2022-2023学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  第届冬奥会计划于年月日在北京开幕，北京将成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．下列各届冬奥会会徽部分图案中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后与点重合，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列分式是最简分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某班级计划举办手抄报展览，确定了“时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

7.  如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，是面积为的平行四边形内任意一点，的面积为，的面积为，则(    )

A.  B.
C.  D. 的大小与点位置有关

9.  如图，在平行四边形中，，，点是对角线上一动点，点是边上一动点，连接、，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转后点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  一个多边形的内角和与外角和的和是，那么这个多边形的边数______．

13.  代数式与代数式的值相等，则______．

14.  如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则的坐标为______．

15.  如图，▱的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接下列结论：



 
成立的有______ 把所有正确结论的序号都填在横线上

16.  如图，平行四边形中，，，点是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形，连接、，当点是线段的中点，且时，则的长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  分解因式：．

四、解答题（本大题共9小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，在▱中，点、分别为、上的点，连接、，且求证：．

20.  本小题分
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
直接写出点关于原点对称的点的坐标：______；
平移，使平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的；
画出绕原点逆时针旋转后得到的．

22.  本小题分
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
请用文字语言叙述三角形的中位线定理：
三角形的中位线______于第三边，并且______；
证明：三角形中位线定理．
已知：如图，是的中位线．
求证：______．
证明：

23.  本小题分
某市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的型号，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
此次调查一共随机采访了______ 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为______ 度；
请补全条形统计图；
若该校有名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
李老师计划从，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，求出恰好抽中，两人的概率．

24.  本小题分
某单位在疫情期间购进、两种口罩，已知一包种口罩的单价比一包种口罩的单价多元，且花元购买种口罩和花元购买种口罩的包数相同．
求，两种口罩一包的单价各是多少元？
若计划用不超过元的资金购进、两种口罩共包，求种口罩最多能购进多少包？

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，，，点、分别是边、上的动点，点以每秒个单位的速度从点向点运动，同时点以每秒个单位的速度从点向点运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为．
求出点、的坐标；
当时，求的面积；
在的条件下，在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
 

26.  本小题分
把两个等腰直角和按如图所示的位置摆放，，将绕点按逆时针方向旋转，如图，连接，，设旋转角为．
求证：≌；
如图，若点在线段上，且，，求的长；
当的面积最大时，请直接写出此时旋转角的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选C．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念即可求解．
本题考查了中心对称图形的概念．
 

2.【答案】 

【解析】解：将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后与点重合，
点的横坐标为：，纵坐标为，
点的坐标为．
故选：．
让的横坐标加，纵坐标减即可得到所求点的坐标．
本题考查图形的平移变换，要牢记左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
 

3.【答案】 

【解析】解：、该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式．故本选项不符合题意．
B、该分式符合最简分式的定义．故本选项符合题意；
C、该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式．故本选项不符合题意；
D、该分式的分子为，分母为，所以该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式．故本选项不符合题意；
故选：．
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
本题考查了对最简分式，约分的应用，关键是理解最简分式的定义．
 

4.【答案】 

【解析】解：把“时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有种，
小明和小亮恰好选择同一个主题的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

5.【答案】 

【解析】解：原式

，
故选：．
根据分式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查分式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：、由“，”可知，四边形的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“，”可知，四边形的两组对角相等，可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、由“，”可知，四边形的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“，”可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．
故选：．
根据平行四边形的判定方法一一判断即可；
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是记住平行四边形的判定方法，属于中考基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
又、为对应点，点为旋转中心，
，即为等腰三角形，
．
故选：．
旋转中心为点，与，与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求，即可求出的度数．
本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作交于点，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，，，
，，
，
故选：．
根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到和、之间的关系，本题得以解决．
本题考查平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作，交于点，则的最小值为的长，

，，四边形是平行四边形，
，，
在中，，，
，
，
；
故选：．
过点作，交于点，则的最小值为的长，在中，，，即可求解．
本题考查最短距离问题；利用垂线段最短将的最小值转化为垂线段的长是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴于．

在中，，，，
，，
，
，，
由题意，，，，，，次一个循环，
，
，
故选：．
求出的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．
本题考查坐标与图形变化旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会探究规律的方法．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设这个多边形的边数有条，由题意得：
，
解得：．
故答案为：．
首先设这个多边形的边数有条，根据多边形内角和公式可得内角和，再根据外角和为可得方程，再解方程即可．
此题主要考查了多边形的内角和和外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式与外角和定理．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
根据题意列出分式方程，求出解即可．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过、两点分别作轴，轴的垂线，垂足为、，
线段绕点顺时针旋转，
，
，且，，
≌，即，，
．
故选：
如图，过、两点分别作轴，轴的垂线，垂足为、，由旋转可知，≌，则，，由此确定点的坐标．
本题考查了点的坐标与旋转变换的关系．关键是根据旋转的条件，确定全等三角形．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
平分，

是等边三角形，
，
，
点是中点，，
，
，
，
，故正确；
，
，故正确，
，，
，
，故错误；
，，
，
，
故正确．
故答案为：．
由▱中，，易得是等边三角形，又由，证得点是中点，；继而证得，得；可得是三角形的中位线，证得，而，可由，，，知不成立．
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形，是的中位线是关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接交于点，

与是以为对称轴的轴对称图形，
由轴对称的性质得，，，
是线段的垂直平分线．
点是的中点，．
又点是的中点，
为的中位线．
，，．
在中，．
在中，．
．
故答案为：．
连接交于点，由轴对称的性质得出，，求出和的长，由勾股定理可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，轴对称性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握折叠的性质．
 

17.【答案】解：，
，
． 

【解析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：；
主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，本题难点在于要进行二次分解．
 

18.【答案】解：原式
，
当时，原式． 

【解析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式，然后把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
即． 

【解析】根据平行四边形的性质和判定以及等式的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和判定以及等式的性质解答．
 

20.【答案】证明：是对角线的中点，是的中点，是的中点，
、分别是和的中位线，
，，
，
，
． 

【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，然后求出，再根据等边对等角证明即可．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等边对等角的性质，熟记定理与性质是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：；
如图所示，即为所求．

如图所示，即为所求．
根据关于原点对称的两点的横纵坐标均与原来点的横纵坐标互为相反数，据此可得答案；
将三个点分别向右平移个单位、再向上平移个单位，继而首尾顺次连接即可；
将三个点分别绕原点逆时针旋转后得到对应点，再首尾顺次连接即可．
本题主要考查作图平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
 

22.【答案】平行；等于第三边的一半；
，证明：
如图，延长到，使，连接，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
且．
故答案为：平行；等于第三边的一半；，． 

【解析】解：定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
已知：中，点、分别是、的中点，
求证：，，
证明：如图，延长到，使，连接，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
且．
故答案为：平行；等于第三边的一半；，．
作出图形，然后写出已知、求证，延长到，使，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再求出，根据内错角相等，两直线平行判断出，然后判断出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，．
本题考查了三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握．
 

23.【答案】   

【解析】解：此次调查一共随机采访学生名，
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：，；
绿色部分的人数为人，
补全图形如下：

估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数人；
列表如下：

由表格知，共有种等可能结果，其中恰好抽中，两人的有种结果，
所以恰好抽中，两人的概率为．
由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例；
根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数占被调查人数的比例即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中，两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：设种口罩一包的单价为元，则种口罩一包的单价为元，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：种口罩一包的单价为元，种口罩一包的单价为元；
设购进种口罩包，则购进种口罩包，
依题意，得： ，
解得：，
答：种口罩最多能购进包． 

【解析】设种口罩一包的单价为元，则种口罩一包的单价为元，由题意：花元购买种口罩和花元购买种口罩的包数相同．列出分式方程，解方程即可；
设购进种口罩包，由题意：计划用不超过元的资金购进、两种口罩共包，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】解：如图，作于点，则，
，
，
，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
．
如图，过点作轴于点，交的延长线于点，则，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，，
；
如图，由题意时，．
当平行四边形以为对角线，设交轴于点，
，
，
，
，
，
；
当平行四边形以为对角线，则，，
，
；
当平行四边形以为对角线，作交的延长线于点，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
综上所述，点的坐标为或或． 

【解析】作于点，则是等腰直角三角形，可求出点的坐标，再根据平行四边形的性质求点的坐标；
过点作轴于点，交的延长线于点，根据行程问题中速度、时间与距离之间的关系，用含的代数式表示线段、、、的长，再由，求解即可；
由题意时，时，则，可求出此时的值，再求出、的长，以、、、为顶点的平行四边形可以、、为对角线，以此分类讨论，求出所有符合条件的点的坐标即可．
此题属于四边形综合题，考查平面直角坐标系的有关知识、平行四边形的判定与性质、求动点问题中的函数关系式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
 

26.【答案】证明：，都是等腰直角三角形，
，，
，
则，
，
≌；

解：如图，过点作于，

由证明同理可得≌，
，
是等腰直角三角形，，
是斜边中线，
，
在中，，，
，
在中，，
，
；

解：点轨迹在以为圆心，为半径的圆上，
的长度为定值，
的长度为定值，
底边上的高，
当时，面积最大，即点在直线上，
如图当时，，面积最大，

如图，当时，，面积最大，

当为或时，面积最大． 

【解析】由等腰直角三角形的性质可得，，，求得即可证明；
过点作于，由≌可得，由等腰三角形三线合一的性质可得，由求得，再由勾股定理求得即可解答；
根据点轨迹可得当时，面积最大，由旋转的性质求得即可．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；掌握旋转的性质是解题关键．