重难点1-2 一元二次不等式恒成立与能成立问题5大题型-高考数学专练（新高考专用）

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重难点1-2 一元二次不等式恒成立与能成立问题5大题型

不等式是高考数学的重要内容。其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐。另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维灵活性、创造性都有这独到的作用。一元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用。

一、一元二次不等式在实数集上的恒成立
1、不等式对任意实数恒成立⇔或
2、不等式对任意实数恒成立⇔或
【注意】对于二次不等式恒成立问题，
恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；
恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．
二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法
方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，
可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；
方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，
则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即.
三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；
一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.
即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法
不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：
1、对任意的，恒成立⇒；
若存在，有解⇒；
若对任意，无解⇒.
2、对任意的，恒成立⇒；
若存在，有解⇒；
若对任意，无解⇒.


【题型1 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题】
【例1】（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）使得不等式对恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．


【变式1-1】（2022秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）若命题“关于x的不等式对一切实数x恒成立”是假命题，则实数m的取值范围是____________．


【变式1-3】（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是_____________．


【变式1-4】（2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为_________．


【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】
【例2】（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第三十一中学校考开学考试）已知不等式的解集，若对任意，不等式恒成立．则的取值范围是__________．


【变式2-1】（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知关于x的不等式的解集为A，设，，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．


【变式2-2】（2022秋·河南·高三期末）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．


【变式2-3】（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知函数，不等式的解集为．
（1）求的值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．


【变式2-4】（2021秋·陕西西安·高三校考阶段练习）已知二次函数满足，，且的最大值是8.
（1）试确定该二次函数的解析式；
（2）在区间上恒成立，试求的取值范围.


【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】
【例3】（2021·吉林松原·校考三模）若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．


【变式3-1】（2022秋·湖北襄阳·高三校考阶段练习）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．


【变式3-2】（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，求的取值范围．


【变式3-4】（2021·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考开学考试）设函数．
（1）若对于，恒成立，求的取值范围；
（2）若对于，恒成立，求的取值范围．


【题型4 一元二次不等式在实数集上的有解问题】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．


【变式4-1】（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．


【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____．


【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式有实数解，则的取值范围是_____


【题型5 一元二次不等式在某区间上的有解问题】
【例5】（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．


【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）命题，，若p是真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．


【变式5-3】（2022秋·北京·高三统考阶段练习）若存在，有成立，则实数a的取值范围是__________.


【变式5-4】（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是______ ．


【变式5-5】（2022·全国·高三专题练习）设为奇函数，为偶函数，对于任意均有.若在上有解，则实数的取值范围是______.



（建议用时：60分钟）
1．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知命题：，，则满足命题为真命题的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·北京大兴·高三统考期中）若命题“”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）设，则“”是“不等式在R上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022秋·宁夏银川·高三校考期中）已知命题：，，若是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）设函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
8．（2022秋·湖南邵阳·高三统考期中）设函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·辽宁鞍山·高三校联考期中）设，若关于的不等式在上有解，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围（ ）
A． B． C．） D．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
12．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．（2021秋·江苏徐州·高三统考阶段练习）若存在实数，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是______.
14．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.若存在使得关于x的不等式成立，则实数a的取值范围是________.
15．（2020·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是____________.
16．（2022秋·江苏连云港·高三校考开学考试）恒成立，则实数的取值范围是_________ .
17．（2021·全国·高三专题练习）若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是___________
18．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意及恒成立，则实数的取值范围是__________．