2021-2022学年福建省三明市将乐县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省三明市将乐县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 已知，下列不等式中正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 不等式组的解集在数轴上表示为

A.  B.
C.  D.

4. 将点沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后得到的点的坐标为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，，，线段的垂直平分线交于，交于，为垂足，，则

A.  B.  C.  D. 不能确定

6. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到若点恰好落在边上，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于”时，首先应假设：这个三角形中

A. 有一个内角小于 B. 有一个内角大于
C. 每一个内角都小于 D. 每一个内角都大于

8. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为

A.
B.
C.
D.

9. 已知不等式组的解集是，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 已知等边的边长为，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接，则的最小值是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 不等式的解集是______．
12. 等腰三角形的一个内角为，这个等腰三角形底角的度数为______．
13. 命题“如，则”的逆命题是______ 命题填“真”或“假”．
14. 如图，等边中，为的中点，过点作于点，过点作于点，若，则线段的长为______．
    
     

15. 一次生活常识竞赛一共有道题，答对一题得分，不答得分，答错一题扣分，小明有题没答，竞赛成绩要超过分，则小明至多答错______道题．
16. 如图，在中，，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，下列结论中：
    ；≌；平分；；
    其中正确的有______填序号

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 解不等式，并把解集表示在数轴上：．
18. 解不等式组，并写出满足条件的所有整数的值．
19. 如图，在中，是边的中点，，，垂足分别为，，且求证：．
    
    
     

20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．
    请画出关于原点对称的；
    请画出绕点逆时针旋转后的，并写出的坐标．

21. 如图，在直角三角形中，，，，沿方向平移至，若．
    求沿方向平移的距离；
    求四边形的周长．

22. 如图，在中，．
    用尺规作图，在边上找一点，使保留作图痕迹，不要求写作法和证明；
    在的条件下若，，求的长．
    
     

23. 求证：全等三角形对应边上的中线相等．
    要求：根据给出的用尺规作出，使得≌，
    不写作法，保留作图痕迹；
    在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
24. 某商店准备销售甲、乙两种商品共件，已知甲种商品进货价为每件元，乙种商品进货价为每件元，在定价销售时，件甲种商品与件乙种商品的售价相同，件甲种商品比件乙商品的售价多元．
    每件甲商品与每件乙商品的售价分别是多少元？
    若甲、乙两种商品的进货总投入不超过元，则至多进货甲商品多少件？
    若这批商品全部售完，该商店至少盈利多少元？
25. 如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图，连接，，．
    当时，求证：；
    如图，当时，延长交于点，求证：垂直平分；
    在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、两边都除以，不等号的方向不变，故A错误；
B、两边都减，不等号的方向不变，故B正确；
C、两边都乘，不等号的方向改变，故C错误；
D、两边都加，不等号的方向不变，故D错误；
故选：．
根据不等式的性质，可得答案．
本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】

【解析】解：根据大小小大中间找得出解集为，
故选：．
根据不等式解集的四种情况，求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了平移中的坐标变化，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
【解答】
解： 点 沿 轴向左平移 个单位长度，再沿 轴向上平移 个单位长度后得到点 ，
点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
的坐标为 ．   

5.【答案】

【解析】解：是线段的垂直平分线，
，
，
，
，
故选：．
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质解答．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：将绕点按逆时针方向旋转得到，
，
，
，
，
，
由旋转性质知，
故选：．
根据旋转的性质得到，，由三角形内角和定理求得，然后根据旋转性质得到结论．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于”时，首先应假设：这个三角形中每一个内角都小于，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

8.【答案】

【解析】解：观察函数图象可知：当时，一次函数的图象在的图象的下方，
关于的不等式的解集是．
故选：．
观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出关于的不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：由，得：，
又且不等式组的解集为，
，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：绕点逆时针旋转得到，
，
是边长为的等边三角形，
，
，
点是边的中点，
，
当时，的长最小，此时，，
，
，
的最小值时，
故选：．
根据题意可知当时，的长最小，此时，，再利用勾股定理求解即可．
本题主要考查旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的两图形全等．熟练掌握旋转的性质及等边三角形的性质是解答此题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去 再除以 ，不等号的方向不变．得到不等式的解集为： ．
【解答】
解：解不等式 ，得 ，解得 ．   

12.【答案】

【解析】解：为三角形的顶角，
底角为：．
故答案为：．
因为三角形的内角和为，所以只能为顶角，从而可求出底角．
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解．
 

13.【答案】假

【解析】解：如，则”的逆命题是：如，则，
假设，，此时，但，即此命题为假命题．
故答案为：假．
先写出命题的逆命题，然后在判断逆命题的真假．
此题考查了命题与定力的知识，写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换．在写逆命题时要用词准确，语句通顺．
 

14.【答案】

【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
根据等边三角形的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据题意求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查一元一次不等式的应用，列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
设小明答错 题，则答对 题，根据“竞赛成绩要超过 分”列不等式求解可得．
【解答】
解：设小明答错 题，则答对 题，
根据题意，得： ，
解得： ，
小明至多答错 题，
故答案为： ．   

16.【答案】

【解析】解：在中，，
，
由旋转，可知：，
，，
，
，故正确；
由旋转，可知：≌，不能推出≌，故错误；
，
平分，故正确；
由旋转可知：，，
，
，
由勾股定理得：，
即，
在和中，
，
≌，
，
，故正确．
故答案为：．
根据旋转的性质可得出，由、可得出，即可判断；
根据旋转的性质可得出≌，不能推出≌，即可判断；
根据，根据角平分线定义即可判断；
根据全等三角形的判定求出≌，推出，求出，根据勾股定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定、角平分线的判定、勾股定理、等腰直角三角形以及旋转的性质，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：
系数化为得：，
在数轴上表示为：
．

【解析】先根据不等式的解法求解不等式，然后在数轴上表示出解集．
本题考查了解一元一次不等式，解答本题的关键是掌握不等式的解法以及在数轴上表示不等式的解集．
 

18.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以原不等式组的解集是，
则满足条件的整数的值是，，，，．

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数的值即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

19.【答案】证明：，，
．
在和中，
，
≌，
，
．

【解析】根据证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明和全等解答．
 

20.【答案】解：如图，；即为所求；
如图，即为所求，的坐标．
 

【解析】利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：沿方向向右平移得到，
，，
，，
，即沿方向平移的距离是；

四边形的周长．

【解析】根据平移的性质可得，，然后根据、的长度求解即可；
根据平移的性质可得，，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
 

22.【答案】解：如图，点为所作；

，，
，
设，则，
在中，
，
，解得，
即的长为．

【解析】作的垂直平分线交于点，则点满足条件；
先利用勾股定理计算出，再设，则，再利用勾股定理列方程得，然后解方程即可．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段的垂直平分线的性质和勾股定理．
 

23.【答案】解：如图，即为所求．


已知：如图，≌，是的中点，是的中点，
求证：．
证明：≌
，，
是的中点，是的中点，
，，

≌，
．

【解析】利用构造全等三角形即可；
写出已知，求证，再根据全等三角判定和性质证明即可．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：设每件甲商品与每件乙商品的售价分别是、元．
依题意得：，
解得；

设进货甲商品件，则乙商品件．
依题意得：
解得；

设进货乙商品件，利润为元．
由得，则


随的增大而增大
当时，取得最小值，即元

【解析】可设甲种商品的销售利润为元，乙种商品的销售利润为元，根据等量关系：件甲种商品与件乙种商品的销售利润相同，件甲种商品比件乙种商品的销售利润多元，列出方程组求解即可；
设进货甲商品件，则乙商品件．根据“甲、乙两种商品的进货总投入不超过元”列出不等式并解答；
设进货乙商品件，利润为元．由题意列出一次函数关系式，结合一次函数图象的性质求得最值．
本题考查一次函数的应用，一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
 

25.【答案】证明：如图中，根据题意：，，，
，
，
在和中，，
≌，
；
证明：如图中，根据题意：，，，
在和中，，
≌，
，
，且，
，
，
，
，，，
，，
，
，
是线段的垂直平分线；
解：中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值，
当点在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图中：

，，，于，
，，
，，
的面积的最大值为：，
旋转角．

【解析】利用“”证得≌即可得到结论；
利用“”证得≌，推出，计算得出，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
观察图形，当点在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．