2020届上海市静安区高三上学期期末数学试题（解析版）

2020届上海市静安区高三上学期期末数学试题

一、单选题

1．“三个实数成等差数列”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】根据充要条件及等差数列的定义判断即可．

【详解】

若“a，b，c成等差数列”，则“2b＝a+c”，即“a，b，c成等差数列”是“2b＝a+c”的充分条件；

若“2b＝a+c”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“2b＝a+c”的必要条件，

综上可得：“a，b，c成等差数列”是“2b＝a+c”的充要条件，

故选：C．

【点睛】

本题考查的知识是充要条件的判断，正确理解并熟练掌握充要条件的定义，是解答的关键．

2．设，若复数是纯虚数，则点一定满足（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．

【详解】

由是纯虚数，

∴，得x≠0，y．

故选：B．

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3．若展开，则展开式中的系数等于（    ）

A．在中所有任取两个不同的数的乘积之和 B．在中所有任取三个不同的数的乘积之和              C．在中所有任取四个不同的数的乘积之和              D．以上结论都不对

【答案】A

【解析】直接利用二项式展开式的应用求出结果．

【详解】

展开（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）（a+5），

则展开式中a3的系数可以看成三个因式取a，

其余的两个因式是从的5个数中任意取两个不同的数进行乘积，再作和．

故选：A．

【点睛】

本题考查的知识要点：二项式定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

4．某人驾驶一艘小游艇位于湖面处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向，且塔顶的仰角为，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处，此时测得塔底位于北偏西方向，则该塔的高度约为（    ）

A．265米 B．279米 C．292米 D．306米

【答案】C

【解析】根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度．

【详解】

如图所示，

△ABC中，AB＝1000，∠ACB＝21°+39°＝60°，∠ABC＝90°﹣39°＝51°；

由正弦定理得，，

所以AC；

Rt△ACD中，∠CAD＝18°，

所以CD＝AC•tan18°tan18°0.3249≈292（米）；

所以该塔的高度约为292米．

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的边角关系的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．

二、填空题

5．计算_____.

【答案】1

【解析】利用极限的定义及运算法则直接得出．

【详解】

因为，所以1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了极限的定义及极限的运算法则，属于基础题．

6．在单位圆中，的圆心角所对的弧长为_____.

【答案】

【解析】由弧长公式即可算出结果．

【详解】

由弧长公式l＝|α|r1，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了弧长公式，是基础题．

7．若直线和直线的倾斜角分别为和则与的夹角为_____.

【答案】

【解析】直接利用角的运算的应用求出结果．

【详解】

直线l1和l2的倾斜角分别为32°和152°，

所以直线l1和l2的夹角为180°﹣（152°﹣32°）＝60°．

故答案为：60°．

【点睛】

本题考查的知识要点：直线的倾斜角及夹角的定义，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

8．若直线的一个法向量为，则若直线的斜率_____.

【答案】

【解析】根据题意，分析可得直线l的方向向量为（1，k），进而分析可得•2+k＝0，解可得k的值，即可得答案．

【详解】

根据题意，设直线l的斜率为k，则其方向向量为（1，k），

若直线l的一个法向量为（2，1），则有•2+k＝0，解可得k＝﹣2；

故答案为：﹣2．

【点睛】

本题考查直线的斜率以及直线的法向量，注意直线方向向量的定义，属于基础题．

9．设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则小时后，个此种细胞将分裂为_____个.

【答案】

【解析】根据题意，分析可得7小时后，这种细胞总共分裂了7次，由等比数列的通项分析可得答案．

【详解】

根据题意，7小时后，这种细胞总共分裂了7次，

则经过7小时，1个此种细胞将分裂为个27个；

故答案为：128

【点睛】

本题考查等比数列的应用，注意分析分裂的次数，属于基础题．

10．设是等腰直角三角形，斜边,现将（及其内部）绕斜边所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_____.

【答案】

【解析】由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体，由此求出组合体的体积．

【详解】

等腰直角三角形的直角边为，斜边的高为1；

旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1；

所以几何体的体积为V＝2π×12．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了旋转体的结构特征与体积的计算问题，是基础题．

11．如图，在平行四边形中，，,则的值为_____.

【答案】

【解析】根据ABCD是平行四边形可得出，然后代入AB＝2，AD＝1即可求出的值．

【详解】

∵AB＝2，AD＝1，

∴

＝1﹣4

＝﹣3．

故答案为：﹣3．

【点睛】

本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．

12．三倍角的正切公式为_____.

【答案】.

【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．

【详解】

tan3α＝tan（α+2α）．

故答案为：．

【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

13．设集合共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为________.

【答案】2880

【解析】利用已知条件判断矩阵的个数与元素的顺序有关，直接利用排列求解即可．

【详解】

因为集合A共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵，矩阵中的元素的位置变换，矩阵也不相同，6个元素的全排列有种，

而组成的矩阵又有四种类型，

所以矩阵的个数为2880．

故答案为：2880．

【点睛】

本题考查排列的应用，判断矩阵中的元素变化，矩阵不相同是解题的关键．

14．现将函数的反函数定义为正反割函数，记为：.则________.（请保留两位小数）

【答案】1.82

【解析】直接利用反三角函数计算三角函数的值．

【详解】

∵y＝secx，x∈（0，π），

∴当y＝﹣4时，cosx，x＝π﹣arccos，

由查表得arccos1.318

∴x＝π﹣1.318≈1.82．

故答案为：1.82．

【点睛】

本题考查反三角函数的运用，属基础题．

15．设双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到坐标原点的距离的最小值为________.

【答案】

【解析】利用已知条件PF1⊥PF2，点P到坐标原点O的距离为c，转化求解c的最小值即可．

【详解】

双曲线的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，

则点P到坐标原点O的距离为c，

所以c，当且仅当a时，取得最小值：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

16．设我们可以证明对数的运算性质如下：.我们将式称为证明的“关键步骤”.则证明（其中）的“关键步骤”为________.

【答案】（）r＝Mr

【解析】利用指数式与对数式的互化即可算出结果．

【详解】

设logaMr＝b，∴ab＝Mr，

∴rlogaM＝b，

∴logaM，

∴（）r＝（）r＝ab＝Mr，

故答案为：（）r＝Mr．

【点睛】

本题主要考查了对数式与指数式的互化，是基础题．

三、解答题

17．如图，在正六棱锥中，已知底边为2，侧棱与底面所成角为.

（1）求该六棱锥的体积；

（2）求证：

【答案】（1）12；（2）证明见解析.

【解析】（1）连结AD，过P作PO⊥底面ABCD，交AD于点O，则PA＝2AO＝4，由此能求出该六棱锥的体积．

（2）连结CE，交AD于点O，连结PG，推导出AD⊥CE，PG⊥CE，从而CE⊥平面PAD，由此能证明PA⊥CE．

【详解】

∵在正六棱锥P﹣ABCDEF中，底边长为2，侧棱与底面所成角为60°．

连结AD，过P作PO⊥底面ABCD，交AD于点O，

则AO＝DO＝2，∠PAO＝60°，∴PA＝2AO＝4，

PO2，

SABCDEF＝6×（）＝6，

∴该六棱锥的体积V12．

（2）连结CE，交AD于点O，连结PG，

∵DE＝CD，AE＝AD，∴AD⊥CE，O是CE中点，

∵PA＝PC，∴PG⊥CE，

∵PG∩AD＝G，∴CE⊥平面PAD，

∵PA⊂平面PAD，∴PA⊥CE．

【点睛】

本题考查六棱锥的体积的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

18．请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.

（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.

（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.

【答案】（1），面积最大为1（2），，面积最大值为2

【解析】（1）通过设出∠BOC＝α，进而用α表示出OB，BC；最后表示出S利用三角函数即可求解；

（2）通过设出点C的坐标（m，n），进而表示出OB＝m，BC＝n，S＝2mn；再利用点C为椭圆上的点，即满足其方程利用基本不等式求解即可；

【详解】

（1）设∠BOC＝α，（）；

∴OB＝cosα，BC＝sinα；

∵S＝2OB•BC，

∴S═2sinαcosα＝sin2α；

∴当时，即OA时，矩形面积最大为1；

（2）依题意可得：椭圆方程为：；

设：点C坐标为（m，n）即：OB＝m，BC＝n；

∴S＝2OB•BC＝2mn；

∵点C为椭圆上的点；

∴；

∵；

∴mn≤1，当且仅当时取等号；

∴S≤2；即矩形面积最大为2；当OB，即时取等号；

【点睛】

本题考查了基本不等式的运用，考查了学生的发散性思维，属于中档题．

19．设是等差数列，公差为，前项和为.

（1）设，，求的最大值.

（2）设，，数列的前项和为，且对任意的，都有，求的取值范围.

【答案】（1）2020（2）

【解析】（1）运用等差数列的通项公式可得公差d，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；

（2）由题意可得数列{bn}为首项为2，公比为2d的等比数列，讨论d＝0，d＞0，d＜0，判断数列{bn}的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围．

【详解】

（1）a1＝40，a6＝38，可得d，

可得Sn＝40nn（n﹣1）（n）2，

由n为正整数，可得n＝100或101时，Sn取得最大值2020；

（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，

可得an＝1+（n﹣1）d，数列{bn}为首项为2，公比为2d的等比数列，

若d＝0，可得bn＝2；d＞0，可得{bn}为递增数列，无最大值；

当d＜0时，Tn，

对任意的n∈N，都有Tn≤20，可得20，且d＜0，

解得d≤．

【点睛】

本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．

20．已知抛物线Γ的准线方程为.焦点为.

（1）求证：抛物线Γ上任意一点的坐标都满足方程：

（2）请求出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；

（3）设垂直于轴的直线与抛物线交于两点，求线段的中点的轨迹方程.

【答案】（1）证明见解析（2）关于对称.证明见解析（3）（在抛物线内）

【解析】（1）由抛物线的定义可得|PF|＝d（d为P到准线的距离），运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简可得所求轨迹方程；

（2）由抛物线的方程的特点，考虑点关于直线y＝x的对称点的特征和对称轴与准线和抛物线的交点的关系，以及直线和抛物线相切的特点，可得所求范围；

（3）设垂直于x轴的直线为x＝t，代入抛物线的方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0，运用韦达定理和中点坐标公式，以及参数方程化为普通方程可得所求轨迹方程．

【详解】

（1）抛物线Γ的准线方程为x+y+2＝0，焦点为F（1，1），

抛物线Γ上任意一点P的坐标（x，y），由抛物线的定义可得|PF|＝d（d为P到准线的距离），即为，两边平方化简可得x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0；

（2）抛物线关于y＝x对称，顶点为（0，0），范围为x≥﹣1，y≥﹣1，

由方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0，

设抛物线上任一点（x，y）关于直线y＝x对称的点为（y，x），满足原方程，

则抛物线关于直线y＝x对称；

由直线y﹣1＝x﹣1即y＝x，联立x+y+2＝0，解得x＝y＝﹣1，

可得抛物线的顶点为（0，0）；

由x＝﹣1和x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0联立可得切点为（﹣1，3），

同样由y＝﹣1和x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0联立可得切点为（3，﹣1），

可得抛物线的范围为x≥﹣1，y≥﹣1；

（3）设垂直于x轴的直线为x＝t，代入抛物线的方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0，

可得t2﹣（2t+8）y+ t2﹣8t＝0，

设A（t，y1），B（t，y2），可得y1+y2＝2t+8，

则AB的中点为（t，t+4），

则AB的中点的轨迹方程为直线y＝x+4（在抛物线内）．

【点睛】

本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查轨迹方程的求法，以及方程思想和数形结合思想，运算能力和推理能力，属于中档题．

21．现定义：设是非零实常数，若对于任意的，都有，则称函数为“关于的偶型函数”

（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明

（2）设定义域为的“关于的偶型函数”在区间上单调递增，求证在区间上单调递减

（3）设定义域为的“关于的偶型函数”是奇函数，若，请猜测的值，并用数学归纳法证明你的结论

【答案】（1），答案不唯一（2）证明见解析（3），证明见解析

【解析】（1）令，由于，则可证明；

（2）根据题意可知，再根据函数的单调性即可证明；

（3）由题得，可得结合数学归纳法得到，即可得证．

【详解】

（1），

∴为“关于2的偶型函数”.

（2）.

任取则，因为函数在单调递增，所以.所以函数在上单调递减

（3）猜测数学归纳法证明：

1.当时因为是奇函数，所以得证

2.假设当，成立，

因为，

又∵奇函数，∴，

∴当时，，所以得证.

【点睛】

本题是新定义问题，涉及函数性质及数学归纳法等相关知识，其中将灵活变形应用是关键，属于中档题．