云南省昆明市呈贡区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份云南省昆明市呈贡区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连…”，我国民间流传有许多“24节气歌”．下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）肺炎支原体是引起支原体肺炎的病原体，也可引起上呼吸道感染和慢性支气管炎等疾病．某支原体的直径为0.00000022m，数字0.00000022用科学记数法表示为（ ）
A．2.2×10﹣6B．0.22×10﹣7C．2.2×10﹣7D．22×10﹣6
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a+2a＝3a2B．（﹣a3）2＝a6
C．a3•a2＝a6D．（a+b）2＝a2+b2
4．（3分）等腰三角形的两边分别为5和10，则它的周长是（ ）
A．20B．15C．25D．20或25
5．（3分）下列各式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）徐光启是中国明代数学家，他与意大利人利玛窦合作翻译的《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的著作．《几何原本》第Ⅰ卷命题9：“一个角可以切分为两个相等的角”即：作一个已知角的平分线．欧几里得给出以下的作图法：如图，在AB和AC上分别取点D和E，使AE＝AD，连接DE，以DE为一边作等边△DEF，连接AF，则射线AF平分∠BAC．此法的关键是得到△ADF≌△AEF，进而得出∠FAB＝∠FAC．这里判断△ADF≌△AEF的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
7．（3分）下列各式中最简分式是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．﹣2a2+4a＝﹣2a（a+2）
B．3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x﹣y）2
C．2x2+3x3+x＝x（2x+3x2）
D．m2+n2＝（m+n）2
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝6cm，则BC＝（ ）cm．
A．12B．15C．18D．21
10．（3分）若x2+2（m+3）x+16是完全平方式，则m的值为（ ）
A．4B．1C．4或﹣4D．1或﹣7
11．（3分）已知，则的值为（ ）
A．14B．C．7D．4
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AB，AC于点F，D，作DE⊥BC于点E．有下列三个结论：①BD平分∠ABC；②DE＝DF；③BC+CD＝2AF．其中错误的结论有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，满分8分）
13．（2分）使分式有意义的x的取值范围是 ．
14．（2分）分解因式：4xy2﹣16x＝ ．
15．（2分）如图，已知等腰Rt△ABC的直角顶点C在y轴的负半轴上，顶点B在x轴的正半轴上，顶点A在第二象限，若C（0，﹣4），B（6，0），则点A的坐标是 ．
16．（2分）若关于x的方程无解，则m的值是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分56分）
17．（6分）（1）计算：；
（2）化简：（a﹣b）2+2b（a﹣b）﹣（a+b）（a﹣b）．
18．（6分）解方程：
（1）；
（2）．
19．（7分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）在y轴上找点D，使得AD+BD最小，直接写出点D的坐标．
20．（7分）先化简，再从﹣2，﹣1，0，1中选择一个合适的数代入求值．
21．（7分）列分式方程解应用题：宝珠梨是昆明市首个国家地理标志保护产品，2023年12月16日，呈贡区宝珠梨作为参展产品之一亮相2023全国“土特产”集中推荐活动．某网店从甲、乙两农户手中各花600元购进两种不同品质的宝珠梨进行网上销售，从乙农户手中所购的宝珠梨单价比从甲农户手中所购的单价高出，且最终从甲农户手中所购的宝珠梨数量比从乙农户手中所购的多25千克，求分别从甲、乙农户手中所购的宝珠梨的单价．
22．（7分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E为线段AB上一点，连接CE交AD于点F，已知BD＝DF，AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）若CF＝2BE，求∠BCE的度数．
23．（8分）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
【类比应用】
（1）①若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 ；
②若x（5﹣x）＝6，则x2+（5﹣x）2＝ ；
【迁移应用】
（2）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，求一块三角板的面积．
24．（8分）我们知道在解与角平分线有关的问题时，通常过角平分线上的一点作角两边的垂线，构造全等三角形，请完成下列问题．
【初步探究】（1）如图1，∠MAN＝120°，AP平分∠MAN，点C是射线AP上一点，∠BCD＝60°，且与AM，AN分别交于点D，B，求证：CD＝CB．
【类比探究】（2）如图2，其他条件不变，将图1的∠BCD绕点C逆时针旋转使点D落在AM的反向延长线上．请探究线段AB，AC和AD之间的数量关系，写出结论并证明．
【拓展应用】（3）如图3，其他条件不变，将图1的∠BCD绕点C顺时针旋转使点B落在AN的反向延长线上．请直接写出线段AB，AC和AD之间的数量关系．（不用证明）
2023-2024学年云南省昆明市呈贡区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分36分）
1．（3分）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连…”，我国民间流传有许多“24节气歌”．下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故A错误；
B．不是轴对称图形，故B错误；
C．不是轴对称图形，故C错误；
D．是轴对称图形，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2．（3分）肺炎支原体是引起支原体肺炎的病原体，也可引起上呼吸道感染和慢性支气管炎等疾病．某支原体的直径为0.00000022m，数字0.00000022用科学记数法表示为（ ）
A．2.2×10﹣6B．0.22×10﹣7C．2.2×10﹣7D．22×10﹣6
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：0.00000022＝2.2×10﹣7，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a+2a＝3a2B．（﹣a3）2＝a6
C．a3•a2＝a6D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、a+2a＝3a，故A选项错误；
B、（﹣a3）2＝a6，故B选项正确；
C、a3•a2＝a5，故C选项错误；
D、（a+b）2＝a2+b2+2ab，故D选项错误，
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式的应用，主要考查学生的计算能力．
4．（3分）等腰三角形的两边分别为5和10，则它的周长是（ ）
A．20B．15C．25D．20或25
【分析】分别从①若5是底边长，10是腰长与②若10是底边长，5是腰长去分析，即可求得答案，注意检验是否能组成三角形．
【解答】解：①若5是底边长，10是腰长，
则5，10，10能组成三角形，
则它的周长是：5+10+10＝25；
②若10是底边长，5是腰长，
∵5+5＝10，
∴5，5，10不能组成三角形，舍去；
∴它的周长是25．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意分类讨论思想的应用．
5．（3分）下列各式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】运用分式的基本性质进行逐一辨别、求解．
【解答】解：A．≠，故本选项不符合题意；
B．当b≠0时，＝才成立，故本选项不符合题意；
C．＝，故本选项符合题意；
D．≠，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
6．（3分）徐光启是中国明代数学家，他与意大利人利玛窦合作翻译的《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的著作．《几何原本》第Ⅰ卷命题9：“一个角可以切分为两个相等的角”即：作一个已知角的平分线．欧几里得给出以下的作图法：如图，在AB和AC上分别取点D和E，使AE＝AD，连接DE，以DE为一边作等边△DEF，连接AF，则射线AF平分∠BAC．此法的关键是得到△ADF≌△AEF，进而得出∠FAB＝∠FAC．这里判断△ADF≌△AEF的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【分析】由题意知，AD＝AE，DE＝DF＝EF，结合AF＝AF即可依据“SSS”判定△ADF≌△AEF．
【解答】解：由题意知，AD＝AE，DE＝DF＝EF，
又AF＝AF，
∴△ADF≌△AEF（SSS），
故选：A．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
7．（3分）下列各式中最简分式是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，据此求解可得．
【解答】解：A、该分式的分子与分母没有公因式，是最简分式，符合题意；
B、该分式的分子与分母有公因式（a﹣b），不是最简分式，不符合题意；
C、该分式的分子与分母有公因式a，不是最简分式，不符合题意；
D、该分式的分子与分母有公因式（1+x），不是最简分式，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查最简分式，解题的关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
8．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．﹣2a2+4a＝﹣2a（a+2）
B．3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x﹣y）2
C．2x2+3x3+x＝x（2x+3x2）
D．m2+n2＝（m+n）2
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案．
【解答】解：A、﹣2a2+4a＝﹣2a（a﹣2），故此选项错误；
B、3ax2﹣6axy+3ay2
＝3a（x2﹣2xy+y2）
＝3a（x﹣y）2，正确；
C、2x2+3x3+x＝x（2x+3x2+1），故此选项错误；
D、m2+n2，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝6cm，则BC＝（ ）cm．
A．12B．15C．18D．21
【分析】由等腰三角形的性质推出∠B＝∠C＝30°，由三角形内角和定理求出∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，由垂直的定义得到∠BAD＝90°，求出∠DAC＝120°﹣90°＝30°，得到∠C＝∠DAC，推出DC＝AD＝6cm，由含30度角的直角三角形的性质推出BD＝2AD＝2×6＝12（cm），即可求出BC＝BD+CD＝18（cm）．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝120°﹣90°＝30°，
∴∠C＝∠DAC，
∴DC＝AD＝6cm，
∵∠BAD＝90°，∠B＝30°，
∴BD＝2AD＝2×6＝12（cm），
∴BC＝BD+CD＝18（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，含30度的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质得到BD＝2AD．
10．（3分）若x2+2（m+3）x+16是完全平方式，则m的值为（ ）
A．4B．1C．4或﹣4D．1或﹣7
【分析】根据完全平方公式得到x2+2（m+3）x+16＝（x+4）2或（x﹣4）2，展开得到2（m+3）＝±8，然后解关于m的两个一次方程即可．
【解答】解：∵x2+2（m+3）x+16是一个完全平方式，
∴x2+2（m+3）x+16＝（x+4）2或（x﹣4）2，
∴2（m+3）＝±8，
∴m＝1或﹣7．
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11．（3分）已知，则的值为（ ）
A．14B．C．7D．4
【分析】先根据完全平方公式得出＝（x+）2﹣2•x，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵，
∴
＝（x+）2﹣2•x
＝42﹣2
＝16﹣2
＝14．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的化简求值和完全平方公式，能根据完全平方公式得出＝（x+）2﹣2•x是解此题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AB，AC于点F，D，作DE⊥BC于点E．有下列三个结论：①BD平分∠ABC；②DE＝DF；③BC+CD＝2AF．其中错误的结论有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】利用基本作图得到DF垂直平分AB，则DA＝DB，AF＝BF，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠DBA＝∠A＝36°，∠ABC＝72°，则可对①进行判断；再利用角平分线的性质可对②进行判断；接着计算出∠BDC＝72°，则∠BDC＝∠BCD，所以BD＝BC＝DA，然后利用等线段代换可对③进行判断．
【解答】解：由作法得DF垂直平分AB，
∴DA＝DB，AF＝BF，
∴∠DBA＝∠A＝36°，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，
∴∠DBA＝∠ABC，即BD平分∠ABC，所以①正确；
∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，
∴DE＝DF，所以②正确；
∵∠BDC＝∠A+∠DBA＝72°，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴BD＝BC，
∵DB＝DA，
∴BC＝AD，
∴BC+CD＝AD+CD＝AC，
∵AB＝AC＝2AF，
∴BC+CD＝2AF，所以③正确．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质和等腰三角形的性质．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，满分8分）
13．（2分）使分式有意义的x的取值范围是 x≠2024 ．
【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：要使分式有意义，
则x﹣2024≠0，
即x≠2024．
故答案为：x≠2024．
【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．
14．（2分）分解因式：4xy2﹣16x＝ 4x（y+2）（y﹣2） ．
【分析】先提公因式4x，再根据平方差公式进行解答即可．
【解答】解：原式＝4x（y2﹣4）＝4x（y+2）（y﹣2）．
故答案为：4x（y+2）（y﹣2）．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
15．（2分）如图，已知等腰Rt△ABC的直角顶点C在y轴的负半轴上，顶点B在x轴的正半轴上，顶点A在第二象限，若C（0，﹣4），B（6，0），则点A的坐标是 （﹣4，2） ．
【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，根据△ADC≌△COB（AAS）得出AD＝OC＝4，CD＝OB＝6即可得出结果．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，
∴∠ADC＝∠BOC＝90°，
∵C（0，﹣4），B（6，0），
∴OB＝6，OC＝4，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
又∴∠ACO+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCO，
∴△ADC≌△COB（AAS），
∴AD＝OC＝4，CD＝OB＝6，
∴OD＝CD﹣OC＝6﹣4＝2，
∴A（﹣4，2），
故答案为：（﹣4，2）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16．（2分）若关于x的方程无解，则m的值是 ﹣1或2 ．
【分析】先按照解分式方程的一般步骤解方程，然后根据分式方程无解，列出关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：，
方程两边同时乘x﹣2得：
mx＝4﹣（x﹣2），
mx＝4﹣x+2，
mx+x＝6，
（m+1）x＝6，
，
∵关于x的方程 无解，
∴m+1＝0，，
解得：m＝﹣1或2，
故答案为：﹣1或2．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程无解；②分式的分母为0．
三、解答题（本大题共8个小题，满分56分）
17．（6分）（1）计算：；
（2）化简：（a﹣b）2+2b（a﹣b）﹣（a+b）（a﹣b）．
【分析】（1）根据零指数、负整数指数幂的运算法则计算即可；
（2）先根据乘法公式，单项式乘多项式以及去括号法则去掉括号，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）
＝1﹣3
＝﹣2；
（2）（a﹣b）2+2b（a﹣b）﹣（a+b）（a﹣b）
＝a2﹣2ab+b2+2ab﹣2b2﹣（a2﹣b2）
＝a2﹣2ab+b2+2ab﹣2b2﹣a2+b2
＝0．
【点评】本题考查实数的运算与整式的混合运算，涉及零指数、负整数指数幂的运算、完全平方公式和平方差公式，是基础题．
18．（6分）解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：（1）原方程去分母得：2（x﹣1）＝x+3，
整理得：2x﹣2＝x+3，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，（x﹣1）（x+3）≠0，
故原方程的解为x＝5；
（2）原方程去分母得：x+5＝10，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x2﹣25＝0，
则x＝5是分式方程的增根，
故原方程无解．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
19．（7分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）在y轴上找点D，使得AD+BD最小，直接写出点D的坐标．
【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）连接A1B，交y轴于点D，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，点C1的坐标为：（﹣3，2）；
（2）如图所示：点D的坐标为：（0，2）．
【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
20．（7分）先化简，再从﹣2，﹣1，0，1中选择一个合适的数代入求值．
【分析】先把各个分式的分子和分母分解因式，除法化成乘法，然后按照混合运算顺序，先算括号里面的，再算括号外面的，最后根据分式的分母不能为0，选取x＝﹣1代入化简后的式子求值即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
∵当a＝﹣2，1，0时，分式的分母为0，此时分式无意义，
∴a只能是﹣1，
当a＝﹣1时，
原式＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法和分式有意义的条件．
21．（7分）列分式方程解应用题：宝珠梨是昆明市首个国家地理标志保护产品，2023年12月16日，呈贡区宝珠梨作为参展产品之一亮相2023全国“土特产”集中推荐活动．某网店从甲、乙两农户手中各花600元购进两种不同品质的宝珠梨进行网上销售，从乙农户手中所购的宝珠梨单价比从甲农户手中所购的单价高出，且最终从甲农户手中所购的宝珠梨数量比从乙农户手中所购的多25千克，求分别从甲、乙农户手中所购的宝珠梨的单价．
【分析】设从甲农户手中所购的宝珠梨的单价是x元，则从乙农户手中所购的宝珠梨的单价为（1+）x元，根据“从甲农户手中所购的宝珠梨数量比从乙农户手中所购的多25千克”列出方程并解答．
【解答】解：设从甲农户手中所购的宝珠梨的单价是x元，则从乙农户手中所购的宝珠梨的单价为（1+）x元，则：
﹣＝25．
解得x＝6．
经检验x＝6是所列方程的解，且符合题意．
所以（1+）x＝8．
答：从甲农户手中所购的宝珠梨的单价是6元，则从乙农户手中所购的宝珠梨的单价为8元．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．
22．（7分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E为线段AB上一点，连接CE交AD于点F，已知BD＝DF，AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）若CF＝2BE，求∠BCE的度数．
【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可；
（2）根据△ABD≌△CFD可推出∠AEC＝∠ADC＝90°，再结合CF＝2BE可判断CE垂直平分AB，进而得出结果．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠CDF＝90°，
在Rt△ABD与Rt△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（SAS）；
（2）解：∵∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∵△ABD≌△CFD，
∴∠BAD＝∠ECB，AB＝CF，
∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∵AB＝CF＝2AE，
∴CE垂直平分AB，
∴CE平分∠ACB，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
23．（8分）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
【类比应用】
（1）①若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 20 ；
②若x（5﹣x）＝6，则x2+（5﹣x）2＝ 13 ；
【迁移应用】
（2）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，求一块三角板的面积．
【分析】（1）①利用（a+b）2＝a2+2ab+b2计算即可；
②令a＝x，b＝5﹣x，从而得到a、b的和与积，再利用（a+b）2＝a2+2ab+b2计算即可；
（2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积．
【解答】解：（1）①由题意可知，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∵xy＝8，x+y＝6，
∴x2+y2＝62﹣2×8＝20，
故答案为：20．
②令a＝x，b＝5﹣x，
∴a+b＝5，ab＝6，
∴x2+（5﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13，
故答案为：13．
（2）设三角板的两条直角边AO＝m，BO＝n，则一块三角板的面积为mn，
∴m+n＝14，（m2+n2）＝54，即m2+n2＝108，
∵2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝142﹣108＝88，
∴mn＝44，
∴mn＝×44＝22，
∴一块三角板的面积是22．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握并灵活运用完全平方公式是本题的关键．
24．（8分）我们知道在解与角平分线有关的问题时，通常过角平分线上的一点作角两边的垂线，构造全等三角形，请完成下列问题．
【初步探究】（1）如图1，∠MAN＝120°，AP平分∠MAN，点C是射线AP上一点，∠BCD＝60°，且与AM，AN分别交于点D，B，求证：CD＝CB．
【类比探究】（2）如图2，其他条件不变，将图1的∠BCD绕点C逆时针旋转使点D落在AM的反向延长线上．请探究线段AB，AC和AD之间的数量关系，写出结论并证明．
【拓展应用】（3）如图3，其他条件不变，将图1的∠BCD绕点C顺时针旋转使点B落在AN的反向延长线上．请直接写出线段AB，AC和AD之间的数量关系．（不用证明）
【分析】（1）过点C作CE⊥AN交于E，过点C作CF⊥AM交于N，证明△CDF≌△CBE（AAS）即可；
（2）在AB上截取AG＝AC，连接CG，在AD上截取AH＝AC，连接CH，证明△CDH≌△CBA（AAS），可得AD＝DH+AH＝AB+AC．
【解答】（1）证明：过点C作CE⊥AN交于E，过点C作CF⊥AM交于N，
∴∠CFD＝∠CEA＝90°，
∵AC是∠MAN的平分线，
∴CE＝CF，
∵∠AMN＝120°，
∴∠ECF＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∵∠BCD＝60°，
∴∠DCF＝60°﹣∠BCF，∠BCE＝60°﹣∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCE，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CD＝CB；
（2）解：AB＝AC+AD，理由如下：
在AB上截取AG＝AC，连接CG，
∵∠PAB＝∠MAN＝60°，
∴△ACG是等边三角形，
∴AC＝CG，
由（1）知BC＝CD，∠BCD＝60°，
∵∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝60°，∠BCD＝∠DCG+∠BCG＝60°，
∴∠ACD＝∠BCG，
∵∠MAN＝120°，∠AGC＝60°，
∴∠CAD＝∠CGB＝120°，
∴△BCG≌△DCA（AAS），
∴AD＝BG，
∴AB＝AG+BG＝AC+AD；
（3）解：AD＝AB+AC，理由如下：
在AD上截取AH＝AC，连接CH，
∵∠MAC＝60°，
∴△ACH是等边三角形，
∴AH＝CH＝AC，
∵∠CHA＝60°，∠MAC＝∠CAN＝60°，
∴∠CHD＝∠BAH＝120°，
∵∠ACH＝∠BCA+∠HCB＝60°，∠DCB＝∠DCH+∠BCH＝60°，
∴∠DCH＝∠BCA，
∴△CDH≌△CBA（AAS），
∴DH＝AB，
∴AD＝DH+AH＝AB+AC．
【点评】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，等边三角形的性质是解题的关键．