初中数学北师大版八年级上册2 一次函数与正比例函数教案

这是一份初中数学北师大版八年级上册2 一次函数与正比例函数教案，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
第四章 一次函数
2 一次函数与正比例函数
一、教学目标
1.经历一次函数概念的抽象过程，理解正比例函数和一次函数的概念，体会模型思想，发展符号意识.
2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系.
3.能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式.
4.能利用一次函数解决简单的实际问题.通过实例让学生经历思考，分析问题中量与量之间的关系，提高学生的归纳概括能力和辨别能力.
二、教学重难点
重点：掌握正比例函数和一次函数的概念.
难点：能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一
创设
情境
问题1：什么是函数？
预设答案：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.
追问： 表示函数的方法一般有哪些呢？
预设答案：表示函数的一般方法有：
图象法、列表法和关系式法.
问题2：购买一些签字笔，单价3元，总价为y元，签字笔为x支，根据题意填表：

(1)y随x变化的关系y= ，
是自变量， 是 的函数；
(2)当购买8支签字笔时，总价为 元.
预设答案：(1)3x；x；y；x.(2)24
问题3：求下列函数中自变量x的取值范围：




预设答案：
(1)x取全体实数；(2)4x+8≠0，x≠–2； (3)x+3≥0，x≥–3；(4)x≥–1且x≠1.

学生举手，回答问题.


学生抢答.




学生举手，回答问题.





学生思考并举手回答问题.






为了激发学生的求知欲望，吸引同学们的注意力，这里采用了“复习旧知识，诱导新内容”的引入方法.问题1，3复习上节课的内容，问2是让学生把所学知识运用于实际生活，提高学生的运用意识.





环节二
探究
新知
【探究】
情景一：某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5 cm.
(1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg，2 kg，3 kg， 4 kg，5 kg时弹簧的长度，并填入下表：

预设答案：3； 3.5； 4；4.5； 5； 5.5
(2)你能写出y与x之间的关系吗？
当x=0时，y=3；
当x=1时，y=3+1×0.5=3.5；
当x=2时，y=3+2×0.5=4；
当x=3时，y=3+3×0.5=4.5；...
它们之间的数量关系是：弹簧长度=原长+增加的长度，因此，x与y之间的关系式为：y=3+0.5x
情景二：某辆汽车油箱中原有油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L.
(1)填写下表：

预设答案：0；6；12；18；24；36
(2) 你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？
预设答案：y=0.12x
(3) 你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？
预设答案：z=60–0.12x
教师活动：上面的三个函数关系式，有什么共同点？y=3+0.5x y=0.12x z=60–0.12x
共同特点：(1)都是含有两个变量x，y的等式；
(2)x和y的指数都是一次；
(3)自变量x的系数都不为0.
【归纳】
若两个变量 x、y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称 y是x的一次函数.
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
一次函数的结构特征：
(1)k≠0；
(2)x的次数是1；
(3)常数项b可以为一切实数.
一次函数与正比函数的关系：

正比例函数是一种特殊的一次函数.(即当常数b=0时)

【做一做】
下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y=3πx； (2)y=8x–6； (3)y=；
(4)y=2–8x；(5)y=5x2–4x+1；(6)y=8x2+x(1–8x).
解：(1)是一次函数，也是正比例函数；
(2)是一次函数，不是正比例函数；
(3)不是一次函数，也不是正比例函数；
(4)是一次函数，不是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数；
已知y–2与x成正比例，且当x=1时，y=7，求y与x之间的函数关系式，并求出当x=–2时，y的值.
解：由y–2与x成正比例，设y–2=kx(k≠0)，
因为当x=1时，y=7，
所以7–2=k，得k=5，
所以y与x之间的函数关系式为y=5x+2.
当x=–2时，y=5×(–2)+2=–8，
所以当x=–2时，y的值是–8.





学生思考，回答问题.





学生思考，举手回答问题.













学生思考，并回答问题.






在教师的引导下，说出三者的共同点.

























学生小组讨论，思考完成问题.














从跟物理学有关的问题入手，体现了各学科之间是相互联系、相互渗透的.同时也让学生认识到数学与现实生活是密不可分的，因人们的需要而产生了数学，以此调动学生学习数学的积极性.





由这些简单的实例让学生分析问题中各个量之间的关系，从现实生活中抽象出数学模型，找到建立数学关系的方法，也为导出一次函数与正比例函数的概念做好铺垫.








引导学生辨析一次函数与正比例函数的联系和区别，以增进学生对不同概念间逻辑关系的认识.












通过丰富的练习题让学生进一步理解一次函数和正比例函数的概念，并能根据所给的条件写出一次函数的表达式，发展学生的抽象思维能力和类推能力.
环节三
应用
新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，然后再在小组内交流探讨.教师板书一道例题书写过程，其余题目可由学生代表板书完成，最终教师展示答题过程.
例1 写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系；
解：由路程=速度×时间，得y=60x ，
y是x的一次函数，也是x的正比例函数.
(2)圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
解：由圆的面积公式，得y=πx2，
y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
(3)某水池有水15 m3，现打开进水管进水，进水速度为5 m3/h，x h后这个水池有水y m3.
解：这个水池每时增加5 m3水，x h增加5x m3水， 因而有 y=15+5x.
y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
例2 自2019年9月1日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是：每次收入不超过800元的，预扣预缴税款为0；每次收入超过800元但不超过4000元的，预扣预缴税款=(每次收入–800 )×20%；……如某人取得劳务报酬2000元，他这笔所得应预扣预缴税款(2000-800)×20%=240(元).
(1)当每次收入超过800元但不超过4000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y(元)与每次收入x(元)之间的关系式.
解：(1)当每次收入超过800元但不超过4000元时，
y = (x -800) × 20%，即y= 0.2x-160.
(2)某人某次取得劳务报酬3500(元)，他这笔所得应预扣预缴税款多少元？
解：(2)当 x = 3500时，
y = 0.2×3500-160 = 540 (元)；
(3)如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元？
提示：先计算出此人的工资在哪一档.
解：(3)因为(4000-800) × 20% = 640 (元)，600