备战北京中考数学仿真卷（三）

备战北京中考数学仿真卷（三）

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．（2分）北京冬奥会期间，共有近1.9万名赛会志愿者和20余万人次城市志愿者参与服务，他们默默奉献并积极传递正能量，共同用实际行动生动地诠释了“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神．将1.9万用科学记数法表示应为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】1.9万．

故选：．

2．（2分）某个几何体的三视图如图所示，则此几何体是　　

A．直三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．立方体

【答案】

【详解】由三视图可知，这个几何体是直三棱柱．

故选．

3．（2分）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】由题知：，．

，，，．

选项符合题意．

故选：．

4．（2分）下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】，

选项不符合题意；

，

选项不符合题意；

，

选项不符合题意；

，

选项符合题意；

故选：．

5．（2分）将三角尺与直尺按如图所示摆放，下列关于与之间的关系一定正确的是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】，

故选：．

6．（2分）不透明的袋子中有3个小球，其中有1个红球，1个黄球，1个绿球，除颜色外3个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的小球都是红球的概率是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】根据题意画图如下：

共有9种等可能的情况数，其中两次摸出的小球都是红球的有1种，

则两次摸出的小球都是红球的概率是；

故选：．

7．（2分）如果，那么代数式的值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】

【详解】

，

，

，

原式

．

故选：．

8．（2分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米与甲出发的时间（分之间的关系如图所示，下列结论：

①甲步行的速度为60米分；

②乙走完全程用了36分钟；

③乙用16分钟追上甲；

④乙到达终点时，甲离终点还有300米．

其中正确的结论有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】

【详解】由题意可得：甲步行速度（米分）；

故①结论正确；

设乙的速度为：米分，

由题意可得：，

解得，

乙的速度为80米分；

乙走完全程的时间（分，

故②结论错误；

由图可得，乙追上甲的时间为：（分；

故③结论错误；

乙到达终点时，甲离终点距离是：（米，

故④结论错误；

故正确的结论有①共1个．

故选：．

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．（2分）若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　．

【答案】

【详解】依题意得：，

解得，

故答案为：．

10．（2分）如图，在中，，的垂直平分线交于点．若平分，

则　　．

【答案】36

【详解】，

，

的垂直平分线交于点．

，

平分，

，

，

设为，

可得：，

解得：，

故答案为：36.

11．（2分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　．

【答案】

【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

△，

，

．

故答案为：．

12．（2分）写出一个比大且比4小的无理数 　　．

【答案】（答案不唯一）

【详解】，

，

一个比大且比4小的无理数是：，

故答案为：（答案不唯一）．

13．（2分）如图，点，，在上，若，则的度数为 　　．

【答案】

【详解】，，

，

，

．

故答案为：．

14．（2分）如图，在平行四边形中，过中点的直线分别交边，于点，，连接，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是 　　（写出一个即可）．

【答案】（答案不唯一）

【详解】只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是：，理由如下：

四边形是平行四边形，

，

，，

是的中点，

，

在和中，

，

，

，

四边形是平行四边形，

又，

平行四边形是菱形，

故答案为：（答案不唯一）．

15．（2分）如图，点是中边上的点，点是的中点，连接、，若的面积为8，则阴影部分的面积为 　　．

【答案】4

【详解】点是的中点，

，，

阴影部分的面积．

故答案为：4．

16．（2分）某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植、两种树种．经过试种后发现，种植种树苗棵，种下后成活了棵，种植种树苗棵，种下后成活了棵．第一阶段两种树苗共种植了40棵，且两种树苗的成活棵树相同，则种植种树苗 　　棵．第二阶段，该园林局又种植种树苗棵，种树苗棵，若，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植种树苗成活棵数 　　种植种树苗成活棵数（填“”“ ”或“” ．

【答案】22，

【详解】第一阶段，由题意得：，

解得：，

种植种树苗22棵，

第二阶段，

种植种树苗棵，种树苗棵，若，

种树苗成活了棵，种树苗成活了棵，

两个阶段种树苗共成活了棵，种树苗共成活了棵，

，

这两个阶段种植种树苗成活棵数种植种树苗成活棵数，

故答案为：22，．

三．解答题（共12小题，满分68分）

17．（5分）计算：．

【答案】见解析

【详解】

．

18．（5分）解不等式组．

【答案】见解析

【详解】，

解不等式①，得，

解不等式②，得，

故原不等式组的解集为．

19．（5分）先化简，再求值：，再从、0、1三个数中选择一个你认为合适的数作为的值代入求值．

【答案】见解析

【详解】原式

，

要使分式有意义，不能取，1，

则当时，原式．

20．（5分）已知：如图，点为锐角的边上一点．

求作：，使得点在边上，且．

作法：①以点为圆心，长为半径画圆，交于另一点，交于点；

②作射线．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：、、都在上，

为所对的圆周角，为所对的圆心角，

　　（填推理依据）．

．

【答案】见解析

【详解】（1）如图，即为补全的图形，

（2）证明：、、都在上，

为所对的圆周角，为所对的圆心角，

（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半），

．

故答案为：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．

21．（6分）如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米．设距左侧墙壁水平距离为米的地点，隧道高度为米．

请解决以下问题：

（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；

（2）请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；

（3）今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断该卡车能否通过隧道．

【答案】见解析

【详解】（1）如图，

（2）由图象可得，抛物线的对称轴为直线；

（3）由图象可得顶点坐标为，

所以设，

把代入可得，

，

当时，，

，

所以卡车不能通过隧道．

22．（5分）如图，在中，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）连接，若，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，

，

，

四边形是平行四边形，

又，

，

平行四边形是矩形；

（2）解：由（1）可知，四边形是矩形，

，，

，

，

，

，

在中，由勾股定理得：．

23．（6分）如图，直线经过，两点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合）；直线为常数）经过点，交于点．

（1）求直线的函数表达式；

（2）当时，求点的坐标；

（3）在点的移动过程中，直接写出的取值范围．

【答案】（1）；（2），；（3）或且

【详解】（1）设直线的函数表达式为，

直线经过，两点，

，解得，

直线的函数表达式为；

（2）当时，则直线，

解得，

点的坐标为，；

（3），

直线过点，

点是线段上一动点，

，

两条直线相交，

，

把代入得，，解得；

把代入得，，解得

的取值范围是或且．

24．（5分）如图，是直径，点是外一点，，切于点，连接交于点．

（1）求证：；

（2）若的半径为5，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】（1）证明：连接，如图，

切于点，

，

，

，

，

即，

，

，

；

（2）解：过点作于点，如图，

，

，

在中，，

设，，

，

即，

解得，

，，

在中，，，

．

25．（6分）为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党100周年知识测试该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：

．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：，，，，；

．八年级学生成绩在的这一组是：

80 81 82 83 83 83.5 83.5 84

84 85 86 86.5 87 88 89 89

．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表中的值为　　；

（2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在　　年级排名更靠前，理由是　　；

（3）若各年级建党知识测试成绩前60名将参加线上建党知识竞赛，预估八年级分数至少达到　　分的学生才能入选；

（4）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．

【答案】（1）83；（2）八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数；（3）91；（4）八年级达到“优秀”的人数为120人

【详解】（1）八年级共有50名学生，第25，26名学生的成绩为83分，83分，

（分）；

故答案为：83；

（2）在八年级排名更靠前，理由如下：

八年级的中位数是83分，七年级的中位数是85分，

该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，

在八年级排名更靠前；

故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数；

（3）根据题意得：

（人，

则在抽取的50名学生中，必须有10人参加线上防治知识竞赛，

因为90分以上为13人，需要前10名参加比赛，所以90分不一定能入选，

由前面表格可知，90分为8年级众数，可知90分应为3人或以上，

所以91分的同学可以保证入选，

所以至少达到91分；

故答案为：91；

（4）因为成绩85分及以上有20人，

所以（人，

答：八年级达到“优秀”的人数为120人．

26．（6分）在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上，其中且．

（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含的式子表示）；

（2）当时，若，比较与的大小关系，并说明理由；

（3）若存在大于1的实数，使，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【详解】（1），

抛物线对称轴为直线．

（2），，

，关于抛物线对称轴对称，

抛物线关于轴对称，即，

，

抛物线开口向上，顶点坐标为，

为函数最小值，

．

（3）将，，代入得，

，

，

，

，

解得，

，

．

27．（7分）如图，在中，，是斜边上的中线，垂直平分，分别交，于点，，连接，．

（1）求的度数；

（2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）；（2）见解析

【详解】（1）垂直平分，

，，

，，

，

，

；

（2），

证明：如图，延长至，使，连接，，

是斜边上的中线，

，

在和中，

，

，

，，

，

，

，

，

，，

是的垂直平分线，

，

．

28．（7分）在平面直角坐标系中，的半径为1，为轴上一点，为平面上一点．给出如下定义：若在上存在一点，使得是等腰直角三角形，且，则称点为的“等直点”， 为的“等直三角形”．

（1）如图，点，，，的横、纵坐标都是整数．

①当时，在点，，，中，的“等直点”是 　　；

②当时，若是 “等直三角形”，且点，都在第一象限，求的值．

（2）若直线上存在的“等直点”，直接写出的取值范围．

【答案】（1）①，，；②；（2）或

【详解】（1）①如图1中，观察图象可知点，是，的“等直点”，

故答案为：，，；

②如图2中，连接，．

，

是等腰直角三角形，

，，

，，

是等腰直角三角形，

，，

，

，

，

，

；

（2）如图3中，当点在轴的负半轴上，点在的左侧时，在轴的负半轴上取一点，使得，连接，．

同法可证，

，

，

，

点的运动轨迹是以为圆心，为半圆的圆，

当或时，与直线相切，

此时或，

观察图形可知，当时，直线上存在的“等直点”．

如图4中，当点在轴的正半轴上，点在的左侧时，在轴的负半轴上取一点，使得，连接，．

同法可证，

，

，

，

点的运动轨迹是以为圆心，为半圆的圆，

当或时，与直线相切，

此时或，

观察图形可知，当时，直线上存在的“等直点”．

综上所述，满足条件的的值为：或．