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2022-2023学年云南省昆明市五华区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年云南省昆明市五华区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年云南省昆明市五华区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果 a−3有意义，则a的取值范围是( )
A. a>3 B. a<3 C. a≥3 D. a≤3
2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1，2，3 B. 1，1， 3 C. 13，14，15 D. 6，8，10
3. 如图所示，数学活动课上，某兴趣小组要测量池塘两端A，B的距离，他们先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B，连接AC，BC，并分别找出AC，BC的中点D，E，连接DE.并量出DE=24m，则A，B的距离为( )
A. 48m B. 60m C. 80m D. 不能确定
4. 《义务教育课程标准(2022年版)》首次把学生学会烹饪纳入劳动教育课程，并作出明确规定某班有七名同学已经学会烹饪的菜品种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数、中位数和平均数分别是( )
A. 3，4，4 B. 4，3，4 C. 3，3，4 D. 4，4，3
5. 下列关于函数y=13x的结论正确的是( )
A. 函数图象经过点(1,3) B. 函数图象经过第一、三象限
C. y随x的增大而减小 D. 不论x为何值，总有y>0
6. 下列各式中，运算正确的是( )
A. 3 3− 3=3 B. (−2)2=−2 C. 2+ 3=2 3 D. 2× 8=4
7. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB//DC，AD=BC B. AB=DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD//BC
8. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分
9. 如图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图.比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是( )
A. 甲同学平均分高，成绩波动较小 B. 甲同学平均分高，成绩波动较大
C. 乙同学平均分高，成绩波动较小 D. 乙同学平均分高，成绩波动较大
10. 王老师家，超市，公园自西向东依次在同一直线上，家到超市的距离，到公园的距离分别为200米，1000米.她从家出发匀速步行5分钟到达超市，停留3分钟后骑共享单车，以250米/分匀速行驶到公园.设王老师离超市的距离为s(单位：m)，所用时间为t(单位：min)，则下列表示s和t之间函数关系的图象中，正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11. 某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如表：
候选人
甲
乙
丙
丁
测试成绩(百分制)
面试
86
92
90
83
笔试
90
83
83
92
如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权.根据四人各自的平均成绩，公司将录取( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
12. 如图所示，已知直线y=nx+b经过点A(−2,−4)和点B(−4,0)，直线y=mx经过点A，则关于x的不等式nx+b≤mx的解集是( )
A. x≤−2
B. x>−2
C. x≥−2
D. −2≤x<0
二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）
13. 计算： 18÷ 2=______．
14. 如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A、C作l的垂线，垂足分别为E、F.若AE=1，CF=3，则AB的长度为______．
15. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°，点D为BC边上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AC′D，若点C′在AB边上，AC=6，BC=8，则AD的长为______ ．
16. 对于实数a，b，定义符号min{a,b}，其意义为：当a≥b时，min{a,b}=b；当a
17. (本小题6.0分)
计算：( 6−3)( 6+3)+( 2−1)2．
18. (本小题6.0分)
在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，如图所示，点A，B，O都在格点上，求∠AOB的度数．
19. (本小题7.0分)
某校开展了安全知识宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生进行测试，其中抽测的八年级学生成绩如下：
81 83 84 89 86 87 87 88 89 90
92 92 93 95 95 95 99 99 100 100
对七、八年级参加测试学生成绩整理如下：
80≤x<85
85≤x<90
90≤x<95
95≤x≤100
七年级
4
6
2
8
八年级
3
a
4
7
对两组数据分析如下：
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91
89
97
40.9
八年级
91
b
95
33.2
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ；
(2)样本数据中七年级甲同学和八年级乙同学的分数都是90分，把七、八年级各20名同学的分数按从高到底的顺序排列，______ 同学的成绩在本年级更靠前(填“甲”或“乙”)；
(3)如果把成绩在90分以上(含90分)定为优秀，那么该校八年级300名学生中，成绩为优秀的学生约有多少人？
20. (本小题7.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，BD，∠BDF=90°．
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若BC=4，DF=3，求四边形ABCF的面积S．
21. (本小题7.0分)
如图所示，一次函数y=−x+b的图象分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为(6,0)，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC=3：1．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线BC的解析式；
(3)若点P(m,2)在△ABC的内部，直接写出m的取值范围．
22. (本小题7.0分)
勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．
(1)定理证明：
图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形(阴影).如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理；
(2)问题解决：
如图2，圆柱的底面半径为40cm，高为30πcm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？(结果保留π)
23. (本小题8.0分)
某书店制订了“读书节”活动计划，以下是活动计划的部分信息：
书本类别
A类
B类
进价(单位：元)
18
12
备注
用不超过16800元购进两类图书共1000本，A类图书不少于600本．
(1)陈经理查看计划时发现：A类图书的标价是B类图书的1.5倍，若顾客用540元购买图书，单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本，请求出A，B两类图书的标价；
(2)为了扩大影响，陈经理调整了销售方案：A类图书售价每本降低4元，B类图书价格不变.此时书店应如何进货才能获得最大利润？
24. (本小题8.0分)
在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE．
(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE.则BP与CE的数量关系是______ ，CE与AD的位置关系是______ ；
(2)如图2，当点E在菱形ABCD外部时，连接CE.那么(1)中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=4 3，BE=4 19，请直接写出四边形ADPE的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得，a−3≥0，
解得a≥3．
故选：C．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵12+22≠32，
∴1，2，3不能作为直角三角形边长，
故A不符合题意；
B、∵12+12≠( 3)2，
∴1，1， 3不能作为直角三角形边长，
故B不符合题意；
C、∵132+42≠152，
∴13，14，15不能作为直角三角形边长，
故C不符合题意；
D、∵62+82=102，
∴6，8，10能作为直角三角形边长，
故D符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵E、D分别是BC、AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB，
∵DE=24m，
∴AB=48m．
故选：A．
由E、D分别是BC、AC中点，得到DE是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可求出AB的长．
本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
4.【答案】A
【解析】解：∵这7个数据中出现次数最多的数据是3，
∴这组数据的众数是3．
把这组数据按从小到大顺序排列，为
3，3，3，4，4，5，6，
位于中间的数据为4，
∴这组数据的中位数为4，
(3+3+3+4+4+5+6)÷7=4，
∴这组数据的平均数为4．
故选：A．
这7个数据中出现次数最多的数据为众数是3；把这组数据按从小到大的顺序排列后，位于中间的数据是4．
本题主要考查众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数，中位数是指将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．
5.【答案】B
【解析】解：A.当x=1时，y=13×1=13≠3，
∴函数图象不经过点(1,3)，选项A不符合题意；
B.∵k=13>0，
∴函数图象经过第一、三象限，选项B符合题意；
C.∵k=13>0，
∴y随x的增大而增大，选项C不符合题意；
D.只有当x>0时，y>0，选项D不符合题意．
故选：B．
利用正比例函数的性质以及图象上点的坐标性质，分别判断得出即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：3 3− 3=2 3，故选项A错误，不符合题意；
(−2)2=2，故选项B错误，不符合题意；
2+ 3不能合并，故选项C错误，不符合题意；
2× 8= 16=4，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：A、错误．当AB//DC，AD=BC时，四边形ABCD可能是等腰梯形也可能是平行四边形，故错误．
B、正确．因为两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
C、正确．因为对角线互相平分的四边形是平行四边形．
D、正确．因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
故选A．
根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：由于矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，
故矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是对角线相等．
故选：A．
由于矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有一般平行四边形的性质；矩形具有对角线相等这个性质，一般的平行四边形不具有，根据选项即可得到本题答案．
本题考查了平行四边形的性质及矩形的性质，侧重考查知识点的理解、应用能力．
9.【答案】D
【解析】解：乙同学的平均分是：15×(100+85+90+80+95)=90，
甲同学的平均分是：15×(85+90+80+85+80)=84，
因此乙的平均数较高；
S乙2=15×[(100−90)2+(85−90)2+(80−90)2+(95−90)2]=50，
S甲2=15×[(85−84)2+(90−84)2+(80−84)2+(80−84)2+(85−84)2]=14，
∵50>14，
∴乙的离散程度较高，不稳定，甲的离散程度较低，比较稳定；
故选：D．
分别求出甲、乙的平均数、方差，比较得出答案．
本题考查平均数、方差的计算方法，从统计图中获取数据，是正确计算的前提．
10.【答案】C
【解析】解：由题意可得，王老师离超市的距离为s(单位：m)，所用时间为t(单位：min)，家到超市、超市到公园的距离分别为200m，800m，
∵王老师从家出发匀速步行5分钟到达超市，
∴这个过程y随x的增大而减小，
∵王老师到超市后，停留3min，
∴这个过程y随x的变化不改变，y的值都是0，
∵王老师250米/分匀速行驶到公园，
∴这个过程y随x的增大而增大，当x=5+3+800÷250=11.2时，y=800，
故选：C．
根据题意和题目中的数据，可以写出各段y随x的变化如何变化，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查了函数的图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：甲的平均成绩为：(86×6+90×4)÷10=87.6(分)，
乙的平均成绩为：(92×6+83×4)÷10=88.4(分)，
丙的平均成绩为：(90×6+83×4)÷10=87.2(分)，
丁的平均成绩为：(83×6+92×4)÷10=86.6(分)，
因为乙的平均分数最高，所以乙将被录取．
故选：B．
首先根据权重，可知每个人的成绩可以用(面试成绩×6+笔试成绩×4)÷10进行计算得到；再比较四个人成绩的高低，则成绩最高的人即为公司录取的人，从而解决问题．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法，求出甲乙丙丁的成绩．
12.【答案】C
【解析】解：由图象可知，当x≥−2时，直线y=nx+b在直线y=mx下方，
∴关于x的不等式nx+b≤mx的解集是x≥−2，
故选：C．
根据A点的坐标结合图象即可求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，理解图象是本题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：原式= 18÷2= 9=3．
故答案为：3．
直接运用二次根式的除法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的除法．
14.【答案】 10
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBF+∠FBA=90°，AB=BC，
∵CF⊥BE，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠BCF=∠ABE，
∵∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
∴△ABE≌△BCF(AAS)
∴AE=BF，BE=CF，
∴AB= 1+9= 10．
故答案为： 10．
先利用AAS判定△ABE≌△BCF，从而得出AE=BF，BE=CF，最后得出AB的长．
此题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定方法，做题时要注意各个条件之间的关系并灵活运用．
15.【答案】3 5
【解析】解：由折叠可知：DC=DC′，∠DC′A=∠C=90°，AC′=AC=6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB= AC2+BC2=10，
∴BC′=AB−AC′=4，
设BD=x，则CD=DC′=8−x，
在Rt△BDC′中，由勾股定理得：x2=42+(8−x)2，
∴x=5，
∴BD=5，CD=3，
∴AD= AC2+CD2= 62+32=3 5，
故答案为：3 5．
由勾股定理求出AB=10，由折叠的性质得出CD=DC′，∠C=∠AC′D=90°，AC′=AC=6，得出BC′=AB−AC′=4，∠BC′D=90°，设BD=x，则CD=DC′=8−x，在Rt△BDC′中，由勾股定理得出方程，可求BD长，由勾股定理可求AD的长．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
16.【答案】53
【解析】解：由题意得：
y=2x−1y=−x+3，
解得：x=43y=53，
当2x−1≥−x+3时，x≥43，
∴当x≥43时，y=min{2x−1,−x+3}=−x+3，
由图象可知：此时该函数的最大值为53；
当2x−1≤−x+3时，x≤43，
∴当x≤43时，y=min{2x−1,−x+3}=2x−1，
由图象可知：此时该函数的最大值为53；
综上所述，y=min{2x−1,−x+3}的最大值是当x=43所对应的y的值，
如图所示，当x=43时，y=53，
故答案为：53．
根据定义先列不等式：2x−1≥−x+3和2x−1≤−x+3，确定其y=min{2x−1,−x+3}对应的函数，画图象可知其最大值．
本题考查了新定义问题、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．
17.【答案】解：( 6−3)( 6+3)+( 2−1)2
=( 6)2−32+( 2)2−2 2+1
=6−9+2−2 2+1
=−2 2．
【解析】根据二次根式混合运算的法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：连接AB，
∵AO=AB= 12+32= 10，OB= 22+42=2 10，
∴AO2+AB2=OB2，
∴∠OAB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°．
【解析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形判定和性质，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
19.【答案】6 91 甲
【解析】解：(1)由题意可知，a=6，b=90+922=91，
故答案为：6；91；
(2)因为89<90<91，所以把七八年级这20名同学的分数按从高到低的顺序排列，甲同学的成绩在本年级靠前．
故答案为：甲；
(3)300×1120=165(人)，
答：估计八年级优秀等次有165人．
(1)分别对数据进行分析，数出满足条件数的个数，将数据从小到大排列，找到中位数．
(2)根据七八年级学生成绩的中位数进行解答即可．
(3)利用样本估计总体即可．
本题考查频数分布表、用样本估计总体、方差、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
即AB//DF，
∴∠ABF=∠BFD，∠BAD=∠ADF，
∵E为线段AD的中点，
∴AE=DE，
在△ABE与△DFE中，
∠ABE=∠DFB∠BAD=∠ADFAE=DE，
∴△ABE≌△DFE(AAS)，
∴BE=EF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BDF=90°，
∴四边形ABDF是矩形；
(2)解：四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，
∵四边形ABDF是矩形，
∴AD=BF，
∴BC=BF=4，
∵BD⊥CF，
∴CD=DF=3，
∴BD= BC2−CD2= 42−32= 7，
∴四边形ABCF的面积S=△BCD+矩形ABDF=12× 7×3+ 7×3=9 72．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AB//CD，即AB//DF，根据平行线的性质得到∠ABF=∠BFD，∠BAD=∠ADF，根据全等三角形的性质得到BE=EF，根据矩形的判定定理即可得到结论；
(2)根据平行四边形的性质得到BC=AD，根据矩形的性质得到AD=BF，根据勾股定理得到BD= BC2−CD2= 42−32= 7，根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵点A(6,0)在一次函数y=−x+b的图象上，
∴−6+b=0，
解得：b=6，
∴直线AB的解析式为y=−x+6，
令x=0得，y=6，
∴B(0,6)；
(2)∵B(0,6)，
∴OB=6，
∵OB：OC=3：1，
∴OC=2，
∴C(−2,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+6，
将点C(−2,0)代入得，−2k+6=0，
解得：k=3，
∴直线BC的解析式为y=3x+6；
(3)将y=2代入y=3x+6得，3x+6=2，
解得：x=−43，
将y=2代入y=−x+6得，−x+6=2，
解得：x=4，
如图，
结合图象可知，m的取值范围为−43
(2)由OB：OC=3：1可得C(−2,0)，再设直线BC的解析式为y=kx+6，利用待定系数法即可求解；
(3)把y=2分别代入直线AB和BC的解析式中，求出对应的x值，结合函数图象即可确定m的取值范围．
本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式，直线与x轴、y轴的交点坐标，确定自变量的取值范围，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求函数解析式，并善于运用数形结合思想解决问题．
22.【答案】解：(1)∵阴影部分的面积=大正方形面积−4直角三角形面积，
∴(b−a)2=c2−4×12ab，
∴a2−2ab+b2=c2−2ab，
∴a2+b2=c2；
(2)画出圆柱侧面展开图：
根据圆柱底面半径为40cm，得出AC=2×40π2=40π(cm)，
∵高为30πcm，
∴AB= AC2+BC2=50π(cm)，
∴从点A爬到点B的最短路程是50π厘米．
【解析】(1)利用阴影部分的面积=大正方形面积−4直角三角形面积额即可得答案；
(2)画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案．
本题考查勾股定理证明，掌握面积法是解题关键．
23.【答案】(1)设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，
根据题意可得540x−10=5401.5x，
化简得：540−10x=360，
解得：x=18，
经检验：x=18是原分式方程的解，
且符合题意，
则A类图书的标价为：1.5x=1.5×18=27(元)，
答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；
(2)设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为27−4=23元，
由题意得18t+12(1000−t)≤16800t≥600，
解得600≤t≤800，
则总利润w=(23−18)t+(18−12)(1000−t)=5t−6t+6000=−t+6000，
∴当t=600时，总利润最大，
∴此时书店A图书购进600本，B类图书购进400本时，才能获得最大利润．
【解析】(1)先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可；
(2)先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为(1000−t)本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w=总售价一总成本，求出最佳的进货方案．
本题考查分式方程和一次函数的应用，根据题意列出分式方程和函数关系式是解题的关键．
24.【答案】BP=CE CE⊥AD
【解析】解：(1)如图1，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∵∠BAC=∠PAE，
∴∠BAP=∠CAE，
在△BAP和△CAE中，
AB=AC∠BAP=∠CAEAP=AE，
∴△BAP≌△CAE(SAS)，
∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°，
延长CE交AD于H，
∵∠CAH=60°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠AHC=90°，
∴CE⊥AD，
故答案为：BP=CE，CE⊥AD；
(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论还成立，
理由如下：
如图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∵∠BAP=∠CAE，
在△BAP和△CAE中，
AB=AC∠BAP=∠CAEAP=AE，
∴△BAP≌△CAE(SAS)，
∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°，
∵∠CAH=60°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠AHC=90°，
∴CE⊥AD；
(3)如图3，连接AC交BD于O，连接CE，作EH⊥AP于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ABC，
∴∠ABO=30°，
∵AB=4 3，
∴AO=2 3，
∴BO=DO= 3AO=6，
∴BD=12，
由(2)知CE⊥AD，
∵AD//BC，
∴CE⊥BC，
∵BE=4 19，BC=AB=4 3，
∴CE= BE2−BC2= (4 19)2−(4 3)2=16，
∴由(2)知BP=CE=16，
∴DP=BP−BD=16−12=4，
∴OP=10，
∴AP= AO2+OP2= (2 3)2+102=4 7，
∵△APE是等边三角形，
∴AH=12AP=2 7，AE=AP=EP=4 7，
∴EH= 3AH=2 21，
∵S四边形ADPE=S△ADP+S△APE，
∴S四边形ADPE=12DP⋅AO+12AP⋅EH=12×4×2 3+12×4 7×2 21=4 3+28 3=32 3，
∴四边形ADPE的面积是32 3．
(1)连接AC，根据SAS证△BAP≌△CAE，即可得出BP=CE，延长CE交AD于H，再根据∠CAH+∠ACH=90°得出CE⊥AD；
(2)连接AC交BD于O，设CE交AD于H，根据SAS证△BAP≌△CAE，即可得出BP=CE，再根据∠CAH+∠ACH=90°得出CE⊥AD；
(3)连接AC交BD于O，连接CE，作EH⊥AP于H，利用勾股定理分别求出OA，OP，AP，EH的长度，再根据S四边形ADPE=S△ADP+S△APE，即可求出四边形的面积．
本题是四边形综合题，考查菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2022-2023学年云南省昆明市五华区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果 a−3有意义，则a的取值范围是( )
A. a>3 B. a<3 C. a≥3 D. a≤3
2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1，2，3 B. 1，1， 3 C. 13，14，15 D. 6，8，10
3. 如图所示，数学活动课上，某兴趣小组要测量池塘两端A，B的距离，他们先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B，连接AC，BC，并分别找出AC，BC的中点D，E，连接DE.并量出DE=24m，则A，B的距离为( )
A. 48m B. 60m C. 80m D. 不能确定
4. 《义务教育课程标准(2022年版)》首次把学生学会烹饪纳入劳动教育课程，并作出明确规定某班有七名同学已经学会烹饪的菜品种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数、中位数和平均数分别是( )
A. 3，4，4 B. 4，3，4 C. 3，3，4 D. 4，4，3
5. 下列关于函数y=13x的结论正确的是( )
A. 函数图象经过点(1,3) B. 函数图象经过第一、三象限
C. y随x的增大而减小 D. 不论x为何值，总有y>0
6. 下列各式中，运算正确的是( )
A. 3 3− 3=3 B. (−2)2=−2 C. 2+ 3=2 3 D. 2× 8=4
7. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB//DC，AD=BC B. AB=DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD//BC
8. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分
9. 如图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图.比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是( )
A. 甲同学平均分高，成绩波动较小 B. 甲同学平均分高，成绩波动较大
C. 乙同学平均分高，成绩波动较小 D. 乙同学平均分高，成绩波动较大
10. 王老师家，超市，公园自西向东依次在同一直线上，家到超市的距离，到公园的距离分别为200米，1000米.她从家出发匀速步行5分钟到达超市，停留3分钟后骑共享单车，以250米/分匀速行驶到公园.设王老师离超市的距离为s(单位：m)，所用时间为t(单位：min)，则下列表示s和t之间函数关系的图象中，正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11. 某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如表：
候选人
甲
乙
丙
丁
测试成绩(百分制)
面试
86
92
90
83
笔试
90
83
83
92
如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权.根据四人各自的平均成绩，公司将录取( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
12. 如图所示，已知直线y=nx+b经过点A(−2,−4)和点B(−4,0)，直线y=mx经过点A，则关于x的不等式nx+b≤mx的解集是( )
A. x≤−2
B. x>−2
C. x≥−2
D. −2≤x<0
二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）
13. 计算： 18÷ 2=______．
14. 如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A、C作l的垂线，垂足分别为E、F.若AE=1，CF=3，则AB的长度为______．
15. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°，点D为BC边上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AC′D，若点C′在AB边上，AC=6，BC=8，则AD的长为______ ．
16. 对于实数a，b，定义符号min{a,b}，其意义为：当a≥b时，min{a,b}=b；当a
17. (本小题6.0分)
计算：( 6−3)( 6+3)+( 2−1)2．
18. (本小题6.0分)
在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，如图所示，点A，B，O都在格点上，求∠AOB的度数．
19. (本小题7.0分)
某校开展了安全知识宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生进行测试，其中抽测的八年级学生成绩如下：
81 83 84 89 86 87 87 88 89 90
92 92 93 95 95 95 99 99 100 100
对七、八年级参加测试学生成绩整理如下：
80≤x<85
85≤x<90
90≤x<95
95≤x≤100
七年级
4
6
2
8
八年级
3
a
4
7
对两组数据分析如下：
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91
89
97
40.9
八年级
91
b
95
33.2
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ；
(2)样本数据中七年级甲同学和八年级乙同学的分数都是90分，把七、八年级各20名同学的分数按从高到底的顺序排列，______ 同学的成绩在本年级更靠前(填“甲”或“乙”)；
(3)如果把成绩在90分以上(含90分)定为优秀，那么该校八年级300名学生中，成绩为优秀的学生约有多少人？
20. (本小题7.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，BD，∠BDF=90°．
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若BC=4，DF=3，求四边形ABCF的面积S．
21. (本小题7.0分)
如图所示，一次函数y=−x+b的图象分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为(6,0)，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC=3：1．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线BC的解析式；
(3)若点P(m,2)在△ABC的内部，直接写出m的取值范围．
22. (本小题7.0分)
勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．
(1)定理证明：
图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形(阴影).如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理；
(2)问题解决：
如图2，圆柱的底面半径为40cm，高为30πcm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？(结果保留π)
23. (本小题8.0分)
某书店制订了“读书节”活动计划，以下是活动计划的部分信息：
书本类别
A类
B类
进价(单位：元)
18
12
备注
用不超过16800元购进两类图书共1000本，A类图书不少于600本．
(1)陈经理查看计划时发现：A类图书的标价是B类图书的1.5倍，若顾客用540元购买图书，单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本，请求出A，B两类图书的标价；
(2)为了扩大影响，陈经理调整了销售方案：A类图书售价每本降低4元，B类图书价格不变.此时书店应如何进货才能获得最大利润？
24. (本小题8.0分)
在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE．
(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE.则BP与CE的数量关系是______ ，CE与AD的位置关系是______ ；
(2)如图2，当点E在菱形ABCD外部时，连接CE.那么(1)中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=4 3，BE=4 19，请直接写出四边形ADPE的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得，a−3≥0，
解得a≥3．
故选：C．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵12+22≠32，
∴1，2，3不能作为直角三角形边长，
故A不符合题意；
B、∵12+12≠( 3)2，
∴1，1， 3不能作为直角三角形边长，
故B不符合题意；
C、∵132+42≠152，
∴13，14，15不能作为直角三角形边长，
故C不符合题意；
D、∵62+82=102，
∴6，8，10能作为直角三角形边长，
故D符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵E、D分别是BC、AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB，
∵DE=24m，
∴AB=48m．
故选：A．
由E、D分别是BC、AC中点，得到DE是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可求出AB的长．
本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
4.【答案】A
【解析】解：∵这7个数据中出现次数最多的数据是3，
∴这组数据的众数是3．
把这组数据按从小到大顺序排列，为
3，3，3，4，4，5，6，
位于中间的数据为4，
∴这组数据的中位数为4，
(3+3+3+4+4+5+6)÷7=4，
∴这组数据的平均数为4．
故选：A．
这7个数据中出现次数最多的数据为众数是3；把这组数据按从小到大的顺序排列后，位于中间的数据是4．
本题主要考查众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数，中位数是指将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．
5.【答案】B
【解析】解：A.当x=1时，y=13×1=13≠3，
∴函数图象不经过点(1,3)，选项A不符合题意；
B.∵k=13>0，
∴函数图象经过第一、三象限，选项B符合题意；
C.∵k=13>0，
∴y随x的增大而增大，选项C不符合题意；
D.只有当x>0时，y>0，选项D不符合题意．
故选：B．
利用正比例函数的性质以及图象上点的坐标性质，分别判断得出即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：3 3− 3=2 3，故选项A错误，不符合题意；
(−2)2=2，故选项B错误，不符合题意；
2+ 3不能合并，故选项C错误，不符合题意；
2× 8= 16=4，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：A、错误．当AB//DC，AD=BC时，四边形ABCD可能是等腰梯形也可能是平行四边形，故错误．
B、正确．因为两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
C、正确．因为对角线互相平分的四边形是平行四边形．
D、正确．因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
故选A．
根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：由于矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，
故矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是对角线相等．
故选：A．
由于矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有一般平行四边形的性质；矩形具有对角线相等这个性质，一般的平行四边形不具有，根据选项即可得到本题答案．
本题考查了平行四边形的性质及矩形的性质，侧重考查知识点的理解、应用能力．
9.【答案】D
【解析】解：乙同学的平均分是：15×(100+85+90+80+95)=90，
甲同学的平均分是：15×(85+90+80+85+80)=84，
因此乙的平均数较高；
S乙2=15×[(100−90)2+(85−90)2+(80−90)2+(95−90)2]=50，
S甲2=15×[(85−84)2+(90−84)2+(80−84)2+(80−84)2+(85−84)2]=14，
∵50>14，
∴乙的离散程度较高，不稳定，甲的离散程度较低，比较稳定；
故选：D．
分别求出甲、乙的平均数、方差，比较得出答案．
本题考查平均数、方差的计算方法，从统计图中获取数据，是正确计算的前提．
10.【答案】C
【解析】解：由题意可得，王老师离超市的距离为s(单位：m)，所用时间为t(单位：min)，家到超市、超市到公园的距离分别为200m，800m，
∵王老师从家出发匀速步行5分钟到达超市，
∴这个过程y随x的增大而减小，
∵王老师到超市后，停留3min，
∴这个过程y随x的变化不改变，y的值都是0，
∵王老师250米/分匀速行驶到公园，
∴这个过程y随x的增大而增大，当x=5+3+800÷250=11.2时，y=800，
故选：C．
根据题意和题目中的数据，可以写出各段y随x的变化如何变化，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查了函数的图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：甲的平均成绩为：(86×6+90×4)÷10=87.6(分)，
乙的平均成绩为：(92×6+83×4)÷10=88.4(分)，
丙的平均成绩为：(90×6+83×4)÷10=87.2(分)，
丁的平均成绩为：(83×6+92×4)÷10=86.6(分)，
因为乙的平均分数最高，所以乙将被录取．
故选：B．
首先根据权重，可知每个人的成绩可以用(面试成绩×6+笔试成绩×4)÷10进行计算得到；再比较四个人成绩的高低，则成绩最高的人即为公司录取的人，从而解决问题．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法，求出甲乙丙丁的成绩．
12.【答案】C
【解析】解：由图象可知，当x≥−2时，直线y=nx+b在直线y=mx下方，
∴关于x的不等式nx+b≤mx的解集是x≥−2，
故选：C．
根据A点的坐标结合图象即可求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，理解图象是本题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：原式= 18÷2= 9=3．
故答案为：3．
直接运用二次根式的除法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的除法．
14.【答案】 10
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBF+∠FBA=90°，AB=BC，
∵CF⊥BE，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠BCF=∠ABE，
∵∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
∴△ABE≌△BCF(AAS)
∴AE=BF，BE=CF，
∴AB= 1+9= 10．
故答案为： 10．
先利用AAS判定△ABE≌△BCF，从而得出AE=BF，BE=CF，最后得出AB的长．
此题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定方法，做题时要注意各个条件之间的关系并灵活运用．
15.【答案】3 5
【解析】解：由折叠可知：DC=DC′，∠DC′A=∠C=90°，AC′=AC=6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB= AC2+BC2=10，
∴BC′=AB−AC′=4，
设BD=x，则CD=DC′=8−x，
在Rt△BDC′中，由勾股定理得：x2=42+(8−x)2，
∴x=5，
∴BD=5，CD=3，
∴AD= AC2+CD2= 62+32=3 5，
故答案为：3 5．
由勾股定理求出AB=10，由折叠的性质得出CD=DC′，∠C=∠AC′D=90°，AC′=AC=6，得出BC′=AB−AC′=4，∠BC′D=90°，设BD=x，则CD=DC′=8−x，在Rt△BDC′中，由勾股定理得出方程，可求BD长，由勾股定理可求AD的长．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
16.【答案】53
【解析】解：由题意得：
y=2x−1y=−x+3，
解得：x=43y=53，
当2x−1≥−x+3时，x≥43，
∴当x≥43时，y=min{2x−1,−x+3}=−x+3，
由图象可知：此时该函数的最大值为53；
当2x−1≤−x+3时，x≤43，
∴当x≤43时，y=min{2x−1,−x+3}=2x−1，
由图象可知：此时该函数的最大值为53；
综上所述，y=min{2x−1,−x+3}的最大值是当x=43所对应的y的值，
如图所示，当x=43时，y=53，
故答案为：53．
根据定义先列不等式：2x−1≥−x+3和2x−1≤−x+3，确定其y=min{2x−1,−x+3}对应的函数，画图象可知其最大值．
本题考查了新定义问题、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．
17.【答案】解：( 6−3)( 6+3)+( 2−1)2
=( 6)2−32+( 2)2−2 2+1
=6−9+2−2 2+1
=−2 2．
【解析】根据二次根式混合运算的法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：连接AB，
∵AO=AB= 12+32= 10，OB= 22+42=2 10，
∴AO2+AB2=OB2，
∴∠OAB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°．
【解析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形判定和性质，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
19.【答案】6 91 甲
【解析】解：(1)由题意可知，a=6，b=90+922=91，
故答案为：6；91；
(2)因为89<90<91，所以把七八年级这20名同学的分数按从高到低的顺序排列，甲同学的成绩在本年级靠前．
故答案为：甲；
(3)300×1120=165(人)，
答：估计八年级优秀等次有165人．
(1)分别对数据进行分析，数出满足条件数的个数，将数据从小到大排列，找到中位数．
(2)根据七八年级学生成绩的中位数进行解答即可．
(3)利用样本估计总体即可．
本题考查频数分布表、用样本估计总体、方差、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
即AB//DF，
∴∠ABF=∠BFD，∠BAD=∠ADF，
∵E为线段AD的中点，
∴AE=DE，
在△ABE与△DFE中，
∠ABE=∠DFB∠BAD=∠ADFAE=DE，
∴△ABE≌△DFE(AAS)，
∴BE=EF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BDF=90°，
∴四边形ABDF是矩形；
(2)解：四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，
∵四边形ABDF是矩形，
∴AD=BF，
∴BC=BF=4，
∵BD⊥CF，
∴CD=DF=3，
∴BD= BC2−CD2= 42−32= 7，
∴四边形ABCF的面积S=△BCD+矩形ABDF=12× 7×3+ 7×3=9 72．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AB//CD，即AB//DF，根据平行线的性质得到∠ABF=∠BFD，∠BAD=∠ADF，根据全等三角形的性质得到BE=EF，根据矩形的判定定理即可得到结论；
(2)根据平行四边形的性质得到BC=AD，根据矩形的性质得到AD=BF，根据勾股定理得到BD= BC2−CD2= 42−32= 7，根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵点A(6,0)在一次函数y=−x+b的图象上，
∴−6+b=0，
解得：b=6，
∴直线AB的解析式为y=−x+6，
令x=0得，y=6，
∴B(0,6)；
(2)∵B(0,6)，
∴OB=6，
∵OB：OC=3：1，
∴OC=2，
∴C(−2,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+6，
将点C(−2,0)代入得，−2k+6=0，
解得：k=3，
∴直线BC的解析式为y=3x+6；
(3)将y=2代入y=3x+6得，3x+6=2，
解得：x=−43，
将y=2代入y=−x+6得，−x+6=2，
解得：x=4，
如图，
结合图象可知，m的取值范围为−43
(2)由OB：OC=3：1可得C(−2,0)，再设直线BC的解析式为y=kx+6，利用待定系数法即可求解；
(3)把y=2分别代入直线AB和BC的解析式中，求出对应的x值，结合函数图象即可确定m的取值范围．
本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式，直线与x轴、y轴的交点坐标，确定自变量的取值范围，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求函数解析式，并善于运用数形结合思想解决问题．
22.【答案】解：(1)∵阴影部分的面积=大正方形面积−4直角三角形面积，
∴(b−a)2=c2−4×12ab，
∴a2−2ab+b2=c2−2ab，
∴a2+b2=c2；
(2)画出圆柱侧面展开图：
根据圆柱底面半径为40cm，得出AC=2×40π2=40π(cm)，
∵高为30πcm，
∴AB= AC2+BC2=50π(cm)，
∴从点A爬到点B的最短路程是50π厘米．
【解析】(1)利用阴影部分的面积=大正方形面积−4直角三角形面积额即可得答案；
(2)画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案．
本题考查勾股定理证明，掌握面积法是解题关键．
23.【答案】(1)设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，
根据题意可得540x−10=5401.5x，
化简得：540−10x=360，
解得：x=18，
经检验：x=18是原分式方程的解，
且符合题意，
则A类图书的标价为：1.5x=1.5×18=27(元)，
答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；
(2)设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为27−4=23元，
由题意得18t+12(1000−t)≤16800t≥600，
解得600≤t≤800，
则总利润w=(23−18)t+(18−12)(1000−t)=5t−6t+6000=−t+6000，
∴当t=600时，总利润最大，
∴此时书店A图书购进600本，B类图书购进400本时，才能获得最大利润．
【解析】(1)先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可；
(2)先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为(1000−t)本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w=总售价一总成本，求出最佳的进货方案．
本题考查分式方程和一次函数的应用，根据题意列出分式方程和函数关系式是解题的关键．
24.【答案】BP=CE CE⊥AD
【解析】解：(1)如图1，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∵∠BAC=∠PAE，
∴∠BAP=∠CAE，
在△BAP和△CAE中，
AB=AC∠BAP=∠CAEAP=AE，
∴△BAP≌△CAE(SAS)，
∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°，
延长CE交AD于H，
∵∠CAH=60°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠AHC=90°，
∴CE⊥AD，
故答案为：BP=CE，CE⊥AD；
(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论还成立，
理由如下：
如图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∵∠BAP=∠CAE，
在△BAP和△CAE中，
AB=AC∠BAP=∠CAEAP=AE，
∴△BAP≌△CAE(SAS)，
∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°，
∵∠CAH=60°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠AHC=90°，
∴CE⊥AD；
(3)如图3，连接AC交BD于O，连接CE，作EH⊥AP于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ABC，
∴∠ABO=30°，
∵AB=4 3，
∴AO=2 3，
∴BO=DO= 3AO=6，
∴BD=12，
由(2)知CE⊥AD，
∵AD//BC，
∴CE⊥BC，
∵BE=4 19，BC=AB=4 3，
∴CE= BE2−BC2= (4 19)2−(4 3)2=16，
∴由(2)知BP=CE=16，
∴DP=BP−BD=16−12=4，
∴OP=10，
∴AP= AO2+OP2= (2 3)2+102=4 7，
∵△APE是等边三角形，
∴AH=12AP=2 7，AE=AP=EP=4 7，
∴EH= 3AH=2 21，
∵S四边形ADPE=S△ADP+S△APE，
∴S四边形ADPE=12DP⋅AO+12AP⋅EH=12×4×2 3+12×4 7×2 21=4 3+28 3=32 3，
∴四边形ADPE的面积是32 3．
(1)连接AC，根据SAS证△BAP≌△CAE，即可得出BP=CE，延长CE交AD于H，再根据∠CAH+∠ACH=90°得出CE⊥AD；
(2)连接AC交BD于O，设CE交AD于H，根据SAS证△BAP≌△CAE，即可得出BP=CE，再根据∠CAH+∠ACH=90°得出CE⊥AD；
(3)连接AC交BD于O，连接CE，作EH⊥AP于H，利用勾股定理分别求出OA，OP，AP，EH的长度，再根据S四边形ADPE=S△ADP+S△APE，即可求出四边形的面积．
本题是四边形综合题，考查菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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