精品解析：上海市静安区2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

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静安区2022学年第二学期高一年级
数学期末区统考
一.填空题（本题共8道小题，每小题4分，满分32分）
1. 已知角顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的余弦值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求解.
【详解】,
故答案为：.
2. 已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为______.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用弧长公式即可求解.
【详解】因为一个扇形的弧所对的圆心角为，所以圆心角的弧度数为，
所以该扇形的弧长为.
故答案为：.
3. 若，则的值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用诱导公式化简原式，可得，再平方化简即可.
【详解】因，
所以，
所以，
即，
故答案为：.
4. 已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】将代入一元二次方程求解即可.
【详解】因为是实系数一元二次方程的一个根，
所以，化简得：，
则，
故答案为：.
5. 设某新鲜食物每存放一天，剩余的营养成分是前一天的，当剩余的营养成分不足新鲜时的一半时，该食物就不能食用了.则该新鲜食物最多存放______天.（结果精确到1天）
【答案】6
【解析】
【分析】根据题意得到，再利用对数运算求解.
【详解】解：由题意得：，
两边取对数得，
即，解得，
故答案为：6
6. 设向量，，且，则函数的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】由向量数量积的坐标运算和二倍角公式，先化简出，进而求出值域.
【详解】,
因为，则，，
故答案为：.
7. 若点是的重心（中线的交点），则用向量表示为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由平面向量基本定理结合三角形的重心定理即可得到结果.
【详解】如图所示，分别为的中点，则，且为的重心，

所以.
故答案为：.

8. 已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设以为中终边的角为，以为终边的角为，然后结合三角函数的定义以及正余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设以为中终边的角为，则由三角函数的定义可知，，
由题意，以为终边的角为，
且，
，
且，
则点的横坐标为，纵坐标为.
即点的坐标为.
故答案为：
二.单选题（本题共3道小题，每小题4分，满分12分）
9. 在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角.
①小于的角一定是锐角；
②第二象限的角一定是钝角；
③终边重合的角一定相等；
④相等的角终边一定重合.
其中真命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】对于①②③举例判断，对于④利用角的定义分析判断
【详解】对于①，的角是小于的角，但不是锐角，所以①错误，
对于②，的角是第二象限的角，但不是钝角，所以②错误，
对于③，的角和的角终边相同，但不相等，所以③错误，
对于④，因为角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角，所以若角相等，则终边一定重合，所以④正确，
所以真命题的个数是1，
故选：A
10. 已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量数量积求出在方向上的投影为，再结合投影向量的定义求解.
【详解】在方向上的投影为，
又方向上的单位向量为，
故在方向上的投影向量是.
故选：D.
11. 设，表示满足的最小正整数，则的值（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据的定义，利用复数的乘法运算求解.
【详解】解：因为，
所以，
又因为，
所以1，
所以，
所以，
故选：B
三.解答题（本题共5道题，满分56分）
12. 设数列为等差数列，已知，，
（1）求；
（2）设，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，由求解即可；
（2）利用（1）中结论，得到数列为首项为，公比为的等比数列，从而得解.
【小问1详解】
依题意，设等差数列的公差为，
则，解得，，
所以.
【小问2详解】
因为，则，
所以，，
所以数列为首项为，公比为的等比数列，
故.
13. 设复数，，其中.现在复数系中定义一个新运算，规定：.
（1）已知，求实数的值；
（2）现给出如下有关复数新运算性质的两个命题：
①；
②若，则或.
请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.
【答案】（1）或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，由新定义的运算，代入计算，即可得到结果；
（2）由新定义的运算，分别代入计算，即可判断.
【小问1详解】
由定义，有，
即，，整理得，，
所以，或.
【小问2详解】
①.所以，①是真命题.
②，所以，②是假命题.
14. 如图，某人位于临河的公路上，已知公路两个相邻路灯、之间的距离是，为了测量点与河对岸一点之间的距离，此人先后测得，.

（1）求、两点之间的距离；
（2）假设你只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角的大小）.请你设计一个通过测量角可以计算出河对岸两点、之间距离的方案，用字母表示所测量的角的大小，并用其表示出的长.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）在中利用正弦定理直接求解即可；
（2）测得，，，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理可求出
【小问1详解】
在中，由正弦定理，有
，
即.
答：、两点之间的距离为.
【小问2详解】
测得，，.
在中，由正弦定理，有
，即.
在中，由余弦定理，有
或.
15. （1）指出函数的最大值，及函数取得最大值时所对应的的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像；
（2）指出正弦函数的单调性，并以此为依据证明：余弦函数在区间是严格增函数.
【答案】（1）时，函数取得最大值2，作图见解析；（2）单调增区间，单调减区间，其中，证明见解析
【解析】
【分析】（1）首先利用倍角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质求最值，五点作图法作图．
（2）利用正弦函数的单调性，结合诱导公式直接化为余弦函数，即可证明．
【详解】（1），
，即时，函数取得最大值2

0











0
2
0

0

（2）单调增区间，单调减区间，其中.
任取、，，即，
由于,是正弦函数的单调增区间，
所以，，即，
故，余弦函数在区间是严格增函数.
16. 如图，平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为.

（1）记向量，，求向量在这个基下的斜坐标；
（2）设，，求；
（3）请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题.
【答案】（1）
（2）1 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算、新定义运算可得答案；
（2）根据向量数量积运算可得答案；
（3）设，，求的斜坐标表示公式，根据向量的数量积运算可得答案；或设，，的充要条件为.
【小问1详解】
，
所以，向量；
【小问2详解】
由已知，有，，
；
【小问3详解】
设，，求的斜坐标表示公式，
，，



，
或，设，，充要条件为.