试题卷一并交回.

    注意事项:

    1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条

    形码、姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.

    2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案

    的标号;非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、

    笔迹清楚.

    3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案

        无效.

    4.作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

    5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮

        纸刀.

    I卷(共60分)

    一、选择题:本大题共12每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求.

    1.  已知全集,则集合=

    A.                  B.

    C.                D.  

    2.  已知是第二象限角,则

    A.          B.

    C.         D.

    3.  已知为虚数单位,若复数为纯虚数,则

    A.                 B.

    C.                         D.

     

    4.  甲,乙,丙三名运动员在某次测试中各射击20次,三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1,图2和图3,若分别表示他们测试成绩的标准差,则

     

     

     

     

     

     

    A    B    C     D

    5.  已知随机变量,且

    ,则

    A         B         C          D

    6.  若点为圆的弦的中点,则弦所在直线方程为

    A                     B  

    C                     D

    7.  是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是

    A

    B

    C

    D

    8.  已知分别为三个内角的对边,且,则

    A.                    B.

    C.                   D.

    9.  已知,则的大小关系是

    A.                       B.    

    C.                        D.

    10. 一副三角板有两种规格,一种是等腰直角三角形,另一种

    是有一个锐角是的直角三角形,如图两个三角板斜边

    之比为. 四边形就是由三角板拼成的,

    ,则的值为

    1.     B.     C.   D.

    11. 已知函数在区间上单调递增,且在区间

    上有且仅有一个解,则的取值范围是

    1.         B.     

    C.         D.

    12已知抛物线的焦点为,过点的直线抛物线于两点,以线段为直径的圆与轴交于两点,设线段的中点为,若抛物线上存在一点到焦点的距离等于.下面四个命题:

        抛物线的方程是     抛物线的准线方程是

    的最小值是     线段长的最小值是

    其中正确的命题的个数是

    A    B    C    D

     

    II卷(共90分)

     

    二、填空题:本大题共4个小题每小题5分,共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分,第二个空填对得3分.

    13. 已知变量满足约束条件,则的最小值为________.

    14. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期,涌现了一大批卓有成就的数学家,其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出,被誉为宋元数学四大家.数学周老师将秦九韶的《数书九章》、李冶的《测圆海镜》《益古演段》、杨辉的《详解九章算法》、朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组,则有________种不同的分配方式.

    15已知函数,设,其中

    ,则            .

    16如图所示,在长方体中,

    ,点是棱

    上的一个动点,若平面交棱于点

    ,则四棱锥的体积为       ,

    截面四边形的周长的最小值为      .

    三、解答题:共70分. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

    (一)必考题:共60.

    17.(本小题满分12分)

    已知等比数列的前项和.

    的值,并求出数列的通项公式

    ,设为数列的前项和,求.

     

    18.(本小题满分12分)

    已知斜三棱柱,侧面与底面垂直,,且.

       )试判断与平面是否垂直,并说明理由;

       )求二面角的余弦值.

     

     

    19.(本小题满分12分)

    江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀《最强大脑(8)》现已进入联盟抢分赛环节,由12强选手组建的凌霄、逐日、登峰联盟三支队伍(每队四人)将进行12进6的登顶预备战,每局有两队参加,没有平局. 按12强历次成绩统计得出,在一局比赛中,逐日联盟胜凌霄联盟的概率为,逐日联盟胜登峰联盟的概率为,凌霄联盟胜登峰联盟的概率为. 联盟抢分赛规则如下:按抽签决定由逐日联盟和凌霄联盟先进行第一局的比赛,然后每局的获胜队与未参加此局比赛的队伍进行下一局的比赛. 在比赛中,有队伍先获胜两局,就算取得比赛的胜利,直接晋级6强的全国脑王争霸赛.

    )求只进行两局比赛,逐日联盟晋级6强的概率;

    )求只进行两局比赛,就能确定晋级6强联盟队的概率;

    )求逐日联盟晋级6强的概率.

     

    20.(本小题满分12分)

    已知点为椭圆的右焦点,椭圆上任意一点到点距离的最大值为,最小值为.

    )求椭圆的标准方程;

    )若为椭圆上的点,以为圆心,长为半径作圆,若过点可作圆的两条切线为切点),求四边形面积的最大值.

     

     

    21.(本小题满分12分)

    已知函数.

    )当曲线处的切线与直线垂直时,求实数的值;

    )求函数的单调区间;

    求证:  .

     

    (二)选考题:共10.请考生在第2223题中任选一题作答. 并用2B铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分. 如果多做,则按所做的第一题计分.

    22.  [选修44:坐标系与参数方程]

    在平面直角坐标系中,点是曲线为参数)上的动点,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

    )求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;

    )若点轴右侧,点在曲线上,求的最小值.

     

     

     

    1.  [选修45:不等式选讲]

    设函数.

    )若,求证:

    )对于恒成立,求实数的取值范围.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    吉林市普通中学20202021学年度高中毕业班第四次调研测试

    理科数学参考答案

    一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分.

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    C

    C

    A

    D

    B

    D

    B

    B

    A

    C

    D

    B

     

    二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分,

    第二个空填对得3分.

    13.       14.        15.      16.   (2分),  (3分)

    17.【解析】

    法一:当时,                     1分

    时,                  3分

    是等比数列,,即,解得                     5分

    所以,的值为,数列的通项公式为                      6分

    法二:

    是等比数列,               3分

    的公比为                6分

                               8分

                             12分

    18.【解析】

    中点,连接,又,得,平面平面,交线为,又平面,则平面

    ,中点,

    轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系.

                                  3分

      

    所以不垂直,即与平面不垂直                      6分

    (另解:求出平面法向量不平行,则与平面不垂直

    因为平面,设平面的一个法向量        7分

    为平面的一个法向量,

       

        

    ,则,即                       10分

    又因为 

    如图知,二面角为钝角,所以二面角的余弦值为    12分

    法二)由,,,得,

    ,,,得,

    所以,则不垂直于,平面,

    与平面不垂直.                         3分

    如图:过,垂足为

    平面平面,交线为,又平面

    平面                             6分

    所以二面角的补角为所求.                    7分

    向棱作垂线,垂足为,连接

    就是二面角的平面角

    ,所以                      10分

    所以

    所以二面角的余弦值为                    12分

    19.【解析】

    )记只进行两局比赛,逐日联盟晋级6强为事件

                                              3分

    )记只进行两局比赛,就能确定晋级6强联盟队为事件

     则事件包含逐日联盟晋级或凌霄联盟晋级.

                                    7分

    )记逐日联盟晋级6强为事件.则事件包含三种情况:

    逐日联盟胜凌霄联盟,逐日联盟胜登峰联盟:              

    逐日联盟胜凌霄联盟,逐日联盟负登峰联盟,登峰联盟负凌霄联盟,逐日联盟胜

    凌霄联盟:

    逐日联盟负凌霄联盟,凌霄联盟负登峰联盟,登峰联盟负逐日联盟,逐日联盟胜

      凌霄联盟:

                                     12分

    (注:②③求对各给2分)

    20.【解析】

    根据题意椭圆上任意一点到点距离的最大值为,最小值为.

    所以      解得                          2分

    所以

    因此椭圆的标准方程为                           4分

    (法一)

    由(1)知,为椭圆的左焦点,

    根据椭圆定义知,

    在圆           6分

     

    所以,在直角三角形中,

              8分

    由圆的性质知,四边形面积,其中    9分

    ),则

    时,单调递增;

    时,单调递减.

    所以,时,取极大值,也是最大值

    此时                            12分

    (法二)同法一,四边形面积,其中 9分

    所以

    当且仅当,即时取等号

    所以                                             12分

     

    21.【解析】

    因为

          所以                                      1分

    根据题意                            2分

    解得 ,满足                          4分

    时,

    ,令

    所以的递增区间是,递减区间是

    时,

    ,令

    所以的递增区间是,递减区间是

    综上所述:当时,的递增区间是,递减区间是

    时,的递增区间是,递减区间是.               8分

    (3)由(2)知当时,,并且

    因此有恒成立,

    替换,即恒成立,

    因此当时不等式恒成立

    替换

    所以

                     12分

    22.【解析】

    消去

    即曲线的普通方程为                            2分

    曲线的极坐标方程为

    得曲线的直角坐标方程为                   4分

    P是曲线右支上的动点  设点P坐标为

    是曲线   最小值即点P到曲线的距离          

    =                         7分

    当且仅当时取等号

    时,取最小值 最小值为                        10分

    23.【解析】

    时,                 2分

     

     当且仅当 等号成立  

                                                        4分

    (注:没写取等号条件扣1分)

    )对于恒成立

           

            恒成立     7分

            

          

    实数的取值范围                              10分

    法二:

           

    1时 即时,

                                 6分

    (2)当

    时 ,

    时 ,

        

    可知                           9分

    综上:的取值范围                            10分

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