2022-2023学年吉林省吉林市普通高中友好学校高二上学期期末联考数学试题含解析

2022-2023学年吉林省吉林市普通高中友好学校高二上学期期末联考数学试题

一、单选题

1．如果向量，，共面，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，由空间向量的坐标运算可得出方程组，即可解得的值.

【详解】由于向量，，共面，

设，可得，解得.

故选：B.

2．已知直线l1：4x+my+2=0和l2：mx+y+1=0平行，则实数m=（    ）

A． B．0 C．2 D．±2

【答案】A

【分析】由两直线平行的条件计算．

【详解】由题意，，

时，方程是，即，的方程是，两直线重合，舍去，

时，方程可化为，方程化为，平行．

故选：A.

3．过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】D

【分析】由题意，分截距为或不为两种情况，分别设对应的直线方程，代入已知点，可得答案.

【详解】显然，所求直线的斜率存在．

当两截距均为时，设直线方程为，将点代入得，此时直线方程为；

当两截距均不为时，设直线方程为，将点代入得，此时直线方程为．

故选：D．

4．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由抛物线的定义可求的值，进而可求焦点坐标.

【详解】解：抛物线上一点到焦点的距离为，

由抛物线的定义知，即，所以，所以，

抛物线的焦点坐标为，

故选：A.

5．在平行六面体中，其中，，，，，则的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据空间向量基本定理、加法的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】因为是平行六面体，

所以，

所以有：，

因此有：

，

因为，，，，，

所以，

所以，

故选：B

6．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】B

【解析】设女子第一天织布尺，则数列是公比为2的等比数列，由题意得，解得，由此能求出该女子所需的天数至少为7天．

【详解】设女子第一天织布尺，则数列是公比为2的等比数列，

由题意得，解得，

，解得．

因为，

该女子所需的天数至少为7天．

故选：B

7．与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设出椭圆方程，由短轴长求出，求出双曲线的焦点坐标，进而求出，得到椭圆方程.

【详解】设椭圆方程为，

双曲线的焦点坐标为，

又短轴长为2，故，解得：，

则，故椭圆方程为.

故选：C

8．在等差数列中，，，则中最大的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设等差数列的公差为d.由已知得，可得关系.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项.

【详解】设等差数列的公差为d.由得，，整理得，.

又，所以，因此，

所以最大.

故选：B.

二、多选题

9．下列关于抛物线的说法正确的是（    ）

A．焦点在y轴上

B．焦点在x轴上

C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6

D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为

【答案】BD

【分析】根据抛物线的焦点、抛物线的定义等知识确定正确选项.

【详解】抛物线的焦点在x轴上，B正确，A错误；

设是上的一点，则，所以C错误；

由于抛物线的焦点为，过该焦点的直线方程为，若由原点向该直线作垂线，垂足为时，则，此时存在符合题意的垂线，所以D正确．

故选：BD

10．已知直线和圆，则（    ）

A．直线l恒过定点

B．存在k使得直线l与直线垂直

C．直线l与圆O相交

D．若，直线l被圆O截得的弦长为4

【答案】BC

【分析】利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.

【详解】解：对于A、C，由，得，令，解得，

所以直线恒过定点，故A错误；

因为直线恒过定点，而，即在圆内，

所以直线l与圆O相交，故C正确；

对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；

对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，

所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.

故选：BC.

11．已知等比数列{}中，满足，，则（    ）

A．数列{}是等比数列 B．数列是递增数列

C．数列是等差数列 D．数列{}中，仍成等比数列

【答案】AC

【分析】先利用等比数列通项公式求出，从而得到，利用等比数列的定义判断A选项；得到，判断出为递减数列；求出，利用等差数列定义判断C选项，计算出，利用得到不成等比数列.

【详解】由题意得：，所以，则，

所以数列{}是等比数列，A正确；

，所以，且，故数列是递减数列，B错误；

，所以，C正确；

，

因为，故数列{}中，不成等比数列，D错误.

故选：AC

12．如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为的中点，则正确的结论有（    ）

A．平面 B．与平面所成的角为

C．三棱锥的体积为 D．到平面的距离为

【答案】AD

【分析】由线面平行的判定定理可判断选项A；由线面角可判断选项B；由体积可判断选项C；由等体积变换可判断选项D.

【详解】对于选项A：连接交于点，连接，点为中点，点为中点，∴，∵面，面，∴面，故A正确；

对于选项B：三棱柱为正三棱柱，是边长为2的等边三角形，∴平面平面，取的中点，连结，则，∴平面，故为直线与平面所成的角.

在三角形中易得，∴，，在直角三角形中．故B错误；

对于选项C：，故C错误；

对于选项D：设到平面的距离为，由题意可得，∴，∴,∴，∴，故D正确.

故选：AD．

三、填空题

13．在等比数列中，，，则与的等比中项为_____

【答案】

【分析】根据等比中项的定义可得答案.

【详解】因为，，所以与的等比中项为

故答案为：.

14．双曲线的渐近线方程为_________.

【答案】

【分析】由双曲线方程得，再计算渐近线方程.

【详解】由，得，故渐近线方程为，

故答案为：

15．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为___．

【答案】9

【分析】首先设抛物线的解析式，写出抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径，求出，的面积是与乘积的一半.

【详解】设抛物线的解析式，

则焦点为，对称轴为轴，准线为，

直线经过抛物线的焦点，A，B是与的交点，

又轴，

，

，

又点在准线上，过点P作l的垂线，垂直为D，

，

.

故答案为：9.

16．已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.

【答案】

【分析】先求得，再根据投影向量的模的公式求解即可

【详解】由题，，故在上的投影向量的模

故答案为：.

四、解答题

17．已知等差数列的首项为，公差，且是与的等比中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由等比中项的性质可得将其转化为关于首项和公差的方程，解方程求得公差，再由等差数列的通项公式即可求解；

（2）由（1）求出的通项公式，再由裂项求和即可求解.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，

因为是与的等比中项，

所以即

所以，整理可得：，

解得：或（舍），所以.

（2）由（1）知

所以，

所以

.

18．在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.

(1)求圆心P的轨迹方程;

(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或

【详解】试题分析：（1）设，圆的半径为，则，可得圆心的轨迹方程；（2）设，则 ，又根据点到直线距离公式得，解出，进而可得圆的半径，求得圆的方程．

试题解析：（1）设，圆的半径为，由题设，从而，故的轨迹方程为．

（2）设，由已知得，又点在双曲线上，从而得．由，得，此时，圆的半径，

由，得，此时，圆的半径，故圆的方程为或．

【解析】1.勾股定理及点到直线的距离公式；2.轨迹方程及待定系数法求圆的方程．

【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有：①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入．本题（1）就是利用方法①求的轨迹方程的．

19．如图，正三棱柱中，D是的中点，.

(1)求点C到平面的距离；

(2)试判断与平面的位置关系，并证明你的结论.

【答案】(1)

(2)平行，证明过程见解析.

【分析】（1）利用等体积法即可求解；

（2）利用线面平行的判定即可求解.

【详解】（1）解：正三棱柱中，D是的中点，

所以，，

正三棱柱中，

所以

又因为正三棱柱中，侧面平面且交线为

且平面中，

所以平面

又平面

所以

设点C到平面的距离为

在三棱锥中，

即

所以点C到平面的距离为.

（2）与平面的位置，证明如下：

连接交于点，连接，如下图所示，

因为正三棱柱的侧面为矩形

所以为的中点

又因为为中点

所以为的中位线

所以

又因为平面，且平面

所以平面

20．已知数列满足，设.

(1)证明：是等比数列；

(2)求.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先求出，对两边同时加1，化简可得结论，

（2）由（1）可得，然后利用分组求和可求得结果.

【详解】（1）证明：当时，，则

从而由，得，又，

所以是以2为首项，2为公比的等比数列.

（2）解：由（1）得，

所以

21．在三棱锥中，平面，平面平面.

(1)证明：平面；

(2)若为的中点，且，，求平面与平面所成角的锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）过点在平面内作，垂足为点，证明出，，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得平面与平面所成角的锐二面角的余弦值.

【详解】（1）解：过点在平面内作，垂足为点，

因为平面平面，平面平面，，平面，

平面，

平面，，

平面，平面，，

，、平面，因此，平面.

（2）解：连接，，则为的中点，

又因为为的中点，则且，

平面，平面，又因为，设，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，

设平面的法向量为，，，

由得，取，可得，

设平面的法向量为，，，

由得，取，可得，

.

因此，平面与平面所成角的锐二面角的余弦值为.

22．已知椭圆过点，且离心率，为坐标原点.

(1)求椭圆的方程；

(2)判断是否存在直线，使得直线与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；

(2)存在，方程为和.

【分析】（1）根据椭圆上的点、离心率和关系可构造方程求得，由此可得椭圆方程；

（2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理形式，根据共线向量可得，代入韦达定理中可构造关于的方程，解方程可求得，进而得到直线方程.

【详解】（1）由题意得：，解得：，椭圆的方程为；

（2）由题意知：直线斜率存在且不为零，可设，，，

由得：，则；

，，，

，，

解得：，，

满足条件的直线存在，方程为和.