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重难点突破01 奔驰定理与四心问题（五大题型）-2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）
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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
重难点突破01 奔驰定理与四心问题
目录
技巧一．四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点．
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为．
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故．
技巧三．三角形四心与推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
技巧四．常见结论
（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．
为的内心．
（2）外心：为的外心．
（3）垂心：为的垂心．
（4）重心：为的重心．
题型一：奔驰定理
例1．（2023·全国·高一专题练习）已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知是三角形内部一点，且，则的面积与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·全国·高一专题练习）若点是所在平面内的一点，点是边靠近的三等分点，且满足，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
变式2．（2023·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（ ）
A．若，则O为△ABC的重心
B．若，则
C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则
D．若，，，则
变式3．（多选题）（2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，且，则
C．若，则为的垂心
D．若为的内心，且，则
变式4．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．，，，则
C．若为的内心，，则
D．若为的重心，则
题型二：重心定理
例4．（2023·福建泉州·高一校考期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有______．
① ②
③ ④
例5．（2023·全国·高一专题练习）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是_______（把你认为正确的序号全部写上）．
①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；
③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；
⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．
例6．（2023·河南·高一河南省实验中学校考期中）若为的重心（重心为三条中线交点），且，则___．
变式5．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知△ABC的外心为O，且AB=5，，则______．
（2）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，则______．
（3）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，，D为BC中点，则____．
变式6．（2023·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）在中，，，，若是的重心，则______.
变式7．（2023·江西南昌·高三校联考期中）锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为______．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，，，则n的值为________.
变式9．（2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）在中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q，设的面积为，的面积为，且，则的取值范围为_________．
题型三：内心定理
例7．（2023·湖北·模拟预测）在中，，，，且，若为的内心，则_________．
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知中，，，，I是的内心，P是内部（不含边界）的动点.若（，），则的取值范围是______.
例9．（2023·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考阶段练习）设为的内心，，，，则为________．
变式10．（2023·福建福州·高三福建省福州第一中学校考阶段练习）已知点是的内心，若，则______.
变式11．（2023·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的__心.
变式12．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
变式13．（2023·江西·校联考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的动点，，分别为的重心和内心，则（ ）
A．B．C．2D．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知，是其内心，内角所对的边分别，则（ ）
A．B．
C．D．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）点在所在平面内，给出下列关系式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
则点依次为的（ ）
A．内心、外心、重心、垂心；B．重心、外心、内心、垂心；
C．重心、垂心、内心、外心；D．外心、内心、垂心、重心
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别满足下列四个条件：
①；
②；
③；
④；
则点分别为的（ ）
A．外心、内心、垂心、重心B．内心、外心、垂心、重心
C．垂心、内心、重心、外心D．内心、垂心、外心、重心
题型四：外心定理
例10．（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）设O为的外心，且满足，，下列结论中正确的序号为______．
①；②；③．
例11．（2023·河北·模拟预测）已知为的外心，，，则___________．
例12．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知是的外心，若，且，则实数的最大值为______．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）设O为的外心，若，，则___________.
变式19．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且，则的值为________．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）在中，，．点满足．过点的直线分别与边交于点且，．已知点为的外心，，则为______．
变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC中，，点O是△ABC的外心，则________.
变式22．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
题型五：垂心定理
例13．（2023·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则是的（ ）
A．重心（三条中线交点）B．内心（三条角平分线交点）
C．垂心（三条高线交点）D．外心（三边中垂线交点）
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则______.
例15．（2023·北京·高三强基计划）已知H是的垂心，，则的最大内角的正弦值是_________．
变式23．（2023·全国·高三专题练习）设H是的垂心，且，则_____．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）在中，点O、点H分别为的外心和垂心，，则________.
变式25．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，为的垂心，且满足，则___________.
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
重难点突破01 奔驰定理与四心问题
目录
技巧一．四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点．
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为．
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故．
技巧三．三角形四心与推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
技巧四．常见结论
（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．
为的内心．
（2）外心：为的外心．
（3）垂心：为的垂心．
（4）重心：为的重心．
题型一：奔驰定理
例1．（2023·全国·高一专题练习）已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知是三角形内部一点，且，则的面积与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·全国·高一专题练习）若点是所在平面内的一点，点是边靠近的三等分点，且满足，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
变式2．（2023·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（ ）
A．若，则O为△ABC的重心
B．若，则
C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则
D．若，，，则
变式3．（多选题）（2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，且，则
C．若，则为的垂心
D．若为的内心，且，则
变式4．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．，，，则
C．若为的内心，，则
D．若为的重心，则
题型二：重心定理
例4．（2023·福建泉州·高一校考期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有______．
① ②
③ ④
例5．（2023·全国·高一专题练习）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是_______（把你认为正确的序号全部写上）．
①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；
③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；
⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．
例6．（2023·河南·高一河南省实验中学校考期中）若为的重心（重心为三条中线交点），且，则___．
变式5．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知△ABC的外心为O，且AB=5，，则______．
（2）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，则______．
（3）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，，D为BC中点，则____．
变式6．（2023·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）在中，，，，若是的重心，则______.
变式7．（2023·江西南昌·高三校联考期中）锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为______．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，，，则n的值为________.
变式9．（2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）在中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q，设的面积为，的面积为，且，则的取值范围为_________．
题型三：内心定理
例7．（2023·湖北·模拟预测）在中，，，，且，若为的内心，则_________．
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知中，，，，I是的内心，P是内部（不含边界）的动点.若（，），则的取值范围是______.
例9．（2023·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考阶段练习）设为的内心，，，，则为________．
变式10．（2023·福建福州·高三福建省福州第一中学校考阶段练习）已知点是的内心，若，则______.
变式11．（2023·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的__心.
变式12．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
变式13．（2023·江西·校联考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的动点，，分别为的重心和内心，则（ ）
A．B．C．2D．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知，是其内心，内角所对的边分别，则（ ）
A．B．
C．D．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）点在所在平面内，给出下列关系式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
则点依次为的（ ）
A．内心、外心、重心、垂心；B．重心、外心、内心、垂心；
C．重心、垂心、内心、外心；D．外心、内心、垂心、重心
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别满足下列四个条件：
①；
②；
③；
④；
则点分别为的（ ）
A．外心、内心、垂心、重心B．内心、外心、垂心、重心
C．垂心、内心、重心、外心D．内心、垂心、外心、重心
题型四：外心定理
例10．（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）设O为的外心，且满足，，下列结论中正确的序号为______．
①；②；③．
例11．（2023·河北·模拟预测）已知为的外心，，，则___________．
例12．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知是的外心，若，且，则实数的最大值为______．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）设O为的外心，若，，则___________.
变式19．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且，则的值为________．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）在中，，．点满足．过点的直线分别与边交于点且，．已知点为的外心，，则为______．
变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC中，，点O是△ABC的外心，则________.
变式22．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
题型五：垂心定理
例13．（2023·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则是的（ ）
A．重心（三条中线交点）B．内心（三条角平分线交点）
C．垂心（三条高线交点）D．外心（三边中垂线交点）
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则______.
例15．（2023·北京·高三强基计划）已知H是的垂心，，则的最大内角的正弦值是_________．
变式23．（2023·全国·高三专题练习）设H是的垂心，且，则_____．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）在中，点O、点H分别为的外心和垂心，，则________.
变式25．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，为的垂心，且满足，则___________.
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