还剩20页未读，
继续阅读
2022-2023学年福建省泉州市安溪县八年级（下）期末数学试卷（含解析）
展开
这是一份2022-2023学年福建省泉州市安溪县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省泉州市安溪县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 20230等于( )
A. 2023 B. 12023 C. 1 D. 0
2. PM2.5是指大气中直径小于等于2.5微米，即0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为( )
A. 2.5×10−7 B. 2.5×10−6 C. 25×10−7 D. 0.25×10−6
3. 在平面直角坐标系中，点(4,−3)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. (4,3) B. (4,−3) C. (−4,3) D. (−4,−3)
4. 将直线y=−2x+1向下平移3个单位长度得到直线l，则直线l的解析式为( )
A. y=−5x+1 B. y=−2x+4 C. y=−2x−2 D. y=2x−2
5. 在▱ABCD中，∠A：∠B=5：1，则∠D的度数为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
6. 下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是( )
A. AB=BC B. AC⊥BD C. AC=BD D. AB=AC
7. 一组数据的方差计算公式为s2=14[(8−x−)2+(8−x−)2+(9−x−)2+(11−x−)2]，下列关于这组数据的说法错误的是( )
A. 平均数是9 B. 中位数是8.5 C. 众数是8 D. 方差是1
8. 如图，正方形ABCD的面积为2，菱形AMCN的面积为1，则M，N两点间的距离为( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 3
9. 如图，在同一平面直角坐标系中，函数y=kx和y=−kx+2(k≠0)的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
10. 如图，甲、乙两人于某日下午从M地前往N地，图中的折线ABC和线段EF分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.以下结论：
①M，N两地相距50千米；
②甲出发1小时后，乙才开始出发；
③甲在BC段路程中的平均速度是20千米/小时；
④乙出发后经过0.5小时就追上甲．
其中正确的有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 若点P(1,b+2)在第四象限，则b的值可以是______ .(写出一个即可)
12. 当x=______时，分式x+1x−2的值为0．
13. 如图，直线y=kx+b经过A(3,1)，B(−1,−2)两点，则不等式组−2
14. 如图，点P是正方形ABCD内一点，以BC为边作等边三角形BPC，连接BD、PD，则∠PDB的大小为______．
15. 已知点P(a,3b2−3)，且实数a，b满足a−4b2+8=0，则点P到原点的最短距离为______ ．
16. 如图，直线y=k1x+3(k1>0)与双曲线y=k2x交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于点D，C.若S△OAB=3S△OCD，则中k1⋅k2的值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解方程：x2x−2−3x−1=1．
18. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−3x+1)÷x−2x2−1，其中x=2023．
19. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，AE=CF，求证：BE=DF．
20. (本小题8.0分)
清溪中学八年级数学科期末总评成绩是由“完成作业”“期中考试”“期末考试”三项成绩组成的，如果期末总评成绩80分以上，则评为“优秀”.下面表中是小安和小溪两位同学的成绩记录：(8分)
完成作业
期中考试
期末考试
小安
70
90
80
小溪
75
72
(1)若按三项成绩的平均分记为期末总评成绩，请计算小安的期末总评成绩；
(2)若完成作业、期中考试、期末考试三项成绩按2：3：5的权重来确定期末总评成绩，则小溪在期末考试(期末成绩为整数)至少考多少分才能达到优秀？
21. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=23x+2与双曲线y=kx(k>0)交于点A(a,4)，与x轴交于点B．
(1)求k的值；
(2)过点A的直线交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底边的等腰三角形时，求直线AD所对应一次函数的解析式．
22. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，点D在AC上，过点D作DE//BC交AB于点E．
(1)求作过点D且平行于AB的直线，交BC于点F(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，若BD平分∠ABC，求证：四边形BFDE为菱形．
23. (本小题10.0分)
湖头米粉和官桥豆干是安溪的两大特产.已知一箱湖头米粉比一箱官桥豆干的价格高30元，且用400元购买湖头米粉的箱数和用250元购买官桥豆于的箱数相等．
(1)求湖头米粉、官桥豆干每箱各多少元？
(2)若要购进湖头米粉和官桥豆干共60箱，且湖头米粉的箱数不少于官桥豆干的箱数的2倍.试求购买这两种特产总费用的最小值．
24. (本小题12.0分)
如图，点E在正方形ABCD的边AB上(不与点A，B重合)，作点D关于直线CE的对称点D′.DD′与BC相交于点F，连接D′B并延长，交CE的延长线于点G．
(1)求证：CE=DF；
(2)求证：∠G=45°．
25. (本小题14.0分)
如图1，直线l1：y=x+b1分别与x轴、y轴交于点A，B，直线l2：y=−12x+b2分别与y轴、x轴交于点C，D，l1，l2的交点G在第一象限，且b2>b1>0，3OA=2BC．
(1)求b1，b2满足的关系式；
(2)若四边形BODG的面积为22．
①点E，F分别在x轴、直线l2上，当以B，G，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求点F的坐标；
②如图2，正方形BMNG中，顶点M在x轴的正半轴上，同时正方形B′M′N′G′的两个顶点N′，G′在反比例函数y=kx的图象上，另两个顶点B′，M′分别在y轴、x轴的正半轴上.当k的值改变时，正方形B′M′N′G′的大小也随之改变，若变化的正方形B′M′N′G′与正方形BMNG有重叠部分时，直接写出k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：20230=1．
故选：C．
零指数幂：a0=1(a≠0)，由此即可得到答案．
本题考查零指数幂，关键是掌握零指数幂：a0=1(a≠0)．
2.【答案】B
【解析】解：0.0000025=2.5×10−6，
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，掌握表示方法是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：点(4,−3)关于x轴的对称点的坐标是(4,3)．
故选：A．
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；即点(x,y)关于x轴的对称点的坐标是(x,−y)即可得到点(4,3)关于x轴对称的点的坐标．
本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，掌握关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是关键．
4.【答案】C
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y=−2x+1向下平移3个单位长度得到直线l，则直线l的解析式为：y=−2x+1−3，即y=−2x−2．
故选：C．
直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：=5：1，∠A+∠B=180°，∠B=∠D，
设∠A=5x，则∠B=x，
∴5x+x=180°，
∴x=30°，
∴∠D=∠B=30°，
故选：A．
设∠A=5x，则∠B=x，根据“平行四边形的对角相等，邻角互补”列出方程进而解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，难度不大，注意熟练掌握平行四边形的性质是关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵▱ABCD中，AB=BC，
∴▱ABCD是菱形，
故选项A不符合题意；
∵▱ABCD中，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，
故选项B不符合题意；
∵▱ABCD中，AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，
故选项C符合题意；
▱ABCD中，AB=AC，不能判定▱ABCD是矩形，
故选项D不符合题意；
故选：C．
由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由方差的计算公式知，这组数据为8、8、9、11，
所以这组数据的平均数为8+8+9+114=9，中位数为8+92=8.5，众数为8，
方差s2=14[(8−9)2+(8−9)2+(9−9)2+(11−9)2]=32，
故选：D．
由方差的计算公式知，这组数据为8、8、9、11，再根据方差、众数、中位数及平均数的定义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数及平均数的定义．
8.【答案】A
【解析】解：连接AC交MN于O，如图：
∵正方形ABCD的面积为2，
∴12AC2=2，
∴AC=2，
∵菱形AMCN的面积为1，
∴12AC⋅MN=1，
∴12×2⋅MN=1，
∴MN=1；
故选：A．
连接AC交MN于O，由正方形ABCD的面积为2，求得AC=2，又菱形AMCN的面积为1，故12×2⋅MN=1，从而可得MN=1．
本题考查正方形性质和菱形的性质，解题的关键是掌握正方形面积，菱形的面积公式．
9.【答案】D
【解析】解：当k>0时，y=−kx+2k过一、二、四象限；
y=kx图象在一、三象限；
当k<0时，y=−kx+2k过一、二、二象限；
y=kx图象在二、四象限，
故选：D．
令k>0和k<0，分别找出函数图象所过象限，能共存者即为正确答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的图象，熟悉函数的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由图象可知，MN两地路程为50km，
∴①正确；
∵甲在1时出发，乙在2时出发，2−1=1小时，
∴②正确；
∵甲在BC段2小时行驶的路程为40−20=20km，
∴甲在BC段路程中的平均速度为20÷2=10千米/时，
∴③错误；
设乙出发t小时追上了甲，根据题意得，
20+10t=50t，
解得t=0.5，
∴④正确．
故选B．
由图象可知，MN两地路程为50km，故①正确；甲在1时出发，乙在2时出发，故②正确；根据甲在BC段2小时行驶的路程为40−20=20km，可得甲在BC段路程中的平均速度为10千米/时，故③错误；设乙出发t小时追上了甲，根据题意得20+10t=50t，解得t=0.5，故④正确．即可得解．
本题考查了函数图象，一元一次方程的应用，从图象中获取正确的信息是解题的关键．
11.【答案】−3
【解析】解：∵第四象限内点的坐标特征为横坐标是正，纵坐标是负，
∴b+2<0，
解得b<−2，
∴b的值可以是−3，答案不唯一，
故答案为−3．
根据第四象限内点的坐标特征为横坐标是正，纵坐标是负，判断点P的纵坐标b+2<0，解得b<−2，写出一个符合条件的解即可．
本题考查的是坐标系中点的坐标特征，熟练掌握坐标系中每个象限的坐标特征是解题关键．
12.【答案】−1
【解析】解：由分式的值为零的条件得x+1=0，且x−2≠0，
解得：x=−1，
故答案为：−1．
根据分式值为零的条件得x+1=0且x−2≠0，再解方程即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
13.【答案】−1
∴关于x的不等式−2
14.【答案】30°
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD，
∵△BPC是等边三角形，
∴∠PBC=∠BCP=∠BPC=60°，BP=PC=BC，
∵BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠DBC=45°，
∴∠PBD=∠PBC−∠DBC=60°−45°=15°，
∵∠BCD=90°，∠BCP=60°，
∴∠PCD=90°−60°=30°，
∵PD=DC，
∴∠DPC=180°−30°2=75°，
∴∠PDB=180°−∠PBD−∠BPC−∠CPD=180°−15°−60°−75°=30°，
故答案为：30°．
根据正方形的性质和等边三角形的性质得出∠DPC=75°，进而解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形的内角和定理解答．
15.【答案】125
【解析】解：设原点为O，
∵a−4b2+8=0，
∴a=4b2−8，
∵P(a,3b2−3)，
∴OP2=a2+(3b2−3)2，
即OP2=(4b2−8)2+(3b2−3)2
=25b4−82b2+73
=25(b2−1125)2+14425，
∴当b2=1125时，OP2有最小值为14425，
∴OP的最小值为125，
即点P到原点的最短距离为125，
故答案为：125．
设原点为O，用含b的代数式表示a，根据两点间的距离公式得出OP2=(4b2−8)2+(3b2−3)2化成完全平方的形式即可求解．
本题考查了勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
16.【答案】18
【解析】解：∵直线y=k1x+3(k1>0)与y轴交于点C，
∴C(0,3)，
∵直线y=k1x+3(k1>0)与x轴交于点D，
∴D(−3k1,0)，
∴S△OCD=12×OD×OC=12×3k1×3=92k1，
设A(m1,n1)，B(m2,n2)，
令k1x+3=k2x，整理得：k1x2+3x−k2=0，
由根与系数的关系得：m1+m2=−3k1，m1m2=−k2k1，
S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×OC(m1−m2)=32(m1−m2)，
∵m1−m2= (m1+m2)2−4m1m2= 9k12+4×k2k1，
∴S△AOB=32 9k12+4×k2k1，
又∵S△OAB=3S△OCD，
∴32 9k12+4×k2k1=3×92k1，
整理得：
9k12+4k2k1=81k12，
∴9+4k1k2=81，
∴k1k2=18．
故答案为：18．
设出点A、B的坐标，求出点C的坐标，利用面积的等量关系建立关于k1k2的方程即可求出它们的积．
本题考查反比例函数与一次函数图象交点坐标，把点的坐标代入是求函数关系式常用的方法，将坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
17.【答案】解：去分母得：x−6=2x−2，
移项得：x−2x=6−2，
合并化系数得：x=−4．
检验：将x=−4代入2(x−1)=−10≠0.符合题意．
∴x=−4．
【解析】根据解分式方程的步骤进行运算即可．
本题考查了解分式方程，分式方程的解需要检验．
18.【答案】解：(1−3x+1)÷x−2x2−1
=x+1−3x+1⋅(x+1)(x−1)x−2
=x−2x+1⋅(x+1)(x−1)x−2
=x−1，
当x=2023时，原式=2023−1=2022．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD//BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，
又∵DE//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE=DF．
【解析】先求出DE=BF，再证明四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)小安的期末总评成绩为：70+90+803=80(分)；
(2)设小溪在期末考试(期末成绩为整数)至少考x分才能达到优秀，则：
75×2+72×3+5x2+3+5≥80，
解得x≥86.8，
答：至少考86.8分才能达到优秀．
【解析】(1)直接利用算术平均数的计算公式计算即可；
(2)利用加权平均数的计算公式进行计算即可．
本题考查的是加权平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．解题时要认真审题，不要把数据代错．
21.【答案】解：(1)∵一次函数y=23x+2的图象经过点A(a,4)，
∴23a+2=4，
解得：a=3，
∴A(3,4)，
将A(3,4)代入y=kx(k>0)，
得：4=k3，
∴k=12
(2)如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
在y=23x+2中，
令y=0，
得23x+2=0，
解得：x=−3，
∴B(−3,0)，
∵E(3,0)，
∴BE=3−(−3)=6，
∵△ABD是以BD为底边的等腰三角形，
∴AB=AD，
∵AE⊥BD，
∴DE=BE=6，
∴D(9,0)，
设直线AD的函数表达式为y=mx+n，
∵A(3,4)，D(9,0)，
∴3m+n=49m+n=0，
解得m=−23n=6，
∴直线AD的函数表达式为y=−23x+6．
【解析】(1)根据一次函数y=23x+2 的图象经过点A(a,4)，求出点A的坐标，再代入y=kx(k>0)，即可求得答案；
(2)过点A作AE⊥x轴于点E，先求出点B的坐标，再根据△ABD是以BD为底边的等腰三角形，可求出点D的坐标，利用待定系数法即可求出直线AD的解析式．
本题考查反比例函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象与反比例函数图象的交点问题是解题的关键．
22.【答案】(1)解：如图所示；
(2)证明：∵DE//BC，DF//AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE//BC，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠ABD=∠EBD，
∴BE=DE，
∴四边形BFDE是菱形．
【解析】(1)作∠BDF=∠ABD，根据平行线的判定可求解；
(2)利用平行四边形的定义可证明四边形BFDE是平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠ABD=∠EDB，即可证得BE=ED，进而可证明结论．
本题主要考查尺规作图，平行线的判定，等腰三角形的性质，菱形的判定，掌握菱形的判定条件是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设官桥豆干的价格是x元/箱，则湖头米粉的价格是(x+30)元/箱，
根据题意得：400x+30=250x，
解得：x=50，
经检验，x=50是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30=50+30=80．
答：湖头米粉的价格是80元/箱，官桥豆干的价格是50元/箱；
(2)设购进湖头米粉m箱，则购进官桥豆干(60−m)箱，
根据题意得：m≥2(60−m)，
解得：m≥40．
设购买这两种特产总费用为w元，则w=80m+50(60−m)，
即w=30m+3000，
∵30>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=40时，w取得最小值，最小值=30×40+3000=4200．
答：购买这两种特产总费用的最小值为4200元．
【解析】(1)设官桥豆干的价格是x元/箱，则湖头米粉的价格是(x+30)元/箱，利用数量=总价÷单价，结合用400元购买湖头米粉的箱数和用250元购买官桥豆于的箱数相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出官桥豆干的价格，再将其代入(x+30)中，即可求出湖头米粉的价格；
(2)设购进湖头米粉m箱，则购进官桥豆干(60−m)箱，根据购进湖头米粉的箱数不少于官桥豆干的箱数的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可求出m的取值范围，设购买这两种特产总费用为w元，利用总价=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠EBC=∠FCD=90°，
∴∠DCH+∠BCE=90°，
∵点D关于直线CE的对称点是D′，
∴CE⊥DD′，
∴∠CHD=90°，
∴∠DCH+∠CDF=90°，
∴∠BCE=∠CDF，
在△BCE和△CDF中，
∠BCE=∠CDFBC=CD∠EBC=∠FCD，
∴△BCE≌△CDF(ASA)，
∴CE=DF；
(2)证明：连接CD′，
∵点D关于直线CE的对称点是D′，
∴CE⊥DD′，CD=CD′，
∴∠D′HG=90°，∠CDF=∠CD′D，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，
∴CB=CD′，
∴∠CBD′=∠CD′B，
∵∠CBD′是△CBG的一个外角，
∴∠CBD′=∠G+∠BCE，
∵∠CD′B=∠HD′G+∠CD′D，∠CDF=∠CD′D，
∴∠CD′B=∠HD′G+∠CDF，
由(1)知∠BCE=∠CDF，
∴∠G=∠HD′G，
又∠D′HG=90°，
∴∠G=45°．
【解析】(1)根据轴对称的性质得出CE⊥DD′，再根据同角的余角相等得出∠BCE=∠CDF，最后证得△BCE和△CDF全等，即可得出结论；
(2)根据轴对称的性质得出CE⊥DD′，CD=CD′，结合正方形的性质得出CB=CD′，于是有∠CBD′=∠CD′B，根据∠CBD′=∠G+∠BCE，∠CD′B=∠HD′G+∠CDF，即可得出∠G=45°．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵直线l1：y=x+b1与x轴、y轴交于点A、B，直线l2：y=−12x+b2与y轴交于点C，
∴A(−b1,0)，B(0,b1)，C(0,b2)，
∴OA=b1，OC=b2，BC=b2−b1，
∵3OA=2BC，
∴3b1=2(b2−b1)，
∴b2=52b1；
(2)①∵直线l2：y=−12x+b2分别与x轴交于点D，
∴D(2b2,0)，
∴OD=2b2，
∵l1，l2的交点G在第一象限，
∴−12x+b2=x+b1，
解得：xG=23(b2−b1)，
∵四边形BODG的面积为22，
∴S△CDO−S△BCG=22，
∴12OD⋅OC−12BC⋅xG=22，
即12×2b2×b2−12(b2−b1)×23(b2−b1)=22，
化简得：b22−13(b2−b1)2=22，
又∵b2=52b1，b2>b1>0，
∴b1=2，b2=5，
∴直线l1的解析式为y=x+2，直线l2的解析式为y=−12x+5，
∴B(0,2)，G(2,4)，
∵点E，F分别在x轴、直线l2上，
∴设E(e,0)，F(f,−12f+5)，
当EF、BG为对角线时，则EF、BG的中点重合，
∴e+f=0+20−12f+5=2+4，
解得：e=4f=−2，
∴F(−2,6)；
当EG、BF为对角线时，则EG、BF的中点重合，
∴e+2=0+f0+4=2−12f+5，
解得：e=4f=6，
∴F(6,2)；
当EB、FG为对角线时，则EB、FG的中点重合，
∴e+0=f+20+2=−12f+5+4，
解得：e=16f=14，
∴F(14,−2)；
综上所述，点F的坐标为(−2,6)或(6,2)或(14,−2)；
②设G′(a,ka)，N′(b,kb)，
则EG′=a，OE=ka，FN′=kb，OF=b，G′H=b−a，
过点G′作G′E⊥y轴于点E，过点N′作N′F⊥x轴于点F，EG′与FN′交于点H，如图，
则∠B′EG′=∠H=∠M′FN′=∠B′OM′=90°，
∴∠EB′G′+∠EG′B′=∠HG′N′+∠HN′G′=∠FM′N′+∠FN′M′=∠OB′M′+∠OM′B′=90°，
∵四边形B′M′N′G′是正方形，
∴B′M′=M′N′=N′G′=B′G′，∠G′B′M′=∠B′M′N′=∠M′N′G′=∠B′G′N′=90°，
∴∠EB′G′+∠OB′M′=∠EG′B′+∠HG′N′=∠HN′G′+∠FN′M′=∠FM′N′+∠OM′B′=90°，
∴∠EB′G′=∠OM′B′=∠FN′M′=∠HG′N′，
∴△EB′G′≌△OM′B′≌△FN′M′≌△HG′N′(AAS)，
∴B′E=OM=FN′=G′H，EG′=HN′=FM′=OB′，
∴b−a=kbka−a=kb，
解得：b=2a，
∴OM′=FM′=OB′=B′E=EG′=HG′=HN′=a，
∴△OB′M′为等腰直角三角形，
∴∠B′M′O=45°，G′(a,2a)，N′(2a,a)，B(0,a)，
∵B(0,2)，G(2,4)，M(2,0)，N(4,2)，
∴直线BM、GN的解析式分别为y=−x+2和y=−x+6，
当G′N′在BM边上时，如图，
把G′(a,2a)代入y=−x+2，得：2a=−a+2，
解得：a=23，
∴G′(23,43)，
∴k=23×43=89；
当B′M′与直线GN重合时，如图，
把B(0,a)代入y=−x+6，得：a=6，
∴G′(6,12)，
∴k=6×12=72；
∴当正方形B′M′N′G′与正方形BMNG有重叠部分时，89≤k≤72．
【解析】(1)先求得：A(−b1,0)，B(0,b1)，C(0,b2)，可得OA=b1，BC=b2−b1，由题意可得3b1=2(b2−b1)，即b2=52b1；
(2)①先求得D(2b2,0)，即OD=2b2，联立得−12x+b2=x+b1，可得xG=23(b2−b1)，由三角形面积公式可得12OD⋅OC−12BC⋅xG=22，即12×2b2×b2−12(b2−b1)×23(b2−b1)=22，再结合b2=52b1，b2>b1>0，可得b1=2，b2=5，进而可得直线l1的解析式为y=x+2，直线l2的解析式为y=−12x+5，设E(e,0)，F(f,−12f+5)，分三种情况：当EF、BG为对角线时，则EF、BG的中点重合，当EG、BF为对角线时，则EG、BF的中点重合，当EB、FG为对角线时，则EB、FG的中点重合，分别求得点F的坐标即可；
②设G′(a,ka)，N′(b,kb)，过点G′作G′E⊥y轴于点E，过点N′作N′F⊥x轴于点F，EG′与FN′交于点H，可证得△EB′G′≌△OM′B′≌△FN′M′≌△HG′N′(AAS)，得出B′E=OM=FN′=G′H，EG′=HN′=FM′=OB′，进而求得b=2a，利用待定系数法可得直线BM、GN的解析式分别为y=−x+2和y=−x+6，分两种情况：当G′N′在BM边上时，当B′M′与直线GN重合时，分别求得k的值，即可求得k的取值范围．
本题是反比例函数的综合题，考查K型全等的运用、等腰直角三角形的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义．并要求学生掌握反比例函数比例系数|k|的大小和函数图象之间的关系．
2022-2023学年福建省泉州市安溪县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 20230等于( )
A. 2023 B. 12023 C. 1 D. 0
2. PM2.5是指大气中直径小于等于2.5微米，即0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为( )
A. 2.5×10−7 B. 2.5×10−6 C. 25×10−7 D. 0.25×10−6
3. 在平面直角坐标系中，点(4,−3)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. (4,3) B. (4,−3) C. (−4,3) D. (−4,−3)
4. 将直线y=−2x+1向下平移3个单位长度得到直线l，则直线l的解析式为( )
A. y=−5x+1 B. y=−2x+4 C. y=−2x−2 D. y=2x−2
5. 在▱ABCD中，∠A：∠B=5：1，则∠D的度数为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
6. 下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是( )
A. AB=BC B. AC⊥BD C. AC=BD D. AB=AC
7. 一组数据的方差计算公式为s2=14[(8−x−)2+(8−x−)2+(9−x−)2+(11−x−)2]，下列关于这组数据的说法错误的是( )
A. 平均数是9 B. 中位数是8.5 C. 众数是8 D. 方差是1
8. 如图，正方形ABCD的面积为2，菱形AMCN的面积为1，则M，N两点间的距离为( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 3
9. 如图，在同一平面直角坐标系中，函数y=kx和y=−kx+2(k≠0)的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
10. 如图，甲、乙两人于某日下午从M地前往N地，图中的折线ABC和线段EF分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.以下结论：
①M，N两地相距50千米；
②甲出发1小时后，乙才开始出发；
③甲在BC段路程中的平均速度是20千米/小时；
④乙出发后经过0.5小时就追上甲．
其中正确的有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 若点P(1,b+2)在第四象限，则b的值可以是______ .(写出一个即可)
12. 当x=______时，分式x+1x−2的值为0．
13. 如图，直线y=kx+b经过A(3,1)，B(−1,−2)两点，则不等式组−2
14. 如图，点P是正方形ABCD内一点，以BC为边作等边三角形BPC，连接BD、PD，则∠PDB的大小为______．
15. 已知点P(a,3b2−3)，且实数a，b满足a−4b2+8=0，则点P到原点的最短距离为______ ．
16. 如图，直线y=k1x+3(k1>0)与双曲线y=k2x交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于点D，C.若S△OAB=3S△OCD，则中k1⋅k2的值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解方程：x2x−2−3x−1=1．
18. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−3x+1)÷x−2x2−1，其中x=2023．
19. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，AE=CF，求证：BE=DF．
20. (本小题8.0分)
清溪中学八年级数学科期末总评成绩是由“完成作业”“期中考试”“期末考试”三项成绩组成的，如果期末总评成绩80分以上，则评为“优秀”.下面表中是小安和小溪两位同学的成绩记录：(8分)
完成作业
期中考试
期末考试
小安
70
90
80
小溪
75
72
(1)若按三项成绩的平均分记为期末总评成绩，请计算小安的期末总评成绩；
(2)若完成作业、期中考试、期末考试三项成绩按2：3：5的权重来确定期末总评成绩，则小溪在期末考试(期末成绩为整数)至少考多少分才能达到优秀？
21. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=23x+2与双曲线y=kx(k>0)交于点A(a,4)，与x轴交于点B．
(1)求k的值；
(2)过点A的直线交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底边的等腰三角形时，求直线AD所对应一次函数的解析式．
22. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，点D在AC上，过点D作DE//BC交AB于点E．
(1)求作过点D且平行于AB的直线，交BC于点F(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，若BD平分∠ABC，求证：四边形BFDE为菱形．
23. (本小题10.0分)
湖头米粉和官桥豆干是安溪的两大特产.已知一箱湖头米粉比一箱官桥豆干的价格高30元，且用400元购买湖头米粉的箱数和用250元购买官桥豆于的箱数相等．
(1)求湖头米粉、官桥豆干每箱各多少元？
(2)若要购进湖头米粉和官桥豆干共60箱，且湖头米粉的箱数不少于官桥豆干的箱数的2倍.试求购买这两种特产总费用的最小值．
24. (本小题12.0分)
如图，点E在正方形ABCD的边AB上(不与点A，B重合)，作点D关于直线CE的对称点D′.DD′与BC相交于点F，连接D′B并延长，交CE的延长线于点G．
(1)求证：CE=DF；
(2)求证：∠G=45°．
25. (本小题14.0分)
如图1，直线l1：y=x+b1分别与x轴、y轴交于点A，B，直线l2：y=−12x+b2分别与y轴、x轴交于点C，D，l1，l2的交点G在第一象限，且b2>b1>0，3OA=2BC．
(1)求b1，b2满足的关系式；
(2)若四边形BODG的面积为22．
①点E，F分别在x轴、直线l2上，当以B，G，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求点F的坐标；
②如图2，正方形BMNG中，顶点M在x轴的正半轴上，同时正方形B′M′N′G′的两个顶点N′，G′在反比例函数y=kx的图象上，另两个顶点B′，M′分别在y轴、x轴的正半轴上.当k的值改变时，正方形B′M′N′G′的大小也随之改变，若变化的正方形B′M′N′G′与正方形BMNG有重叠部分时，直接写出k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：20230=1．
故选：C．
零指数幂：a0=1(a≠0)，由此即可得到答案．
本题考查零指数幂，关键是掌握零指数幂：a0=1(a≠0)．
2.【答案】B
【解析】解：0.0000025=2.5×10−6，
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，掌握表示方法是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：点(4,−3)关于x轴的对称点的坐标是(4,3)．
故选：A．
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；即点(x,y)关于x轴的对称点的坐标是(x,−y)即可得到点(4,3)关于x轴对称的点的坐标．
本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，掌握关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是关键．
4.【答案】C
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y=−2x+1向下平移3个单位长度得到直线l，则直线l的解析式为：y=−2x+1−3，即y=−2x−2．
故选：C．
直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：=5：1，∠A+∠B=180°，∠B=∠D，
设∠A=5x，则∠B=x，
∴5x+x=180°，
∴x=30°，
∴∠D=∠B=30°，
故选：A．
设∠A=5x，则∠B=x，根据“平行四边形的对角相等，邻角互补”列出方程进而解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，难度不大，注意熟练掌握平行四边形的性质是关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵▱ABCD中，AB=BC，
∴▱ABCD是菱形，
故选项A不符合题意；
∵▱ABCD中，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，
故选项B不符合题意；
∵▱ABCD中，AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，
故选项C符合题意；
▱ABCD中，AB=AC，不能判定▱ABCD是矩形，
故选项D不符合题意；
故选：C．
由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由方差的计算公式知，这组数据为8、8、9、11，
所以这组数据的平均数为8+8+9+114=9，中位数为8+92=8.5，众数为8，
方差s2=14[(8−9)2+(8−9)2+(9−9)2+(11−9)2]=32，
故选：D．
由方差的计算公式知，这组数据为8、8、9、11，再根据方差、众数、中位数及平均数的定义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数及平均数的定义．
8.【答案】A
【解析】解：连接AC交MN于O，如图：
∵正方形ABCD的面积为2，
∴12AC2=2，
∴AC=2，
∵菱形AMCN的面积为1，
∴12AC⋅MN=1，
∴12×2⋅MN=1，
∴MN=1；
故选：A．
连接AC交MN于O，由正方形ABCD的面积为2，求得AC=2，又菱形AMCN的面积为1，故12×2⋅MN=1，从而可得MN=1．
本题考查正方形性质和菱形的性质，解题的关键是掌握正方形面积，菱形的面积公式．
9.【答案】D
【解析】解：当k>0时，y=−kx+2k过一、二、四象限；
y=kx图象在一、三象限；
当k<0时，y=−kx+2k过一、二、二象限；
y=kx图象在二、四象限，
故选：D．
令k>0和k<0，分别找出函数图象所过象限，能共存者即为正确答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的图象，熟悉函数的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由图象可知，MN两地路程为50km，
∴①正确；
∵甲在1时出发，乙在2时出发，2−1=1小时，
∴②正确；
∵甲在BC段2小时行驶的路程为40−20=20km，
∴甲在BC段路程中的平均速度为20÷2=10千米/时，
∴③错误；
设乙出发t小时追上了甲，根据题意得，
20+10t=50t，
解得t=0.5，
∴④正确．
故选B．
由图象可知，MN两地路程为50km，故①正确；甲在1时出发，乙在2时出发，故②正确；根据甲在BC段2小时行驶的路程为40−20=20km，可得甲在BC段路程中的平均速度为10千米/时，故③错误；设乙出发t小时追上了甲，根据题意得20+10t=50t，解得t=0.5，故④正确．即可得解．
本题考查了函数图象，一元一次方程的应用，从图象中获取正确的信息是解题的关键．
11.【答案】−3
【解析】解：∵第四象限内点的坐标特征为横坐标是正，纵坐标是负，
∴b+2<0，
解得b<−2，
∴b的值可以是−3，答案不唯一，
故答案为−3．
根据第四象限内点的坐标特征为横坐标是正，纵坐标是负，判断点P的纵坐标b+2<0，解得b<−2，写出一个符合条件的解即可．
本题考查的是坐标系中点的坐标特征，熟练掌握坐标系中每个象限的坐标特征是解题关键．
12.【答案】−1
【解析】解：由分式的值为零的条件得x+1=0，且x−2≠0，
解得：x=−1，
故答案为：−1．
根据分式值为零的条件得x+1=0且x−2≠0，再解方程即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
13.【答案】−1
∴关于x的不等式−2
14.【答案】30°
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD，
∵△BPC是等边三角形，
∴∠PBC=∠BCP=∠BPC=60°，BP=PC=BC，
∵BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠DBC=45°，
∴∠PBD=∠PBC−∠DBC=60°−45°=15°，
∵∠BCD=90°，∠BCP=60°，
∴∠PCD=90°−60°=30°，
∵PD=DC，
∴∠DPC=180°−30°2=75°，
∴∠PDB=180°−∠PBD−∠BPC−∠CPD=180°−15°−60°−75°=30°，
故答案为：30°．
根据正方形的性质和等边三角形的性质得出∠DPC=75°，进而解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形的内角和定理解答．
15.【答案】125
【解析】解：设原点为O，
∵a−4b2+8=0，
∴a=4b2−8，
∵P(a,3b2−3)，
∴OP2=a2+(3b2−3)2，
即OP2=(4b2−8)2+(3b2−3)2
=25b4−82b2+73
=25(b2−1125)2+14425，
∴当b2=1125时，OP2有最小值为14425，
∴OP的最小值为125，
即点P到原点的最短距离为125，
故答案为：125．
设原点为O，用含b的代数式表示a，根据两点间的距离公式得出OP2=(4b2−8)2+(3b2−3)2化成完全平方的形式即可求解．
本题考查了勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
16.【答案】18
【解析】解：∵直线y=k1x+3(k1>0)与y轴交于点C，
∴C(0,3)，
∵直线y=k1x+3(k1>0)与x轴交于点D，
∴D(−3k1,0)，
∴S△OCD=12×OD×OC=12×3k1×3=92k1，
设A(m1,n1)，B(m2,n2)，
令k1x+3=k2x，整理得：k1x2+3x−k2=0，
由根与系数的关系得：m1+m2=−3k1，m1m2=−k2k1，
S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×OC(m1−m2)=32(m1−m2)，
∵m1−m2= (m1+m2)2−4m1m2= 9k12+4×k2k1，
∴S△AOB=32 9k12+4×k2k1，
又∵S△OAB=3S△OCD，
∴32 9k12+4×k2k1=3×92k1，
整理得：
9k12+4k2k1=81k12，
∴9+4k1k2=81，
∴k1k2=18．
故答案为：18．
设出点A、B的坐标，求出点C的坐标，利用面积的等量关系建立关于k1k2的方程即可求出它们的积．
本题考查反比例函数与一次函数图象交点坐标，把点的坐标代入是求函数关系式常用的方法，将坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
17.【答案】解：去分母得：x−6=2x−2，
移项得：x−2x=6−2，
合并化系数得：x=−4．
检验：将x=−4代入2(x−1)=−10≠0.符合题意．
∴x=−4．
【解析】根据解分式方程的步骤进行运算即可．
本题考查了解分式方程，分式方程的解需要检验．
18.【答案】解：(1−3x+1)÷x−2x2−1
=x+1−3x+1⋅(x+1)(x−1)x−2
=x−2x+1⋅(x+1)(x−1)x−2
=x−1，
当x=2023时，原式=2023−1=2022．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD//BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，
又∵DE//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE=DF．
【解析】先求出DE=BF，再证明四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)小安的期末总评成绩为：70+90+803=80(分)；
(2)设小溪在期末考试(期末成绩为整数)至少考x分才能达到优秀，则：
75×2+72×3+5x2+3+5≥80，
解得x≥86.8，
答：至少考86.8分才能达到优秀．
【解析】(1)直接利用算术平均数的计算公式计算即可；
(2)利用加权平均数的计算公式进行计算即可．
本题考查的是加权平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．解题时要认真审题，不要把数据代错．
21.【答案】解：(1)∵一次函数y=23x+2的图象经过点A(a,4)，
∴23a+2=4，
解得：a=3，
∴A(3,4)，
将A(3,4)代入y=kx(k>0)，
得：4=k3，
∴k=12
(2)如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
在y=23x+2中，
令y=0，
得23x+2=0，
解得：x=−3，
∴B(−3,0)，
∵E(3,0)，
∴BE=3−(−3)=6，
∵△ABD是以BD为底边的等腰三角形，
∴AB=AD，
∵AE⊥BD，
∴DE=BE=6，
∴D(9,0)，
设直线AD的函数表达式为y=mx+n，
∵A(3,4)，D(9,0)，
∴3m+n=49m+n=0，
解得m=−23n=6，
∴直线AD的函数表达式为y=−23x+6．
【解析】(1)根据一次函数y=23x+2 的图象经过点A(a,4)，求出点A的坐标，再代入y=kx(k>0)，即可求得答案；
(2)过点A作AE⊥x轴于点E，先求出点B的坐标，再根据△ABD是以BD为底边的等腰三角形，可求出点D的坐标，利用待定系数法即可求出直线AD的解析式．
本题考查反比例函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象与反比例函数图象的交点问题是解题的关键．
22.【答案】(1)解：如图所示；
(2)证明：∵DE//BC，DF//AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE//BC，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠ABD=∠EBD，
∴BE=DE，
∴四边形BFDE是菱形．
【解析】(1)作∠BDF=∠ABD，根据平行线的判定可求解；
(2)利用平行四边形的定义可证明四边形BFDE是平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠ABD=∠EDB，即可证得BE=ED，进而可证明结论．
本题主要考查尺规作图，平行线的判定，等腰三角形的性质，菱形的判定，掌握菱形的判定条件是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设官桥豆干的价格是x元/箱，则湖头米粉的价格是(x+30)元/箱，
根据题意得：400x+30=250x，
解得：x=50，
经检验，x=50是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30=50+30=80．
答：湖头米粉的价格是80元/箱，官桥豆干的价格是50元/箱；
(2)设购进湖头米粉m箱，则购进官桥豆干(60−m)箱，
根据题意得：m≥2(60−m)，
解得：m≥40．
设购买这两种特产总费用为w元，则w=80m+50(60−m)，
即w=30m+3000，
∵30>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=40时，w取得最小值，最小值=30×40+3000=4200．
答：购买这两种特产总费用的最小值为4200元．
【解析】(1)设官桥豆干的价格是x元/箱，则湖头米粉的价格是(x+30)元/箱，利用数量=总价÷单价，结合用400元购买湖头米粉的箱数和用250元购买官桥豆于的箱数相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出官桥豆干的价格，再将其代入(x+30)中，即可求出湖头米粉的价格；
(2)设购进湖头米粉m箱，则购进官桥豆干(60−m)箱，根据购进湖头米粉的箱数不少于官桥豆干的箱数的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可求出m的取值范围，设购买这两种特产总费用为w元，利用总价=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠EBC=∠FCD=90°，
∴∠DCH+∠BCE=90°，
∵点D关于直线CE的对称点是D′，
∴CE⊥DD′，
∴∠CHD=90°，
∴∠DCH+∠CDF=90°，
∴∠BCE=∠CDF，
在△BCE和△CDF中，
∠BCE=∠CDFBC=CD∠EBC=∠FCD，
∴△BCE≌△CDF(ASA)，
∴CE=DF；
(2)证明：连接CD′，
∵点D关于直线CE的对称点是D′，
∴CE⊥DD′，CD=CD′，
∴∠D′HG=90°，∠CDF=∠CD′D，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，
∴CB=CD′，
∴∠CBD′=∠CD′B，
∵∠CBD′是△CBG的一个外角，
∴∠CBD′=∠G+∠BCE，
∵∠CD′B=∠HD′G+∠CD′D，∠CDF=∠CD′D，
∴∠CD′B=∠HD′G+∠CDF，
由(1)知∠BCE=∠CDF，
∴∠G=∠HD′G，
又∠D′HG=90°，
∴∠G=45°．
【解析】(1)根据轴对称的性质得出CE⊥DD′，再根据同角的余角相等得出∠BCE=∠CDF，最后证得△BCE和△CDF全等，即可得出结论；
(2)根据轴对称的性质得出CE⊥DD′，CD=CD′，结合正方形的性质得出CB=CD′，于是有∠CBD′=∠CD′B，根据∠CBD′=∠G+∠BCE，∠CD′B=∠HD′G+∠CDF，即可得出∠G=45°．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵直线l1：y=x+b1与x轴、y轴交于点A、B，直线l2：y=−12x+b2与y轴交于点C，
∴A(−b1,0)，B(0,b1)，C(0,b2)，
∴OA=b1，OC=b2，BC=b2−b1，
∵3OA=2BC，
∴3b1=2(b2−b1)，
∴b2=52b1；
(2)①∵直线l2：y=−12x+b2分别与x轴交于点D，
∴D(2b2,0)，
∴OD=2b2，
∵l1，l2的交点G在第一象限，
∴−12x+b2=x+b1，
解得：xG=23(b2−b1)，
∵四边形BODG的面积为22，
∴S△CDO−S△BCG=22，
∴12OD⋅OC−12BC⋅xG=22，
即12×2b2×b2−12(b2−b1)×23(b2−b1)=22，
化简得：b22−13(b2−b1)2=22，
又∵b2=52b1，b2>b1>0，
∴b1=2，b2=5，
∴直线l1的解析式为y=x+2，直线l2的解析式为y=−12x+5，
∴B(0,2)，G(2,4)，
∵点E，F分别在x轴、直线l2上，
∴设E(e,0)，F(f,−12f+5)，
当EF、BG为对角线时，则EF、BG的中点重合，
∴e+f=0+20−12f+5=2+4，
解得：e=4f=−2，
∴F(−2,6)；
当EG、BF为对角线时，则EG、BF的中点重合，
∴e+2=0+f0+4=2−12f+5，
解得：e=4f=6，
∴F(6,2)；
当EB、FG为对角线时，则EB、FG的中点重合，
∴e+0=f+20+2=−12f+5+4，
解得：e=16f=14，
∴F(14,−2)；
综上所述，点F的坐标为(−2,6)或(6,2)或(14,−2)；
②设G′(a,ka)，N′(b,kb)，
则EG′=a，OE=ka，FN′=kb，OF=b，G′H=b−a，
过点G′作G′E⊥y轴于点E，过点N′作N′F⊥x轴于点F，EG′与FN′交于点H，如图，
则∠B′EG′=∠H=∠M′FN′=∠B′OM′=90°，
∴∠EB′G′+∠EG′B′=∠HG′N′+∠HN′G′=∠FM′N′+∠FN′M′=∠OB′M′+∠OM′B′=90°，
∵四边形B′M′N′G′是正方形，
∴B′M′=M′N′=N′G′=B′G′，∠G′B′M′=∠B′M′N′=∠M′N′G′=∠B′G′N′=90°，
∴∠EB′G′+∠OB′M′=∠EG′B′+∠HG′N′=∠HN′G′+∠FN′M′=∠FM′N′+∠OM′B′=90°，
∴∠EB′G′=∠OM′B′=∠FN′M′=∠HG′N′，
∴△EB′G′≌△OM′B′≌△FN′M′≌△HG′N′(AAS)，
∴B′E=OM=FN′=G′H，EG′=HN′=FM′=OB′，
∴b−a=kbka−a=kb，
解得：b=2a，
∴OM′=FM′=OB′=B′E=EG′=HG′=HN′=a，
∴△OB′M′为等腰直角三角形，
∴∠B′M′O=45°，G′(a,2a)，N′(2a,a)，B(0,a)，
∵B(0,2)，G(2,4)，M(2,0)，N(4,2)，
∴直线BM、GN的解析式分别为y=−x+2和y=−x+6，
当G′N′在BM边上时，如图，
把G′(a,2a)代入y=−x+2，得：2a=−a+2，
解得：a=23，
∴G′(23,43)，
∴k=23×43=89；
当B′M′与直线GN重合时，如图，
把B(0,a)代入y=−x+6，得：a=6，
∴G′(6,12)，
∴k=6×12=72；
∴当正方形B′M′N′G′与正方形BMNG有重叠部分时，89≤k≤72．
【解析】(1)先求得：A(−b1,0)，B(0,b1)，C(0,b2)，可得OA=b1，BC=b2−b1，由题意可得3b1=2(b2−b1)，即b2=52b1；
(2)①先求得D(2b2,0)，即OD=2b2，联立得−12x+b2=x+b1，可得xG=23(b2−b1)，由三角形面积公式可得12OD⋅OC−12BC⋅xG=22，即12×2b2×b2−12(b2−b1)×23(b2−b1)=22，再结合b2=52b1，b2>b1>0，可得b1=2，b2=5，进而可得直线l1的解析式为y=x+2，直线l2的解析式为y=−12x+5，设E(e,0)，F(f,−12f+5)，分三种情况：当EF、BG为对角线时，则EF、BG的中点重合，当EG、BF为对角线时，则EG、BF的中点重合，当EB、FG为对角线时，则EB、FG的中点重合，分别求得点F的坐标即可；
②设G′(a,ka)，N′(b,kb)，过点G′作G′E⊥y轴于点E，过点N′作N′F⊥x轴于点F，EG′与FN′交于点H，可证得△EB′G′≌△OM′B′≌△FN′M′≌△HG′N′(AAS)，得出B′E=OM=FN′=G′H，EG′=HN′=FM′=OB′，进而求得b=2a，利用待定系数法可得直线BM、GN的解析式分别为y=−x+2和y=−x+6，分两种情况：当G′N′在BM边上时，当B′M′与直线GN重合时，分别求得k的值，即可求得k的取值范围．
本题是反比例函数的综合题，考查K型全等的运用、等腰直角三角形的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义．并要求学生掌握反比例函数比例系数|k|的大小和函数图象之间的关系．
相关试卷
2023-2024学年福建省泉州市安溪县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)： 这是一份2023-2024学年福建省泉州市安溪县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年福建省泉州市安溪县八年级（上）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年福建省泉州市安溪县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省泉州市安溪县七年级（下）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年福建省泉州市安溪县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
