2022-2023学年福建省三明市七县联考八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省三明市七县联考八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省三明市七县联考八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是(    )

A. x>1 B. x≥1 C. x>3 D. x≥3
3. 当x=1时，下列分式没有意义的是(    )
A. x+1x B. xx−1 C. x−1x D. xx+1
4. 若x>y，则下列不等式成立的是(    )
A. x−2−y+2
C. x2>y2 D. −2x>−2y
5. 下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是(    )
A. B. C. D.
6. 下列各式，不能用完全平方公式进行因式分解的是(    )
A. x2−2x+1 B. 1−2x+x2 C. −a2+b2−2ab D. 4x2+4x−1
7. 下列定理有逆定理的是(    )
A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同位角相等
C. 全等三角形的对应角相等 D. 直角都相等
8. “六一八”购物狂欢节来临之际，某电商平台为了扩大销量，决定打折促销，已知某款音响的进价为600元，标价为900元，要保持获利不低于5%，则该电商平台至多可以打销售．(    )
A. 九五折 B. 八折 C. 七五折 D. 七折
9. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是(    )



A. 60° B. 65° C. 75° D. 80°
10. 已知函数y1=2x+1，y2=ax(a为常数)，当x>0时，y1>y2则a的取值范围是(    )
A. a≥2 B. a≤2 C. a>2 D. a<2
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 约分：xy3x= ______ ．
12. “a是负数”用不等式可表示为______．
13. 如图，在四边形ABCD中，AO=OC，BD=12厘米，则当OB= ______ 厘米时，四边形ABCD是平行四边形．


14. 如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则∠1= ______ ．


15. 已知非零实数x，y满足y=x3x+1，则x−y+3xyxy的值等于______ ．
16. 如图，在▱ABCD中，AD=2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF，AF，DF，现给出以下结论：①∠C=2∠AFB；
②AF⊥DF；
③S△ABF=S△AFE；
④△ABF是等边三角形．
其中正确的是______ (写出所有正确结论的序号)．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 解不等式：2x−13−5x+12≤1，并把解集在数轴上表示出来．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
分解因式：
(1)7x2−63；
(2)x3+6x2y+9xy2．
19. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DF=DE.求证：∠B=∠C．

20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：x−2x2−1÷(1−1x−1)，其中x= 2−1．
21. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，线段AB的端点坐标分别为A(2,3)，B(3,1)．
(1)将线段AB向左平移6个单位长度得到线段A1B1，请画出线段A1B11，并写出点A，B1的坐标；
(2)将线段AB绕点O按逆时针方向旋转180°得到线段A2B2，请画出线段A2B2，并计算AA2的长．


22. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
(1)在AC边上求作点D，使得AD=BD；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若AB=5，BC=3，求CD的长．

23. (本小题10.0分)
随着科幻影视作品热的兴起，越来越多的中学生喜欢阅读科幻书籍.某校图书馆购进甲、乙两种科幻图书，已知每本甲图书的进价是每本乙图书进价的1.5倍，用540元购买甲图书的数量比用450元购买乙图书的数量少3本．
(1)求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？
(2)某中学计划购进甲、乙两种图书共50本，且甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本，怎样购买，才能使购书总费用W最少，并求出最少费用．
24. (本小题12.0分)
在▱ABCD中，∠C=45°，AD=BD，点P为边CD上的动点(点P不与点D重合)，连接AP，过点P作PE⊥AP交直线BD于点E．
(1)如图①，当点P是边CD的中点时，求证：∠APD=∠EPB；
(2)如图②，当点P是边CD上任意点时，
①求证：PA=PE；
②探究线段DE，DA和DP之间的数量关系．


25. (本小题14.0分)
如图①，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE.现将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为α(0°<α<360° )．

(1)当α=30°时，此时CD的长为______ ；
(2)在旋转过程中，当α为多少度时，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，并说明理由；
(3)如图②，当α=60°时，连接CD，求证：C，D，E三点在同一直线上．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A.不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．

2.【答案】C 
【解析】解：由关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示可知，两个不等式解集的公共部分为：x>3，
∴关于x的一元一次不等式组的解集为：x>3．
故选：C．
利用不等式组的解集在数轴上的表示方法确定不等式组的解集．
本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，利用不等式组中所有不等式的解集的公共部分是不等式的解集来确定不等式组的解集是解题的关键．

3.【答案】B 
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：A、x+1x，当x=1时，分式有意义不合题意；
B、xx−1，当x=1时，x−1=0，分式无意义符合题意；
C、x−1x，当x=1时，分式有意义不合题意；
D、xx+1，当x=1时，分式有意义不合题意；
故选：B．  
4.【答案】C 
【解析】解：A、∵x>y，
∴x−2>y−2，
故本选项不符合题意；
B、∵x>y，
∴−x+2<−y+2，
故本选项不符合题意；
C、∵x>y，
∴x2>y2，
故本选项符合题意；
D、∵x>y，
∴−2x<−2y，
故本选项不符合题意；
故选：C．
根据不等式性质解题：不等式两边同时乘或除以同一个正数仍成立，不等式两边同时乘或除同一个不等于零的负数要改变不等号的方向．
本题考查了不等式的性质，属于简单题，熟悉不等式的性质是解题关键．

5.【答案】B 
【解析】解：观察图形可知，B图案不能通过平移图案得到．
故选：B．
根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，找各点位置关系不变的图形．
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．

6.【答案】D 
【解析】解：A、x2−2x+1=(x−1)2；
B、1−2x+x2=(1−x)2；
C、−a2+b2−2ab=−(a−b)2；
D、4x2+4x−1不能用完全平方公式进行因式分解；
故选：D．
A、B、C都能用完全平方公式进行因式分解，D不能．
本题考查了公式法分解因式，掌握能运用完全平方公式分解因式的条件：多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍是解题关键．

7.【答案】B 
【解析】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故选项不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行；故选项符合题意；
C、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，故选项不符合题意；
D、直角都相等的逆命题是相等的角都是直角，故选项不符合题意．
故选：B．
分别写出下列定理的逆命题即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题．

8.【答案】D 
【解析】解：设该电商平台可以打x折销售，
由题意可得：900× x10−600≥600×5%，
解得：x≥7，
∴该电商平台至多可以打七折，
故选：D．
设该电商平台可以打x折销售，由获利不低于5%，列出不等式可求解．
本题考查了一元一次不等式的应用，找出正确的不等关系是解题的关键．

9.【答案】D 
【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知，∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，根据三角形的外角性质即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，
∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75°，
∴∠ODC=25°．
∵∠CDE+∠ODC=180°−∠BDE=105°，
∴∠CDE=105°−∠ODC=80°．
故选：D．

10.【答案】B 
【解析】解：∵y1=2x+1，y2=ax，
∴y1>y2，则2x+1>ax，可得(2−a)x>−1，
∵当x>0时，y1>y2，
∴2−a≥0，
解得a≤2，
故选：B．
根据题意和不等式的性质，可以得到a的取值范围．
本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确一次函数的性质和解不等式的方法．

11.【答案】y3 
【解析】解：原式=x⋅yx⋅3
=y3．
故答案为：y3．
分子分母约去公因式x即可．
本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．

12.【答案】a<0 
【解析】解：根据题意，得a<0．
理解：负数小于0．
本题考查的知识点是：负数小于0．

13.【答案】6 
【解析】解：∵AO=OC，
∴当OB=OD时，四边形ABCD是平行四边形，
∵BD=12厘米，
∴OB=12BD=12×12=6(厘米)，
故答案为：6．
由AO=OC，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可知，当OB=OD时，四边形ABCD是平行四边形，则OB=12BD=6厘米，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形确定OB=OD是解题的关键．

14.【答案】18° 
【解析】解：∵正五边形的每个内角度数为(5−2)×180°÷5=108°，正方形的每个内角等于90°，
∴∠1=108°−90°=18°，
故答案为：18°．
∠1的度数是正五边形的内角与正方形内角的度数差，根据多边形内角和定理求出各内角的度数，进而求解．
本题考查查了正五边形和正方形的性质，多边形内角和定理，掌握该知识点是解题的关键．

15.【答案】6 
【解析】解：∵y=x3x+1，
∴x=3xy+y，
∴x−y+3xyxy
=3xy+y−y+3xyxy
=6．
故答案为：6．
根据y=x3x+1，可得：x=3xy+y，把x=3xy+y代入x−y+3xyxy，求出算式的值即可．
此题主要考查了分式的值，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．

16.【答案】①②③ 
【解析】解：①∵F是BC的中点，
∴BC=2BF=2CF，
在▱ABCD中，AD=BC，AD//BC，∠BAD=∠C，AB=CD，AB/​/CD，
∴∠AFB=∠DAF，
∵AD=2AB，
∴BF=AB，
∴∠AFB=∠BAF，
∴∠BAF=∠DAF，
∴2∠BAF=∠BAD，
∴∠C=2∠AFB，故①正确；
②∵AB=BF=CF，AB=CD，
∴CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF，
∵AD/​/BC，
∴∠ADF=∠CFD，
∴∠ADF=∠CDF，
∵AB/​/CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠FAD+∠ADF=90°，
∴∠AFD=90°，
即AF⊥DF，故②正确；
③延长EF交AB的延长线于点G，
∵AB/​/CD，
∴∠G=∠CEF，∠GBF=∠C，
在△BGF和△CEF中，
∠G=∠CEF∠GBF=∠CBF=CF，
∴△BGF≌△CEF(AAS)，
∴GF=EF，
∴S△AGF=S△AFE，
∴S△ABF ④∵AE⊥CD，AB/​/CD，
∴AE⊥AB，即∠BAE=90°，
∵GF=EF，
∴AF=GF=EF，
若△ABF为等边三角形，则BF=AF=GF，而F 故答案为：①②③．
①由平行四边形的性质可得AD=BC，AD//BC，∠BAD=∠C，AB=CD，AB/​/CD，结合等腰三角形的性质可证得∠AFB=∠BAF=∠DAF，进而可证明①的结论；
②先证明CF=CD，再由平行线的性质及等腰三角形的性质可得FAD+∠ADF=90°，即可得∠AFD=90°，进而可证明②的结论；
③延长EF交AB的延长线于点G，利用AAS证明△BGF≌△CEF，可得S△AGF=S△AFE，进而可证明③的结论；
④通过证明AF=GF=EF及BF 本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的面积等知识的综合运用，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键．

17.【答案】解：去分母得，2(2x−1)−3(5x+1)≤6
去括号得，4x−2−15x−3≤6
移项合并同类项得，−11x≤11
两边同时除以−11得，x≥−1．
解集在数轴上表示：
． 
【解析】去分母、移项、合并、系数化1后，求不等式的解．
两边同时除以−11时，要改变不等号的方向．

18.【答案】解：(1)7x2−63
=7(x2−9)
=7(x+3)(x−3)；
(2)x3+6x2y+9xy2
=x(x2+6xy+9y2)
=x(x+3y)2． 
【解析】(1)先提公因式，再利用平方差公式分解；
(1)先提公因式，再利用完全平方公式分解．
本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．

19.【答案】证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°，
∵D是BC上的中点，
∴BD=CD，
在Rt△BFD和Rt△CED中，
BD=CDDF=DE，
∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL)，
∴∠B=∠C。 
【解析】解答：见答案。
根据HL证明Rt△BFD≌Rt△CED，根据全等三角形的性质即可得证。
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形特有的判定方法(HL)是解题的关键。

20.【答案】解：原式=x−2(x+1)(x−1)÷x−1−1x−1
=x−2(x+1)(x−1)⋅x−1x−2
=1x+1，
当x= 2−1时，
原式=1 2−1+1
= 22． 
【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．

21.【答案】解：(1)如图，线段A1B11即为所求，点A1(−4,3)，B1(−3,1)；
(2)如图，线段A2B2即为所求，AA2的长= 42+62=2 13．
 
【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可；
(2)利用中心对称变换的性质分别作出A，B的对应点A2，B2，再利用勾股定理求出AA2．
本题考查作图−平移变换，坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

22.【答案】解：(1)如图，点D即为所求；

(2)∵∠C=90°，BC=3，AB=5，
∴AC= AB2−BC2= 52−32=4，
设AD=DB=x，则有x2=32+(4−x)2，
∴x=258，
∴CD=AC−AD=4−258=78． 
【解析】(1)作线段AB的垂直平分线交AC与点D，点D即为所求；
(2)利用勾股定理求出AC，设AD=DB=x，构建方程求出x，可得结论．
本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

23.【答案】解：(1)设乙种图书每本的进价是m元，则甲种图书每本的进价是1.5m元，
根据题意得：5401.5m=450m−3，
解得m=30，
经检验，m=30是原方程的解，也符合题意，
∴1.5m=1.5×30=45，
∴甲种图书每本的进价是45元，乙种图书每本的进价是30元；
(2)设购买甲图书x本，则购买乙图书(50−x)本，
∵甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本，
∴x≥(50−x)+6，
解得x≥28；
根据题意，W=45x+30(50−x)=15x+1500，
∵15>0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x=28时，W取最小值15×28+1500=1920，
此时50−x=50−28=22，
∴购买甲图书28本，乙图书22本，购书总费用W最少，最少费用为1920元． 
【解析】(1)设乙种图书每本的进价是m元，根据用540元购买甲图书的数量比用450元购买乙图书的数量少3本得：5401.5m=450m−3，解方程并检验可得答案；
(2)设购买甲图书x本，由甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本，得x≥(50−x)+6，x≥28；而W=45x+30(50−x)=15x+1500，根据一次函数性质可得答案．
本题考查分式方程，一次函数的应用，解题的关键读懂题意，列出方程和函数关系式．

24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD//BC，
∵AD=BD，
∴BC=BD，
∵∠C=45°，
∴∠BDC=∠C=45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵点P为线段CD的中点，
∴DP=BP，∠CPB=90°，
∵AD/​/BC，
∴∠ADP=∠PBE=135°，
∵EP⊥AP，
∴∠APE=∠DPB=90°，
∴∠APD=∠BPE，
∴△ADP≌△EBP(ASA)，
∴∠APD=∠EPB；
(2)①证明：过点P作PF⊥CD交DE于点F，

∵PF⊥CD，EP⊥AP，
∴∠DPF=∠APE=90°，
∴∠DPA=∠FPE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠DAB=45°，AB/​/CD，
∵AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA=∠C=∠CDB=45°，
∴∠ADB=∠DBC=90°，
∴∠PFD=45°，
∴∠PFD=∠PDF=45°，
∴PD=PF，
∴∠PDA=∠EFP=135°，
∴△ADP≌△EFP(ASA)，
∴PA=PE；
②解：DE−DA= 2DP，理由如下：
由①知，△ADP≌△EFP，
∴AD=EF，
∵PD=PF，∠PFD=∠PDF=45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴DF= PD2+PF2= 2PD，
∵DE=DE+EF，
∴DE=DF+DA，
∴DE−DA= 2DP． 
【解析】(1)根据题意可得△BDC是等腰三角形，再证明△ADP≌△EBP即可得证结论；
(2)①过点P作PF⊥CD交DE于点F，可得∠DPA=∠FPE，再结合平行四边形的性质可得△ADP≌△EFP，然后得出结论即可；
②由①知，△ADP≌△EFP，得出AD=EF，再由勾股定理可得DF= 2PD，然后得出结论即可．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键．

25.【答案】2 3−2 
【解析】(1)解：∠C=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AB=2BC=4，
由勾股定理得：AC= AB2−BC2= 42−22=2 3，
∵点D是边AB的中点，
∴AD=12AB=2，
如图，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，旋转角α=30°时，此时AD边与AC边重合，
∴CD=AC−AD=2 3−2．
故答案为：2 3−2．

(2)解：①如图，当四边形ABCD是平行四边形时，此时旋转角α=∠BAD，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC/​/AD，
∴∠CAD=∠BCA=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=30°+90°=120°，
∴α=120°；
②如图，当四边形ACBD是平行四边形时，此时a=360°−∠BAD，

∵四边形ACBD是平行四边形，
∴BC/​/AD，
∴∠C+∠CAD=180°，
∵∠C=90°，
∴∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠CAD−∠BAC=90°−30°=60°，
∴α=360°−60°=300°，
综上可知，当α为120°或300°时，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
(3)证明：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE/​/BC，
∴∠C+∠DEC=180°，∠ADE=∠B=60°，
∴∠DEC=∠DEA=90°，
如图，当α=60°时，由旋转的性质可知，∠BAD=∠CAE=60°，∠E=90°，∠ADE=60°，

∴∠CAD=∠BAD−∠BAC=30°，∠ACD=180°−∠E−∠CAE=30°，
∴∠CDA=180°−∠CAD−∠ACD=120°，
∴∠CDA+∠ADE=180°，
∴C，D，E三点在同一直线上．
(1)根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，得到AB=4，利用勾股定理，求得AC=2 3，再根据旋转的性质可知，旋转角α=30°时，AD边与AC边重合，最后由CD=AC−AD，即可求出CD的长；
(2)分两种情况讨论：①当四边形ABCD是平行四边形时；②当四边形ACBD是平行四边形时，利用平行四边形的性质和旋转的性质，分别求解即可得到答案；
(3)先利用三角形内角和定理，得到∠B=60°，再利用三角形中位线的性质，推出∠ADE=60°，∠DEC=∠DEA=90°，当旋转角α=60°时，由旋转的性质可知，∠BAD=∠CAE=60°，∠E=90°，∠ADE=60°，求得∠CDA=120°，由∠CDA+∠ADE=180°，即可证明结论．
本题考查了30度角所对的直角边等于斜边一半，勾股定理，旋转的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形中位线等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．