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重难点4-2 奔驰定理及三角“四心”向量式（5题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）
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这是一份重难点4-2 奔驰定理及三角“四心”向量式（5题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用），文件包含重难点4-2奔驰定理及三角“四心”向量式5题型+满分技巧+限时检测原卷版docx、重难点4-2奔驰定理及三角“四心”向量式5题型+满分技巧+限时检测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点4-2 奔驰定理及三角形“四心”向量式
平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角函数、数列、几何等知识相结合考查。平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决与三角形面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用。常以选择题或填空题的形式出现，难度中等。
【题型1 三角形“重心”及应用】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式1-1】（2022·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则点是的（ ）
A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心
【变式1-3】（2023·安徽安庆·高三怀宁县新安中学校考阶段练习）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【变式1-4】（2023·河北·高三统考阶段练习）若是的垂心，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 三角形“内心”及应用】
【例2】（2023·安徽淮南·统考一模）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【变式2-1】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式2-2】（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式2-3】（2023·湖北·模拟预测）在中，，，，且，若为的内心，则 ．
【变式2-4】（2022·辽宁沈阳·高三校考阶段练习）已知，是其内心，内角所对的边分别，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 三角形“外心”及应用】
【例3】（2023·四川成都·高三四川省成都列五中学校考期中）在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式3-1】（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【变式3-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【变式3-3】（2023·江苏·高三统考期末）中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【题型4 三角形“垂心”及应用】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则点是的（ ）
A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心
【变式4-1】（2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）是所在平面上一点，若，则是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）若为所在平面内一点，且则点是的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式4-3】（2023·上海·高三行知中学校考期中）在四面体中，已知，若不是等边三角形，且点在平面上的投影位于内，则点是的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）设H是的垂心，且，则 ．
【题型5 奔驰定理及应用】
【例5】（2022·全国·高三专题练习）点为内一点，若，设，则实数和的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式5-1】（2022·安徽·芜湖一中校联考三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式5-2】（2024·江西新余·高三统考期末）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
【变式5-3】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）
A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
【变式5-4】（2024·广东广州·执信中学校考模拟预测）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
（建议用时：60分钟）
1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
2．（2022·山西太原·高三统考期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（ ）
A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心
3．（2022·全国·高三专题练习）在△中，，，，O为△的内心，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·全国·高三专题练习）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点
6．（2022·浙江·高三慈溪中学校联考期中）已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
7．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
8．（2022·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
9．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在锐角三角形ABC中，，，H为的垂心，，O为的外心，且，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
10．（2023·全国·高三专题练习）已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
11．（2022·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB=4，AC=2，则下列各式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知点P是的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2022·江西·高三校联考阶段练习）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考阶段练习）（多选）点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O是的重心
B．若，则点O是的内心
C．若，则点O是的外心
D．若，则点O是的垂心
16．（2023·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考阶段练习）（多选）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
17．（2023·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）（多选）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则点的轨迹不可能经过的外心
B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心
C．若，则点的轨迹不可能经过的重心
D．若，，则点的轨迹一定过的外心
18．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．满足，则点是的外心
B．满足，则点是的重心
C．满足，则点是的垂心
D．满足，且，则为等边三角形
19．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）若是的垂心，且，则的值为 ．
20．（2023·全国·高三专题练习）在中，给出如下命题:
= 1 \* GB3 ①是所在平面内一定点，动点满足，，则动点的轨迹一定过的重心．
= 2 \* GB3 ②是所在平面内一定点，动点满足，，则动点的轨迹一定过的内心．
= 3 \* GB3 ③是所在平面内一定点，且，则．
= 4 \* GB3 ④若，且，则是等边三角形．
其中正确的命题有 个．满分技巧
常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点
（1）
（2）
（3）若 QUOTE AP=λAB+AC 或，，则P一定经过三角形的重心
（4）若或 QUOTE OP=OA+λABABsinB+ACACsinC ，λ∈[0,+∞)，则P一定经过三角形的重心
满分技巧
常见内心向量式：P是∆ABC的内心，
（1）ABPC+BCPA+CAPB=0（或aPA+bPB+cPC=0）
其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，
（2）AP=λABAB+ACAC，λ[0,+∞)，则P一定经过三角形的内心。
满分技巧
常用外心向量式：O是∆ABC的外心，
（1） QUOTE OA=OB=OC⟺OA2=OB2=OC2
（2）OA+OB∙AB=OB+OC∙BC=OA+OC∙AC=0
（3）动点P满足OP=OB+OC2+λABABcsB+ACACcsC，λ∈0,+∞，
则动点P的轨迹一定通过∆ABC的外心.
（4）若OA+OB∙AB=OB+OC∙BC=OC+OA∙CA=0，则O是∆ABC的外心.
满分技巧
常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：
（1）OA∙OB=OB∙OC=OC∙OA
（2）OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2
（3）动点P满足 QUOTE OP=OA+λABABcsB+ACACcsC ，λ∈0,+∞，则动点P的轨迹一定过∆ABC的垂心
（4）奔驰定理推论：S∆BOC:S∆COA:S∆AOB=tanA:tanB:tanC，tanA∙OA+tanB∙OB+tanC∙OC=0.
满分技巧
奔驰定理及其推论
1、奔驰定理：O是内的一点，且 QUOTE x∙OA+y∙OB+z∙OC=0 ，则
2、奔驰定理推论： QUOTE x∙OA+y∙OB+z∙OC=0 ，则
= 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ②，， QUOTE S∆AOBS∆ABC=zx+y+z .
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．
3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点4-2 奔驰定理及三角形“四心”向量式
平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角函数、数列、几何等知识相结合考查。平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决与三角形面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用。常以选择题或填空题的形式出现，难度中等。
【题型1 三角形“重心”及应用】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式1-1】（2022·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则点是的（ ）
A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心
【变式1-3】（2023·安徽安庆·高三怀宁县新安中学校考阶段练习）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【变式1-4】（2023·河北·高三统考阶段练习）若是的垂心，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 三角形“内心”及应用】
【例2】（2023·安徽淮南·统考一模）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【变式2-1】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式2-2】（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式2-3】（2023·湖北·模拟预测）在中，，，，且，若为的内心，则 ．
【变式2-4】（2022·辽宁沈阳·高三校考阶段练习）已知，是其内心，内角所对的边分别，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 三角形“外心”及应用】
【例3】（2023·四川成都·高三四川省成都列五中学校考期中）在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式3-1】（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【变式3-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【变式3-3】（2023·江苏·高三统考期末）中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【题型4 三角形“垂心”及应用】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则点是的（ ）
A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心
【变式4-1】（2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）是所在平面上一点，若，则是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）若为所在平面内一点，且则点是的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式4-3】（2023·上海·高三行知中学校考期中）在四面体中，已知，若不是等边三角形，且点在平面上的投影位于内，则点是的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）设H是的垂心，且，则 ．
【题型5 奔驰定理及应用】
【例5】（2022·全国·高三专题练习）点为内一点，若，设，则实数和的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式5-1】（2022·安徽·芜湖一中校联考三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式5-2】（2024·江西新余·高三统考期末）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
【变式5-3】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）
A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
【变式5-4】（2024·广东广州·执信中学校考模拟预测）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
（建议用时：60分钟）
1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
2．（2022·山西太原·高三统考期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（ ）
A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心
3．（2022·全国·高三专题练习）在△中，，，，O为△的内心，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·全国·高三专题练习）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点
6．（2022·浙江·高三慈溪中学校联考期中）已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
7．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
8．（2022·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
9．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在锐角三角形ABC中，，，H为的垂心，，O为的外心，且，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
10．（2023·全国·高三专题练习）已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
11．（2022·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB=4，AC=2，则下列各式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知点P是的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2022·江西·高三校联考阶段练习）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考阶段练习）（多选）点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O是的重心
B．若，则点O是的内心
C．若，则点O是的外心
D．若，则点O是的垂心
16．（2023·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考阶段练习）（多选）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
17．（2023·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）（多选）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则点的轨迹不可能经过的外心
B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心
C．若，则点的轨迹不可能经过的重心
D．若，，则点的轨迹一定过的外心
18．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．满足，则点是的外心
B．满足，则点是的重心
C．满足，则点是的垂心
D．满足，且，则为等边三角形
19．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）若是的垂心，且，则的值为 ．
20．（2023·全国·高三专题练习）在中，给出如下命题:
= 1 \* GB3 ①是所在平面内一定点，动点满足，，则动点的轨迹一定过的重心．
= 2 \* GB3 ②是所在平面内一定点，动点满足，，则动点的轨迹一定过的内心．
= 3 \* GB3 ③是所在平面内一定点，且，则．
= 4 \* GB3 ④若，且，则是等边三角形．
其中正确的命题有 个．满分技巧
常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点
（1）
（2）
（3）若 QUOTE AP=λAB+AC 或，，则P一定经过三角形的重心
（4）若或 QUOTE OP=OA+λABABsinB+ACACsinC ，λ∈[0,+∞)，则P一定经过三角形的重心
满分技巧
常见内心向量式：P是∆ABC的内心，
（1）ABPC+BCPA+CAPB=0（或aPA+bPB+cPC=0）
其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，
（2）AP=λABAB+ACAC，λ[0,+∞)，则P一定经过三角形的内心。
满分技巧
常用外心向量式：O是∆ABC的外心，
（1） QUOTE OA=OB=OC⟺OA2=OB2=OC2
（2）OA+OB∙AB=OB+OC∙BC=OA+OC∙AC=0
（3）动点P满足OP=OB+OC2+λABABcsB+ACACcsC，λ∈0,+∞，
则动点P的轨迹一定通过∆ABC的外心.
（4）若OA+OB∙AB=OB+OC∙BC=OC+OA∙CA=0，则O是∆ABC的外心.
满分技巧
常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：
（1）OA∙OB=OB∙OC=OC∙OA
（2）OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2
（3）动点P满足 QUOTE OP=OA+λABABcsB+ACACcsC ，λ∈0,+∞，则动点P的轨迹一定过∆ABC的垂心
（4）奔驰定理推论：S∆BOC:S∆COA:S∆AOB=tanA:tanB:tanC，tanA∙OA+tanB∙OB+tanC∙OC=0.
满分技巧
奔驰定理及其推论
1、奔驰定理：O是内的一点，且 QUOTE x∙OA+y∙OB+z∙OC=0 ，则
2、奔驰定理推论： QUOTE x∙OA+y∙OB+z∙OC=0 ，则
= 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ②，， QUOTE S∆AOBS∆ABC=zx+y+z .
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．
3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。
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