重难点7-2 立体几何外接球与内切球6大题型-高考数学专练（新高考专用）

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重难点7-2 空间几何体外接球与内切球6大题型

有关多面体外接球和内切球的问题，是立体几何的一个重点和难点，也是高考考查的一个热点，要求学生具有较强的空间想象能力和准确的计算能力。一般在选择题中出现，难度中上。

一、常见几何体的外接球
1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，
则
2、正方体的外接球：正方体的棱长为a，外接球半径为R，则

长方体的外接球 正方体的外接球
3、直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点
4、正棱锥的外接球：正棱锥顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上。
（1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长a，外接球的半径.
（2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为a，外接球半径
二、能补形为长方体的类型
1、墙角模型
找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出

【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑
2、对棱相等
对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。
三、直棱柱外接球的求法-----汉堡模型
1、补形：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同
2、作图：构造直角三角形，利用勾股定理
例如：直三棱柱内接与一球（棱柱的上下底面为直角三角形）

此类题为上面题的特殊情况，解法更简单，AH的长即为底面三角形斜边的一般，
勾股定理：，则
注意：对于侧棱垂直于的棱锥可考虑补形为直棱柱后再求外接球。
四、侧面垂直与底面---切瓜模型

对于平面⊥平面，（为小圆直径）、
第一步：由图知球心必为的外心，即在大圆面上，先求小圆面直径的长；
第二步：在中，可根据正弦定理，解出
五、棱长即为直径型：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径

图中两个直角三角形和，其中，求外接圆半径
取斜边的中点，连接，则
所以点即为球心，然后在中解出半径
六、棱锥的内切球
1、方法：一般采用等体积法
2、结论：
（1）以三棱锥为例说明：若三棱锥A-BCD的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为R=3VS.
（2）若正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为612a.
【注意】三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球。


【题型1 柱体型几何体的外接球】
【例1】（2023·新疆阿克苏·校考一模）长方体中，棱，且其外接球的体积为，则此长方体体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．


【变式1-1】（2022秋·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B．60 C． D．


【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，球的表面积为，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．


【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，．设D为的中点，三棱锥的体积为，平面平面，则三棱柱外接球的表面积为______．



【变式1-4】（2022秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面是等腰梯形，，若四棱柱的高是3，则该棱柱外接球的体积是______.



【变式1-5】（2022·全国·高三专题练习）已知某圆柱的轴截面是一个正方形，且该圆柱表面积（底面和侧面面积之和）为，其外接球的表面积为，则该圆柱的表面积与其外接球的表面积的比值________.


【题型2 锥体型几何体的外接球】
【例2】（2023·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．


【变式2-1】（2023·贵州·统考模拟预测）已知正三棱雉中，，，该三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，则（ ）
A． B． C． D．


【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知三棱锥，底面，，设和的外接圆半径分别为，．若三棱锥外接球的体积为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．


【变式2-3】（2023·全国·校联考二模）已知三棱锥的外接球，为球的直径，且，，，那么三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．


【变式2-4】（2023·陕西·校联考模拟预测）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，平面PAD⊥底面ABCD，，，，，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为（ ）
A．26π B．27π C．28π D．29π


【变式2-5】（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）在三棱锥中，是以AC为底边的等腰直角三角形，是等边三角形，，又BD与平面ADC所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．


【变式2-6】（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知是圆锥底面圆的直径，圆锥的母线，，则此圆锥外接球的表面积为_________.


【变式2-7】（2022秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为，且，对应圆锥外接球体积分别为，则（ ）
A．8 B． C． D．2


【题型3 二面角背景的外接球】
【例3】（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接，当二面角的平面角的大小为时，则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．


【变式3-1】（2023·全国·高三专题练习）两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．


【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，则过，，，四点的球的表面积为（   ）
A． B． C． D．


【变式3-3】（2023·四川广安·统考二模）在菱形中，，，将绕对角线所在直线旋转至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．


【变式3-4】（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知中，为边上的高线，以为折痕进行折叠，使得二面角为，则三棱锥的外接球半径为__________.


【题型4 常见多面体的内切球】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥，已知一等边圆锥的母线长为，则该圆锥的内切球体积为（ ）
A． B． C． D．


【变式4-1】（2022·河北邯郸·统考二模）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，其内切球的半径为1，则此三棱锥的高为___．


【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）正四棱锥的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为______．


【变式4-3】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱， 圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， 、为圆柱上、下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，有以下三个命题：
①平面截得球的截面面积最小值为；
②球的表面积是圆柱的表面积的；
③若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为．
其中所有正确的命题序号为___________.



【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，其内切球与两侧面，分别切于点，则的长度为（ ）
A． B． C． D．


【变式4-5】（2023·安徽安庆·统考二模）在棱长为4的正方体中，点是棱上一点，且.过三点、、的平面截该正方体的内切球，所得截面圆面积的大小为______.


【题型5 球与球之间的相切】
【例5】（2022·全国·高三专题练习）如图，三个半径都是的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则碗的半径是___________.



【变式5-1】（2023·湖南郴州·统考三模）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为__________.


【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且分别与正方体内切，求两球半径之和.



【变式5-3】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）半径均为R的四个球两两之间有且仅有一个公共点，在以四个球心为顶点的三棱锥的内部放一个小球，小球体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．


【变式5-4】（2023·广东·统考一模）水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．6


【题型6 台体的外接和内切】
【例6】（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）已知某圆台的母线长为4，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为1：9，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．


【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知某圆锥的轴截面是顶角为120°的等腰三角形，母线长为4，过圆锥轴的中点作与底面平行的截面，则截面与底面之间的几何体的外接球的表面积为（ ）
A．64π B．96π C．112π D．144π


【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）在正四棱台中，上､下底面边长分别为，侧棱长为，则该正四棱台的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．


【变式6-3】（2022·全国·高三专题练习）中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一．”即：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有一外接球的表面积为的“刍童”如图所示，记为四棱台，其上、下底面均为正方形，且，则该“刍童”的体积为（ ）

A．224 B．448 C．或448 D．或224


【变式6-4】（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6，下底半径为1，高为，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入的铁球的表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．



（建议用时：60分钟）
1．（2022·全国·高三专题练习）已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为，且该圆台两个底面的圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·吉林长春·校联考一模）“阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知，则该半正多面体外接球的表面积为（ ）

A．18π B．16π C．14π D．12π
3．（2023·全国·模拟预测）已知三棱锥的所有棱长均为2，若球经过三棱锥各棱的中点，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为2，棱的中点为S，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川遂宁·统考二模）在中，，，为的中点，将绕旋转至，使得，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知三棱锥中，底面，若，，则三棱锥的外接球的体积为（ ）．
A． B． C． D．
7．（2023·甘肃·统考一模）在长方体中，底面为正方形，，其外接球的体积为，则此长方体的表面积为（ ）
A．34 B．64 C． D．
8．（2022·河南·校联考模拟预测）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，底面，，是棱的中点，点是棱上的动点，则当的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
9．（2023·青海·校联考模拟预测）已知体积为的球与正三棱柱的所有面都相切，则三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知体积为3的正三棱锥P-ABC，底面边长为，其内切球为球O，若在此三棱锥中再放入球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）如图，正四棱台的上､下底面边长分别为2，分别为的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为___________.

12．（2022·全国·高三专题练习）一个棱长为2的正方体容器，将8个直径均为1的球放入容器内，容器正中央能放入的最大的球的直径为________．
13．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均相等的六边形是某棱锥的侧面展开图，若该六边形的面积为，则该棱锥的内切球半径为___．

14．（2022·全国·高三专题练习）在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的外接球的表面积为__.
15．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）如图，在四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的表面积为______．