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2022-2023学年云南省昆明市呈贡区八年级（下）期末数学试卷-普通用卷
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这是一份2022-2023学年云南省昆明市呈贡区八年级（下）期末数学试卷-普通用卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年云南省昆明市呈贡区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列根式中，是最简二次根式的是( )
A. 4 B. 5 C. 13 D. 8
2. 矩形不一定具有的特征是( )
A. 对角线垂直 B. 对角线相等 C. 四个角都是直角 D. 对角线互相平分
3. 根据某市统计局发布的该市近5年的年度GDP增长率的有关数据，经济学家评论说，该市近5年的年度GDP增长率相当平稳，从统计学的角度看，判断“增长率相当平稳”的依据是数据的( )
A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差
4. 下列计算中，结果错误的是( )
A. 45− 5=2 5 B. 2+ 3= 5
C. 27÷ 3=3 D. 3 2× 2=6
5. 一次函数y=−4x+8的图象不经过的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 式子 5−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≤5 B. x<5 C. x≥5 D. x>5
7. 在△ABC中，若∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定△ABC是直三角形的是( )
A. (a+b)(a−b)=c2 B. ∠C−∠B=∠A
C. a= 5，b= 12，c= 13 D. a：b：c=3：4：5
8. 如图，在▱ABCD中，AB=5，AD=8，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长是( )
A. 4 B. 3 C. 3.5 D. 2
9. 如图，一次函数y=kx+b与y=−x+5的图象的交点坐标为(2,3)，则关于x的方程−x+5=kx+b的解为( )
A. x=3x=2
B. x=2x=3
C. x=3
D. x=2
10. 把直线y=6x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点(m,n)，且n−6m=4，则直线AB的表达式为( )
A. y=−6x+4 B. y=−6x−4 C. y=6x−4 D. y=6x+4
11. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是( )
A. S△ANF=S矩形NFGD B. S矩形NFGD=S矩形EFMB
C. S△AEF=S△ANF D. S△ABC=S△ADC
12. 如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为( )
A. 67
B. 34
C. 98
D. 73
二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）
13. (−5)2= ______ ．
14. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= 10，2AB2+AC2+BC2= ______ ．
15. 如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，点D的坐标是(2,3)，则直线BD的解析式为______ ．
16. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为EF，则点E、F分别为边AB、AD的中点.若OE=2，∠A=120°.则EF= ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：( 3+1)×( 3−1)+ 48+(π−1)0+(−13)−1；
18. (本小题6.0分)
(1)3k，4k，5k(k是正整数)是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
(2)如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck(k是正整数)也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
19. (本小题7.0分)
已知直线y=kx+b经过点A(8,0)，B(4,4)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若直线y=x−2与直线AB相交于点C，求点C的坐标．
(3)根据图象，写出关于x的不等式x>kx+b+2的解集．
20. (本小题7.0分)
为了加强对青少年防溺水安全教育，4月初某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛.下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩(单位：分)：
87，99，86，89，91，91，95，96，87，97；
91，97，96，86，96，89，100，91，99，97；
整理数据：
成绩(分)
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数(人)
2
2
2
4
1
3
3
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
a
b
解决问题：
(1)直接写出：上面表格中的a= ______ ，b= ______ ；
(2)若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率为______ ；
(3)请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
21. (本小题7.0分)
学校计划为“用英语讲中国故事”演讲比赛购买奖品.已知购买4个A奖品和3个B奖品共需165元；购买6个A奖品和2个B奖品共需210元．
(1)求A，B两种奖品的单价；
(2)学校准备购买A，B两种奖品共20个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的25，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
22. (本小题7.0分)
如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC边上，AE//DC，EF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AE平分∠BAC，BE=5，BFBE=45，求BF和AD的长．
23. (本小题8.0分)
阅读材料：像( 3+1)( 3−1)=2， a× a=a(a≥0)…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如：12 2= 22 2× 2= 24， 3+1 3−1=( 3+1)( 3−1)( 3+1)=2+ 3．
解答下列问题：
(1) 6的有理化因式是______ ， 3+2的有理化因式是______
(2)观察下面的变形规律，请你猜想：1 n+1+ n= ______ ．
1 2+1= 2−1，1 3+ 2= 3− 2，1 4+ 3= 4− 3…
(3)利用上面的方法，请化简：
11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4+…+1 2022+ 2023．
24. (本小题8.0分)
如图①，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，∠ABC=90°，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形ABQP成为矩形？
(2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
(3)四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 4=2，故A不符合题意；
B、 5是最简二次根式，故B符合题意；
C、 13= 33，故C不符合题意；
D、 8=2 2，故D不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：因为矩形的性质：
对角线：矩形的对角线相等；对角线互相平分；
角：矩形的四个角都是直角；
边：邻边垂直；
∴A、对角线垂直，不是矩形具有的特征，故该选项符合题意，
故选：A．
根据矩形的性质逐项分析即可．
本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟记矩形的各种性质，是中考常见的题型．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
根据方差的意义判断即可．
【解答】
解：从统计学的角度看，判断“增长率相当平稳”的依据是数据的方差．
故选：D．
【点评】
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4.【答案】B
【解析】解：A、 45− 5=3 5− 5=2 5，故A不符合题意；
B、 2与 3不属于同类二次根式，不能运算，故B符合题意；
C、 27÷ 3=3，故C不符合题意；
D、3 2× 2=6，故D不符合题意；
故选：B．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=−4x+8中k=−4<0，b=8>0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选C．
先根据一次函数y=−4x+8中k=−4，b=8判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k<0，b>0时，函数图象经过一、二、四象限．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意得，5−x≥0，
解得x≤5．
故选：A．
根据被开方数大于等于0列式求解即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0列式是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、∵(a+b)(a−b)=c2，
∴a2−b2=c2，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直三角形且∠A=90°，
故此选项不符合题意；
B、∵∠C−∠B=∠A，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C−∠B+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直三角形，
故此选项不符合题意；
C、∵a2=( 5)2=5，b2=( 12)2=12，c2=( 13)2=13，
又∵5+12≠13，
即a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直三角形，
故此选项符合题意；
D、∵a：b：c=3：4：5，
∴设a=3k，b=4k，c=5k，
∴a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2，c2=(5k)2=25k2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直三角形，
故此选项不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理判断即可．
本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴ED=AD−AE=AD−AB=8−5=3．
故选：B．
根据角平分线及平行线的性质可得∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，根据ED=AD−AE=AD−AB即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出∠ABE=∠AEB，判断三角形ABE中，AB=AE，难度一般．
9.【答案】D
【解析】解：∵一次函数y=kx+b与y=−x+5的图象的交点坐标为(2,3)，
∴当x=2时，−x+5=kx+b，
即关于x的方程−x+5=kx+b的解为x=2．
故选：D．
结合函数图象，写出直线y=−x+5在直线y=kx+b相等所对应的x的值即可．
本题考查了一次函数与一元一次方程：从函数图象的角度看，就是确定直线y=−x+5在直线y=kx+b相等所对应的x的值．
10.【答案】D
【解析】解：设直线y=6x向上平移后得到直线AB，则直线AB的解析式可设为y=6x+b，
把点(m,n)代入得n=6m+b，
解得n−6m=b，
∵n−6m=4，
∴b=4，
∴直线AB的解析式为y=6x+4．
故选：D．
根据一次函数图象与几何变换可设直线AB的解析式为y=6x+b，再把点(m,n)代入得n=6m+b，然后利用n−6m=4可得到b的值．
本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y=kx+b+m．
11.【答案】A
【解析】解：∵AD//EG//BC，MN//AB//CD，
∴四边形AEFN是平行四边形，四边形FMCG是平行四边形，
∴S△AEF=S△AFN，S△FMC=S△CGF，S△ABC=S△ACD，
∴S矩形BEFM=S矩形NFGD，
∴选项A、B、D是正确的，
当AN=2ND时，S△ANF=S矩形NFGD，所以此式子不一定成立，
故选：A．
根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论．
本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分这个性质，属于中考常考题型．
12.【答案】C
【解析】解：由题可得：a=(n+1)2−1，b=2(n+1)，c=(n+1)2+1，
∴当2(n+1)=14时，n=6，
∴x=48，y=50，
∴x+y=98，
故选：C．
依据每列数的规律，即可得到a=(n+1)2−1，b=2(n+1)，c=(n+1)2+1，进而得出x+y的值．
本题主要考查了勾股数，满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
13.【答案】5
【解析】解：原式= 25=5．
故答案为：5．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
14.【答案】30
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= 10，
∴AC2+BC2=AB2=10，
∴2AB2+AC2+BC2=2×10+10=30，
故答案为：30．
根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理解答．
15.【答案】y=x+1
【解析】解：∵点D的坐标是(2,3)，
∴OC=2，CD=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=3，
∴OB=BC−OC=3−2=1，
∵点B在x轴上，
∴点B的坐标是(−1,0)，
设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴−k+b=02k+b=3，
解得k=1b=1，
∴直线BD的解析式为y=x+1，
故答案为：y=x+1．
根据点D的坐标得出正方形的边长，从而得出点B的坐标，利用待定系数法求出解析式即可．
本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
16.【答案】2 3
【解析】解：如图所示，连接AC，BD，
∵四边形ABCD是菱形，点E、F分别为边AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=12BD=BO，
由题可得，∠AOB=90°，
∴Rt△AOB中，AB=2EO=4．
∵∠BAD=120°，
∴∠BAO=60°，∠ABO=30°，
∴AO=12AB=2，
Rt△AOB中，BO= 42−22=2 3，
∴EF=2 3，
故答案为：2 3．
连接AC，BD，依据菱形的性质以及三角形中位线定理，即可得到EF=BO；再根据OE的长求得AB，AO的长，进而利用勾股定理得到BO的长即可．
本题主要考查了折叠问题、菱形的性质、勾股定理以及三角形中位线定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
17.【答案】解：( 3+1)×( 3−1)+ 48+(π−1)0+(−13)−1
=3−1+4 3+1+(−3)
=3−1+4 3+1−3
=4 3．
【解析】先计算二次根式的乘法，零指数幂，负整数指数幂，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】证明：(1)3k，4k，5k(k是正整数)是一组勾股数，理由如下：
∵k是正整数，
∴3k，4k，5k都是正整数，
∵(3k)2+(4k)2=(5k)2，
∴3k，4k，5k(k是正整数)是一组勾股数；
(2)ak，bk，ck(k是正整数)是一组勾股数，理由如下：
∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数，
∴ak，bk，ck是三个正整数，
∵a2+b2=c2，
∴(ak)2+(bk)2=a2k2+b2k2=(a2+b2)k2=c2k2=(ck)2，
∴ak，bk，ck(k是正整数)是一组勾股数．
【解析】(1)根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断3k，4k，5k(k是正整数)是不是一组勾股数；
(2)根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断ak，bk，ck(k是正整数)是不是一组勾股数．
本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两较短边的平方和等于最长边的平方．
19.【答案】解：(1)∵直线y=kx+b经过点A(8,0)和B(4,4)两点，
可得：8k+b=04k+b=4，
解得：k=−1b=8
∴直线AB的解析式为y=−x+8；
(2)联立方程组得：y=−x+8y=x−2，
解得：x=5y=3，
∴点C的坐标(5,3)；
(3)由图可知，x>5时，x−2>−x+8，
∴不等式x>kx+b+2的解集为x>5．
【解析】(1)题目中给出了直线AB经过的点A，B的坐标，直接把两点坐标代入y=kx+b中可得到关于k，b的方程组，求解即可得到直线AB的解析式；
(2)直线y=x−2与直线AB的交点坐标即为由两个函数解析式组成的方程组的解的x，y的值，因此解即可；
(3)x>kx+b+2的解集即为函数y=x−2的图象在直线y=kx+b的上方时x的取值范围；由图象可以发现在两图象交点的右边直线y=x−2的图象在y=kx+b的上方，由此可得不等式的解集．
本题是一次函数的综合题，考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
20.【答案】解：(1)91；93．
(2)50%．
(3)估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为：1500×50%=750(人)．
【解析】(1)根据众数的定义求出a，根据中位数的定义求出b；
(2)根据“优秀”等级人数求出“优秀”等级所占的百分率；
(3)根据“优秀”等级所占的百分率估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
本题考查的是众数、中位数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是解题的关键．
解：(1)∵91分的人数最多，
∴众数为91，即a=91，
中位数b=91+952=93．
(2)成绩达到95分及以上有10人，
则“优秀”等级所占的百分率为：1020×100%=50%．
(3)见答案．
21.【答案】解：(1)设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，
根据题意得：4x+3y=1656x+2y=210，
解得：x=30y=15．
答：A奖品的单价是30元，B奖品的单价是15元；
(2)最省钱的购买方案为：购买A奖品6个，B奖品14个，理由如下：
设购买A奖品m个，则购买B奖品(20−m)个，
根据题意得：m≥25(20−m)，
解得：m≥407．
设学校购买两种奖品共花费w元，则w=30m+15(20−m)，
即w=15m+300，
∵15>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m≥407，且m为正整数，
∴当m=6时，w取得最小值，此时20−m=20−6=14，
∴最省钱的购买方案为：购买A奖品6个，B奖品14个．
【解析】(1)设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据“购买4个A奖品和3个B奖品共需165元；购买6个A奖品和2个B奖品共需210元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)最省钱的购买方案为：购买A奖品6个，B奖品14个，设购买A奖品m个，则购买B奖品(20−m)个，根据购买A奖品的数量不少于B奖品数量的25，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设学校购买两种奖品共花费w元，利用总价=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
22.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠CAD=90°，
∴AD//CE，
∵AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
(2)解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∵BE=5，BFBE=45，
∴BF=4，
∴EF= BE2−BF2= 52−42=3，
∵∠ACE=90°，
∴EC⊥AC，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，
∴EC=EF=3，
由(1)得：四边形AECD是平行四边形，
∴AD=EC=3，
即BF的长为4，AD的长为3．
【解析】(1)先证AD//CE，再由AE//DC，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)先求出BF=4，再由勾股定理求出EF=3，然后由角平分线的性质得EC=EF=3，最后由平行四边形的性质得出AD=EC=3即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】 6 3−2 n+1− n
【解析】解：(1) 6的有理化因式是 6， 3+2的有理化因式是 3−2，
故答案为： 6； 3−2；
(2)∵1 2+1= 2−1，1 3+ 2= 3− 2，1 4+ 3= 4− 3，…，
∴1 n+1+ n= n+1− n，
故答案为： n+1− n；
(3)11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4+…+1 2022+ 2023
= 2−1+ 3− 2+ 4− 3+…+ 2023− 2022
= 2023−1．
(1)根据有理化因式的定义进行求解即可；
(2)分析所给的等式，再进行猜想即可；
(3)利用(2)中的规律进行求解即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
24.【答案】解：(1)∵∠ABC=90°，AP//BQ，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形，
由运动知，AP=t cm，CQ=3t cm，
∴BQ=(22−3t)cm，
∴t=22−3t，解得t=112．
∴当t=112时，四边形ABQP成为矩形；
(2)∵当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时，就是(1)中的情形，此时t=112．
当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时，
∵PD//QC，
∴当PD=QC时，四边形PQCD为平行四边形．
此时，16−t=3t，t=4；
当P，Q两点与B，D两点构成的四边形是平行四边形，
此时，16−t=22−3t，
∴t=3，
当P，Q两点与A，C两点构成的四边形是平行四边形，
此时，t=3t，此种情况不符合，
故当t=112或t=3或t=4时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形．
(3)四边形PBQD不能成为菱形．理由如下：
∵PD//BQ，
∴当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形．
由PD=BQ，得16−t=22−3t，解得t=3，
当t=3时，PD=BQ=13cm，AP=AD−PD=16−13=3(cm)．
在Rt△ABP中，AB=8cm，根据勾股定理得，BP= AB2+AP2= 64+9= 73cm≠13cm，
∴四边形PBQD不能成为菱形；
如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，
由题意得，16−t=22−vt16−t= 64+t2，解得，t=6v=2．
故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形．
【解析】(1)根据矩形的性质，对边相等建立方程求解即可；
(2)分四种情况，利用平行四边形的性质对边相等建立方程求解即可得出结论；
(3)先由平行四边形建立方程求出时间，再判定邻边是否相等，判断出不能是菱形，设出点Q的运动速度，用菱形的性质建立方程求解即可求出速度．
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，是一道中考常考题．
2022-2023学年云南省昆明市呈贡区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列根式中，是最简二次根式的是( )
A. 4 B. 5 C. 13 D. 8
2. 矩形不一定具有的特征是( )
A. 对角线垂直 B. 对角线相等 C. 四个角都是直角 D. 对角线互相平分
3. 根据某市统计局发布的该市近5年的年度GDP增长率的有关数据，经济学家评论说，该市近5年的年度GDP增长率相当平稳，从统计学的角度看，判断“增长率相当平稳”的依据是数据的( )
A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差
4. 下列计算中，结果错误的是( )
A. 45− 5=2 5 B. 2+ 3= 5
C. 27÷ 3=3 D. 3 2× 2=6
5. 一次函数y=−4x+8的图象不经过的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 式子 5−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≤5 B. x<5 C. x≥5 D. x>5
7. 在△ABC中，若∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定△ABC是直三角形的是( )
A. (a+b)(a−b)=c2 B. ∠C−∠B=∠A
C. a= 5，b= 12，c= 13 D. a：b：c=3：4：5
8. 如图，在▱ABCD中，AB=5，AD=8，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长是( )
A. 4 B. 3 C. 3.5 D. 2
9. 如图，一次函数y=kx+b与y=−x+5的图象的交点坐标为(2,3)，则关于x的方程−x+5=kx+b的解为( )
A. x=3x=2
B. x=2x=3
C. x=3
D. x=2
10. 把直线y=6x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点(m,n)，且n−6m=4，则直线AB的表达式为( )
A. y=−6x+4 B. y=−6x−4 C. y=6x−4 D. y=6x+4
11. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是( )
A. S△ANF=S矩形NFGD B. S矩形NFGD=S矩形EFMB
C. S△AEF=S△ANF D. S△ABC=S△ADC
12. 如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为( )
A. 67
B. 34
C. 98
D. 73
二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）
13. (−5)2= ______ ．
14. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= 10，2AB2+AC2+BC2= ______ ．
15. 如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，点D的坐标是(2,3)，则直线BD的解析式为______ ．
16. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为EF，则点E、F分别为边AB、AD的中点.若OE=2，∠A=120°.则EF= ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：( 3+1)×( 3−1)+ 48+(π−1)0+(−13)−1；
18. (本小题6.0分)
(1)3k，4k，5k(k是正整数)是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
(2)如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck(k是正整数)也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
19. (本小题7.0分)
已知直线y=kx+b经过点A(8,0)，B(4,4)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若直线y=x−2与直线AB相交于点C，求点C的坐标．
(3)根据图象，写出关于x的不等式x>kx+b+2的解集．
20. (本小题7.0分)
为了加强对青少年防溺水安全教育，4月初某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛.下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩(单位：分)：
87，99，86，89，91，91，95，96，87，97；
91，97，96，86，96，89，100，91，99，97；
整理数据：
成绩(分)
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数(人)
2
2
2
4
1
3
3
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
a
b
解决问题：
(1)直接写出：上面表格中的a= ______ ，b= ______ ；
(2)若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率为______ ；
(3)请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
21. (本小题7.0分)
学校计划为“用英语讲中国故事”演讲比赛购买奖品.已知购买4个A奖品和3个B奖品共需165元；购买6个A奖品和2个B奖品共需210元．
(1)求A，B两种奖品的单价；
(2)学校准备购买A，B两种奖品共20个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的25，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
22. (本小题7.0分)
如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC边上，AE//DC，EF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AE平分∠BAC，BE=5，BFBE=45，求BF和AD的长．
23. (本小题8.0分)
阅读材料：像( 3+1)( 3−1)=2， a× a=a(a≥0)…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如：12 2= 22 2× 2= 24， 3+1 3−1=( 3+1)( 3−1)( 3+1)=2+ 3．
解答下列问题：
(1) 6的有理化因式是______ ， 3+2的有理化因式是______
(2)观察下面的变形规律，请你猜想：1 n+1+ n= ______ ．
1 2+1= 2−1，1 3+ 2= 3− 2，1 4+ 3= 4− 3…
(3)利用上面的方法，请化简：
11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4+…+1 2022+ 2023．
24. (本小题8.0分)
如图①，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，∠ABC=90°，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形ABQP成为矩形？
(2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
(3)四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 4=2，故A不符合题意；
B、 5是最简二次根式，故B符合题意；
C、 13= 33，故C不符合题意；
D、 8=2 2，故D不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：因为矩形的性质：
对角线：矩形的对角线相等；对角线互相平分；
角：矩形的四个角都是直角；
边：邻边垂直；
∴A、对角线垂直，不是矩形具有的特征，故该选项符合题意，
故选：A．
根据矩形的性质逐项分析即可．
本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟记矩形的各种性质，是中考常见的题型．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
根据方差的意义判断即可．
【解答】
解：从统计学的角度看，判断“增长率相当平稳”的依据是数据的方差．
故选：D．
【点评】
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4.【答案】B
【解析】解：A、 45− 5=3 5− 5=2 5，故A不符合题意；
B、 2与 3不属于同类二次根式，不能运算，故B符合题意；
C、 27÷ 3=3，故C不符合题意；
D、3 2× 2=6，故D不符合题意；
故选：B．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=−4x+8中k=−4<0，b=8>0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选C．
先根据一次函数y=−4x+8中k=−4，b=8判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k<0，b>0时，函数图象经过一、二、四象限．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意得，5−x≥0，
解得x≤5．
故选：A．
根据被开方数大于等于0列式求解即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0列式是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、∵(a+b)(a−b)=c2，
∴a2−b2=c2，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直三角形且∠A=90°，
故此选项不符合题意；
B、∵∠C−∠B=∠A，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C−∠B+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直三角形，
故此选项不符合题意；
C、∵a2=( 5)2=5，b2=( 12)2=12，c2=( 13)2=13，
又∵5+12≠13，
即a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直三角形，
故此选项符合题意；
D、∵a：b：c=3：4：5，
∴设a=3k，b=4k，c=5k，
∴a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2，c2=(5k)2=25k2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直三角形，
故此选项不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理判断即可．
本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴ED=AD−AE=AD−AB=8−5=3．
故选：B．
根据角平分线及平行线的性质可得∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，根据ED=AD−AE=AD−AB即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出∠ABE=∠AEB，判断三角形ABE中，AB=AE，难度一般．
9.【答案】D
【解析】解：∵一次函数y=kx+b与y=−x+5的图象的交点坐标为(2,3)，
∴当x=2时，−x+5=kx+b，
即关于x的方程−x+5=kx+b的解为x=2．
故选：D．
结合函数图象，写出直线y=−x+5在直线y=kx+b相等所对应的x的值即可．
本题考查了一次函数与一元一次方程：从函数图象的角度看，就是确定直线y=−x+5在直线y=kx+b相等所对应的x的值．
10.【答案】D
【解析】解：设直线y=6x向上平移后得到直线AB，则直线AB的解析式可设为y=6x+b，
把点(m,n)代入得n=6m+b，
解得n−6m=b，
∵n−6m=4，
∴b=4，
∴直线AB的解析式为y=6x+4．
故选：D．
根据一次函数图象与几何变换可设直线AB的解析式为y=6x+b，再把点(m,n)代入得n=6m+b，然后利用n−6m=4可得到b的值．
本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y=kx+b+m．
11.【答案】A
【解析】解：∵AD//EG//BC，MN//AB//CD，
∴四边形AEFN是平行四边形，四边形FMCG是平行四边形，
∴S△AEF=S△AFN，S△FMC=S△CGF，S△ABC=S△ACD，
∴S矩形BEFM=S矩形NFGD，
∴选项A、B、D是正确的，
当AN=2ND时，S△ANF=S矩形NFGD，所以此式子不一定成立，
故选：A．
根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论．
本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分这个性质，属于中考常考题型．
12.【答案】C
【解析】解：由题可得：a=(n+1)2−1，b=2(n+1)，c=(n+1)2+1，
∴当2(n+1)=14时，n=6，
∴x=48，y=50，
∴x+y=98，
故选：C．
依据每列数的规律，即可得到a=(n+1)2−1，b=2(n+1)，c=(n+1)2+1，进而得出x+y的值．
本题主要考查了勾股数，满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
13.【答案】5
【解析】解：原式= 25=5．
故答案为：5．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
14.【答案】30
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= 10，
∴AC2+BC2=AB2=10，
∴2AB2+AC2+BC2=2×10+10=30，
故答案为：30．
根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理解答．
15.【答案】y=x+1
【解析】解：∵点D的坐标是(2,3)，
∴OC=2，CD=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=3，
∴OB=BC−OC=3−2=1，
∵点B在x轴上，
∴点B的坐标是(−1,0)，
设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴−k+b=02k+b=3，
解得k=1b=1，
∴直线BD的解析式为y=x+1，
故答案为：y=x+1．
根据点D的坐标得出正方形的边长，从而得出点B的坐标，利用待定系数法求出解析式即可．
本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
16.【答案】2 3
【解析】解：如图所示，连接AC，BD，
∵四边形ABCD是菱形，点E、F分别为边AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=12BD=BO，
由题可得，∠AOB=90°，
∴Rt△AOB中，AB=2EO=4．
∵∠BAD=120°，
∴∠BAO=60°，∠ABO=30°，
∴AO=12AB=2，
Rt△AOB中，BO= 42−22=2 3，
∴EF=2 3，
故答案为：2 3．
连接AC，BD，依据菱形的性质以及三角形中位线定理，即可得到EF=BO；再根据OE的长求得AB，AO的长，进而利用勾股定理得到BO的长即可．
本题主要考查了折叠问题、菱形的性质、勾股定理以及三角形中位线定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
17.【答案】解：( 3+1)×( 3−1)+ 48+(π−1)0+(−13)−1
=3−1+4 3+1+(−3)
=3−1+4 3+1−3
=4 3．
【解析】先计算二次根式的乘法，零指数幂，负整数指数幂，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】证明：(1)3k，4k，5k(k是正整数)是一组勾股数，理由如下：
∵k是正整数，
∴3k，4k，5k都是正整数，
∵(3k)2+(4k)2=(5k)2，
∴3k，4k，5k(k是正整数)是一组勾股数；
(2)ak，bk，ck(k是正整数)是一组勾股数，理由如下：
∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数，
∴ak，bk，ck是三个正整数，
∵a2+b2=c2，
∴(ak)2+(bk)2=a2k2+b2k2=(a2+b2)k2=c2k2=(ck)2，
∴ak，bk，ck(k是正整数)是一组勾股数．
【解析】(1)根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断3k，4k，5k(k是正整数)是不是一组勾股数；
(2)根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断ak，bk，ck(k是正整数)是不是一组勾股数．
本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两较短边的平方和等于最长边的平方．
19.【答案】解：(1)∵直线y=kx+b经过点A(8,0)和B(4,4)两点，
可得：8k+b=04k+b=4，
解得：k=−1b=8
∴直线AB的解析式为y=−x+8；
(2)联立方程组得：y=−x+8y=x−2，
解得：x=5y=3，
∴点C的坐标(5,3)；
(3)由图可知，x>5时，x−2>−x+8，
∴不等式x>kx+b+2的解集为x>5．
【解析】(1)题目中给出了直线AB经过的点A，B的坐标，直接把两点坐标代入y=kx+b中可得到关于k，b的方程组，求解即可得到直线AB的解析式；
(2)直线y=x−2与直线AB的交点坐标即为由两个函数解析式组成的方程组的解的x，y的值，因此解即可；
(3)x>kx+b+2的解集即为函数y=x−2的图象在直线y=kx+b的上方时x的取值范围；由图象可以发现在两图象交点的右边直线y=x−2的图象在y=kx+b的上方，由此可得不等式的解集．
本题是一次函数的综合题，考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
20.【答案】解：(1)91；93．
(2)50%．
(3)估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为：1500×50%=750(人)．
【解析】(1)根据众数的定义求出a，根据中位数的定义求出b；
(2)根据“优秀”等级人数求出“优秀”等级所占的百分率；
(3)根据“优秀”等级所占的百分率估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
本题考查的是众数、中位数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是解题的关键．
解：(1)∵91分的人数最多，
∴众数为91，即a=91，
中位数b=91+952=93．
(2)成绩达到95分及以上有10人，
则“优秀”等级所占的百分率为：1020×100%=50%．
(3)见答案．
21.【答案】解：(1)设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，
根据题意得：4x+3y=1656x+2y=210，
解得：x=30y=15．
答：A奖品的单价是30元，B奖品的单价是15元；
(2)最省钱的购买方案为：购买A奖品6个，B奖品14个，理由如下：
设购买A奖品m个，则购买B奖品(20−m)个，
根据题意得：m≥25(20−m)，
解得：m≥407．
设学校购买两种奖品共花费w元，则w=30m+15(20−m)，
即w=15m+300，
∵15>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m≥407，且m为正整数，
∴当m=6时，w取得最小值，此时20−m=20−6=14，
∴最省钱的购买方案为：购买A奖品6个，B奖品14个．
【解析】(1)设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据“购买4个A奖品和3个B奖品共需165元；购买6个A奖品和2个B奖品共需210元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)最省钱的购买方案为：购买A奖品6个，B奖品14个，设购买A奖品m个，则购买B奖品(20−m)个，根据购买A奖品的数量不少于B奖品数量的25，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设学校购买两种奖品共花费w元，利用总价=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
22.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠CAD=90°，
∴AD//CE，
∵AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
(2)解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∵BE=5，BFBE=45，
∴BF=4，
∴EF= BE2−BF2= 52−42=3，
∵∠ACE=90°，
∴EC⊥AC，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，
∴EC=EF=3，
由(1)得：四边形AECD是平行四边形，
∴AD=EC=3，
即BF的长为4，AD的长为3．
【解析】(1)先证AD//CE，再由AE//DC，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)先求出BF=4，再由勾股定理求出EF=3，然后由角平分线的性质得EC=EF=3，最后由平行四边形的性质得出AD=EC=3即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】 6 3−2 n+1− n
【解析】解：(1) 6的有理化因式是 6， 3+2的有理化因式是 3−2，
故答案为： 6； 3−2；
(2)∵1 2+1= 2−1，1 3+ 2= 3− 2，1 4+ 3= 4− 3，…，
∴1 n+1+ n= n+1− n，
故答案为： n+1− n；
(3)11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4+…+1 2022+ 2023
= 2−1+ 3− 2+ 4− 3+…+ 2023− 2022
= 2023−1．
(1)根据有理化因式的定义进行求解即可；
(2)分析所给的等式，再进行猜想即可；
(3)利用(2)中的规律进行求解即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
24.【答案】解：(1)∵∠ABC=90°，AP//BQ，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形，
由运动知，AP=t cm，CQ=3t cm，
∴BQ=(22−3t)cm，
∴t=22−3t，解得t=112．
∴当t=112时，四边形ABQP成为矩形；
(2)∵当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时，就是(1)中的情形，此时t=112．
当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时，
∵PD//QC，
∴当PD=QC时，四边形PQCD为平行四边形．
此时，16−t=3t，t=4；
当P，Q两点与B，D两点构成的四边形是平行四边形，
此时，16−t=22−3t，
∴t=3，
当P，Q两点与A，C两点构成的四边形是平行四边形，
此时，t=3t，此种情况不符合，
故当t=112或t=3或t=4时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形．
(3)四边形PBQD不能成为菱形．理由如下：
∵PD//BQ，
∴当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形．
由PD=BQ，得16−t=22−3t，解得t=3，
当t=3时，PD=BQ=13cm，AP=AD−PD=16−13=3(cm)．
在Rt△ABP中，AB=8cm，根据勾股定理得，BP= AB2+AP2= 64+9= 73cm≠13cm，
∴四边形PBQD不能成为菱形；
如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，
由题意得，16−t=22−vt16−t= 64+t2，解得，t=6v=2．
故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形．
【解析】(1)根据矩形的性质，对边相等建立方程求解即可；
(2)分四种情况，利用平行四边形的性质对边相等建立方程求解即可得出结论；
(3)先由平行四边形建立方程求出时间，再判定邻边是否相等，判断出不能是菱形，设出点Q的运动速度，用菱形的性质建立方程求解即可求出速度．
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，是一道中考常考题．
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