备战重庆中考数学仿真卷（三）

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备战重庆中考数学仿真卷（三）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）的相反数是　　
A．3 B． C． D．
【答案】
【详解】的相反数是3．
故选：．
2．（4分）下列几何体中，俯视图是三角形的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【详解】．该圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项不符合题意；
．该圆柱的俯视图是圆，故本选项不符合题意；
．该正方体的俯视图是正方形，故本选项不符合题意；
．该三棱柱的俯视图是三角形，故本选项符合题意．
故选：．
3．（4分）　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】，
故选：．
4．（4分）如图，与位似，点为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是　　

A．4 B．6 C．9 D．16
【答案】
【详解】与位似，点为位似中心，位似比为，
与相似，相似比为，
与的面积比为．
的面积为4，
的面积是9．
故选：．
5．（4分）估计的值应在　　
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】
【详解】

，
，
，
，
估计的值应在6和7之间，
故选：．
6．（4分）下列命题为假命题的是　　
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】
【详解】对角线相等的平行四边形是矩形，故是真命题，不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故是真命题，不符合题意；
有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故是假命题，符合题意；
有一组邻边相等的矩形是正方形，故是真命题，不符合题意；
故选：．
7．（4分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆2850人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【详解】设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得：
．
故选：．
8．（4分）如图，在矩形中，，以为边在矩形内作等边，延长交于点，连接，则的度数为　　

A． B． C． D．
【答案】
【详解】过作于，
是等边三角形，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．

9．（4分）如图，交于点，切于点，点在上，若，的半径为，则线段的长为　　

A． B． C． D．
【答案】
【详解】，
，
切于点，
，
，
的半径为，
，
，
，
故选：．
10．（4分）对于实数，，定义新运算，若函数，则下列结论正确的有　　
①方程的解为或；
②关于的方程有三个解，则；
③当时，随增大而增大；
④当时，函数有最大值0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【详解】①当时，即，



，
则，
解得：或；
当时，即，



，
则，
解得：（不符合题意或（不符合题意），
综上所述，方程的解为或；
故①说法正确；
②由①可得：当时，即，，
则要使方程有两个解，得：△，
解得：；
当时，即，，
则，得，或（不符合题意），
故，得，故；
综上，关于的方程有三个解，则．
②的结论不正确；
当时，，
，
抛物线的开口方向向上，，随增大而增大，
时，随增大而增大，
③的结论正确；
当时，函数．
，
抛物线的开口方向向下，当时，函数函数有最小值．
④的结论不正确．
综上，正确的结论有：①③．
故选：．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算：　　．
【答案】1
【详解】原式
．
故答案为：1．
12．（4分）港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长约55000米，请把55000用科学记数法表示 　　．
【答案】
【详解】，
故答案为：．
13．（4分）若反比例函数的图象经过点，则的值是 　　．
【答案】6
【详解】把代入函数中，得，解得．
故答案为：6．
14．（4分）现有4张正面分别标有数字、、0、1的不透明卡片，它们除了数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，将该卡片上的数字记为，放回后再洗匀并随机抽取一张，将该卡片上的数字记为，则满足关于的一元一次方程的解是正数的概率为 　　．
【答案】
【详解】，解得，
若关于的一元一次方程的解是正数，即，
画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中满足的结果有：，，，，共4种，
满足关于的一元一次方程的解是正数的概率为．
故答案为：．
15．（4分）已知关于的一元二次方程有一个根为，则　　．
【答案】
【详解】把代入得，解得，
，
．
故答案为．
16．（4分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴负半轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于，两点．请直接写出不等式的解集 　　．

【答案】或
【详解】一次函数经过，，
，
解得，
，
反比例函数交于，
，
由，解得或，
，
根据函数图象可知：不等式的解集为或．
故答案为：或．

17．（4分）如图，矩形的两条对角线相交于点，．以点为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点，并与交于点，则图中阴影部分的面积为 　　．

【答案】
【详解】四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，，
．
故答案为：．
18．（4分）若一个四位数的千位数字与百位数字和的两倍等于其十位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“伙伴数”．将“伙伴数” 的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数，并记．若四位数，，，，为整数）为“伙伴数”，且能被8整除，令，则在所有满足条件的“伙伴数” 中，的值最小的“伙伴数”为 　　．
【答案】2448
【详解】由题意得：，
，，
，
由题意得：是8的倍数，
，
，

，或．或，（不符题意，舍去）或．（不符题意，舍去），
这个是可能是2355，3357，1446，2448，
，
当伙伴数为2448时，为最小，
故答案为2448．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【答案】见解析
【详解】（1）原式
．
（2）原式
.
．
20．（10分）如图，在中，点为边上的中点，连接．
（1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接，若，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：点为边上的中点，
，在和中，

　　，
　　，
，
　　．
四边形是平行四边形．
又　　，
平行四边形是菱形．

【答案】见解析
【详解】（1）解：如图，射线即为所求；

（2）证明：点为边上的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
．
四边形是平行四边形．
又，
平行四边形是菱形．
故答案为：，，，．
21．（10分）2022年12月4日是我国第九个国家宪法日．某校组织全校学生参加了“沐浴宪法阳光，感受宪法力量”的网上知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩，并进行整理、描述和分析（将学生的竞赛成绩用表示，共分成，，，四个等级：．；．；．；．，下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩：75，83，79，89，79，83，95，70，64，83．
八年级等级的学生竞赛成绩：84，85，85，85，86．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80
81

71.6
八年级
80

85
59.8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：　83　，　　，　　；
（2）若学生的竞赛成绩不少于80分为“优秀”，请估计该校七年级780名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数；
（3）根据以上数据，你认为在此次竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．

【答案】（1）83，84.5，10；（2）估计该校七年级780名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数是（人）；（3）两个年级的平均数相同，而八年级的成绩的中位数和众数均都大于七年级
【详解】（1）在75，83，79，89，79，83，95，70，64，83中，出现次数最多的是83，
众数；
由扇形统计图可得，八年级等级的有（人，，等级的人数相同，都是1人，
，等级一共4人，等级5人，等级1人，
中位数；
，
，
故答案为：83，84.5，10；
（2）七年级抽取的10人中，成绩不少于80分有5人，
估计该校七年级780名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数是（人；
（3）我认为八年级成绩更好，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，而八年级的成绩的中位数和众数均都大于七年级．
22．（10分）为丰富教职工业余生活，提高身体素质，某校准备改建室内运动场，根据甲、乙两个施工单位的招标预算，甲施工单位独立施工一天，需付工程款1.5万元，且刚好如期完成改建工程，乙施工单位独立施工一天，需付工程款0.8万元，但完成这项改建工程要比规定日期多用6天；若甲、乙两施工单位合作3天，余下的工程由乙施工单位单独做，也正好如期完成．
（1）求乙施工单位单独完成此项改建工程需要多少天；
（2）若不考虑工期，由乙施工单位先施工若干天，再由甲施工单位施工完成，要使两个施工单位施工总费用为9.4万元，则乙工程队应施工多少天？
【答案】（1）乙施工单位单独完成此项改建工程需要12天；（2）乙工程队应施工8天
【详解】（1）设乙施工单位单独完成此项改建工程需要天，则甲施工单位需天，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙施工单位单独完成此项改建工程需要12天．
（2）设乙施工单位施工天，则完成了整项工程的，
甲施工单位施工（天，
由题意得：，
解得：，
答：乙工程队应施工8天．
23．（10分）某种落地灯如图1所示，图2是其侧面示意图（假设台灯底座为线段，其高度忽略不计，灯罩和灯泡假设为点，为立杆，其高为；为支杆，它可以绕点旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度，它也可以绕点旋转．

（1）如图2所示，若将支杆绕点顺时针转动使得，求点与点的水平距离；
（2）使用过程中发现：当灯泡与地面的距离不低于且不高于时，台灯光线最佳．如图3所示，现测得为，支杆与悬杆之间的夹角，支杆与立杆之间所成的，请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：，
【答案】（1）点与点的水平距离为；（2）见解析
【详解】（1）过点作，过点作于点，如图所示：

由题意得：，
，

，
，
，
点与点的水平距离为；
（2）解：分别过点作于点，交于点，于点，于点，交于点，如图所示：

由题意得：，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
即灯泡与地面的距离为，
．
台灯光线是为最佳．
24．（10分）如图1，在中，，点、分别是线段、边上的中点，将线段沿射线的方向平移得到线段，其中点的对应点是点，点的对应点是点，点抵达点时，线段停止运动，连接，直线与的交点为点，已知长度为，的长度为．

（1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）利用描点法画出此函数图象；
（3）结合图象，写出函数的其中一条性质 　　；
（4）若函数图象与有且只有一个交点，则的取值范围是 　　．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）当时，随的增大而减小（答案不唯一）；（4）
【详解】（1）当时，点没有运动，
此时；
当时，开始运动，
点、分别是线段、边上的中点，
，，
线段沿射线的方向平移得到线段，
，，
，
，即，
，
则；

（2）函数图象如下：


（3）从函数图象看，当时，随的增大而减小（答案不唯一），
故答案为：当时，随的增大而减小（答案不唯一）；

（4）当时，和必有交点，
即，两个函数有且只有一个交点，
故答案为：．
25．（10分）如图，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，连接，过点作交抛物线于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，过点作交直线于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）在第（2）小问的条件下，将原抛物线沿着射线方向平移，平移后的抛物线过点，点在平移后抛物线的对称轴上，点是平面内任意一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2），点，；（3）见解析
【详解】（1）点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，则点，，
设抛物线的表达式为：，
即，
即，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）由点、、的坐标知，，，，
则为直角三角形且为直角，
，为直角，则，
由点、的坐标得，直线的表达式为：①，
同理可得：直线的表达式为：，直线的表达式为：，
设点，则点，
，
则直线的表达式为：②，
联立①②得：，
解得：，
则面积

，
，故面积有最大值，最大值为：，
此时，，点，；

（3）存在，理由：
，
设抛物线沿向右个单位，则向上平移个单位，
则平移后的抛物线表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则新抛物线的对称轴为，
则设点，，点，
由点、的坐标得，，
当为菱形的边时，则，
即，
解得：或，
即点的坐标为，或，，
当为菱形的边时，的中点即为的中点，
由中点坐标公式得：，
则点的坐标为：，或，．
26．（10分）如图，为等边三角形，为边上一点，过点作，交于点，连接，为的中点，连接．
（1）如图1，，，求的面积；
（2）如图2，点在内部，连接、，，过点作，垂足为，，垂足为，，连接．求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点在线段上运动，连接，延长交于点，将线段绕点顺时针旋转到，与相交于点，当最小时，求的值．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【详解】（1）解：如图1，

作于，
是等边三角形，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
点是的中点，
；
（2）证明：如图2，

连接，，
是等边三角形，
，，
点在的垂直平分线上，
，
，，
是等边三角形，
，
在的平分线上，
点在的垂直平分线上，
，
在的垂直平分线上，
点是等边三角形的中心，
，是的中点，，
，
是的中点，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，

取的中点，作直线，交于，作于，
点是的中点，
，
点在过中点，且与平行的直线上运动，
由（2）知：，
四边形是平行四边形，
，，
由旋转知：，，
，
，
点在过的中点，且与平行的直线上运动，
当时，最小，
如图4，

设与交于，交于，交于，作于，
设，则，
，
，
，，
，，
，，
，
．