上海市静安区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

这是一份上海市静安区2022-2023学年高一下学期期末数学试题，共11页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

上海市静安区2022-2023学年高一下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题
1．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的余弦值为 .
2．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为 .
3．若，则的值为 .
4．已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为 .
5．设某新鲜食物每存放一天，剩余的营养成分是前一天的，当剩余的营养成分不足新鲜时的一半时，该食物就不能食用了.则该新鲜食物最多存放 天.（结果精确到1天）
6．设向量，，且，则函数的值域为 .
7．若点是的重心（中线的交点），则用向量表示为 .
8．已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为 .

二、单选题
9．在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角.
①小于的角一定是锐角；    
②第二象限的角一定是钝角；
③终边重合的角一定相等；    
④相等的角终边一定重合.
其中真命题的个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（    ）
A． B．
C． D．
11．设，表示满足的最小正整数，则的值（    ）
A．6 B．7 C．8 D．9

三、解答题
12．设数列为等差数列，已知，，
(1)求；
(2)设，求的值.
13．设复数，，其中.现在复数系中定义一个新运算，规定：.
(1)已知，求实数的值；
(2)现给出如下有关复数新运算性质的两个命题：
①；
②若，则或.
请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.
14．如图，某人位于临河的公路上，已知公路两个相邻路灯、之间的距离是，为了测量点与河对岸一点之间的距离，此人先后测得，.
  
(1)求、两点之间的距离；
(2)假设你只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角的大小）.请你设计一个通过测量角可以计算出河对岸两点、之间距离的方案，用字母表示所测量的角的大小，并用其表示出的长.
15．（1）指出函数的最大值，及函数取得最大值时所对应的的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像；
（2）指出正弦函数的单调性，并以此为依据证明：余弦函数在区间是严格增函数.
16．如图，平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为.
      
(1)记向量，，求向量在这个基下的斜坐标；
(2)设，，求；
(3)请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题.

参考答案：
1．
【分析】根据三角函数的定义求解.
【详解】,
故答案为：.
2．
【分析】直接利用弧长公式即可求解.
【详解】因为一个扇形的弧所对的圆心角为，所以圆心角的弧度数为，
所以该扇形的弧长为.
故答案为：.
3．/
【分析】利用诱导公式化简原式，可得，再平方化简即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
即，
故答案为：.
4．
【分析】将代入一元二次方程求解即可.
【详解】因为是实系数一元二次方程的一个根，
所以，化简得：，
则，
故答案为：.
5．6
【分析】根据题意得到，再利用对数运算求解.
【详解】解：由题意得：，
两边取对数得，
即，解得，
故答案为：6
6．
【分析】由向量数量积的坐标运算和二倍角公式，先化简出，进而求出值域.
【详解】,
因为，则，，
故答案为：.
7．
【分析】根据题意，由平面向量基本定理结合三角形的重心定理即可得到结果.
【详解】如图所示，分别为的中点，则，且为的重心，

所以.
故答案为：.
  
8．
【分析】根据题意，设以为中终边的角为，以为终边的角为，然后结合三角函数的定义以及正余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设以为中终边的角为，则由三角函数的定义可知，，
由题意，以为终边的角为，
且，
，
且，
则点的横坐标为，纵坐标为.
即点的坐标为.
故答案为：
9．A
【分析】对于①②③举例判断，对于④利用角的定义分析判断
【详解】对于①，的角是小于的角，但不是锐角，所以①错误，
对于②，的角是第二象限的角，但不是钝角，所以②错误，
对于③，的角和的角终边相同，但不相等，所以③错误，
对于④，因为角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角，所以若角相等，则终边一定重合，所以④正确，
所以真命题的个数是1，
故选：A
10．D
【分析】由向量数量积求出在方向上的投影为，再结合投影向量的定义求解.
【详解】在方向上的投影为，
又方向上的单位向量为，
故在方向上的投影向量是.
故选：D.
11．B
【分析】根据的定义，利用复数的乘法运算求解.
【详解】解：因为，
所以，
又因为，
所以1，
所以，
所以，
故选：B
12．(1)
(2)

【分析】（1）根据已知条件，由求解即可；
（2）利用（1）中结论，得到数列为首项为，公比为的等比数列，从而得解.
【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，
则，解得，，
所以.
（2）因为，则，
所以，，
所以数列为首项为，公比为的等比数列，
故.
13．(1)或
(2)答案见解析

【分析】（1）根据题意，由新定义的运算，代入计算，即可得到结果；
（2）由新定义的运算，分别代入计算，即可判断.
【详解】（1）由定义，有，
即，，整理得，，
所以，或.
（2）①.所以，①是真命题.
②，所以，②是假命题.
14．(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）在中利用正弦定理直接求解即可；
（2）测得，，，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理可求出
【详解】（1）在中，由正弦定理，有
，
即.
答：、两点之间的距离为.
（2）测得，，.
在中，由正弦定理，有
，即.
在中，由余弦定理，有
或.
15．（1）时，函数取得最大值2，作图见解析；（2）单调增区间，单调减区间，其中，证明见解析
【分析】（1）首先利用倍角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质求最值，五点作图法作图．
（2）利用正弦函数的单调性，结合诱导公式直接化为余弦函数，即可证明．
【详解】（1），
，即时，函数取得最大值2.

0











0
2
0

0
  （2）单调增区间，单调减区间，其中.
任取、，，即，
由于,是正弦函数的单调增区间，
所以，，即，
故，余弦函数在区间是严格增函数.
16．(1)
(2)1
(3)答案见解析

【分析】（1）根据向量的线性运算、新定义运算可得答案；
（2）根据向量的数量积运算可得答案；
（3）设，，求的斜坐标表示公式，根据向量的数量积运算可得答案；或设，，的充要条件为.
【详解】（1），
所以，向量；
（2）由已知，有，，
；
（3）设，，求的斜坐标表示公式，
，，



，
或，设，，的充要条件为.