湖北省十堰市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类

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湖北省十堰市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．实数的运算（共2小题）
1．（2023•十堰）计算：|1﹣|+（）﹣2﹣（π﹣2023）0．
2．（2021•十堰）计算：cos45°+（）﹣1﹣|﹣3|．
二．分式的混合运算（共3小题）
3．（2023•十堰）化简：（1﹣）÷．
4．（2022•十堰）计算：÷（a+）．
5．（2021•十堰）化简：（﹣）÷．
三．负整数指数幂（共1小题）
6．（2022•十堰）计算：（）﹣1+|2﹣|﹣（﹣1）2022．
四．根与系数的关系（共1小题）
7．（2021•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
五．菱形的判定与性质（共1小题）
8．（2021•十堰）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．

六．正方形的判定（共1小题）
9．（2023•十堰）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP．
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？

七．四边形综合题（共1小题）
10．（2022•十堰）已知∠ABN＝90°，在∠ABN内部作等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α≤90°）．点D为射线BN上任意一点（与点B不重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接EC并延长交射线BN于点F．
（1）如图1，当α＝90°时，线段BF与CF的数量关系是 　 　；
（2）如图2，当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若α＝60°，AB＝4，BD＝m，过点E作EP⊥BN，垂足为P，请直接写出PD的长（用含有m的式子表示）．


八．切线的判定与性质（共2小题）
11．（2022•十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若BG＝1，BF＝3，求CF的长．

12．（2021•十堰）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若tan∠A＝，⊙O的半径为3，求EF的长．

九．列表法与树状图法（共1小题）
13．（2021•十堰）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．
等级
成绩（x）
人数
A
90≤x≤100
15
B
80≤x＜90
a
C
70≤x＜80
18
D
x＜70
7
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中a＝　 　；扇形统计图中，C等级所占的百分比是 　 　；D等级对应的扇形圆心角为 　 　度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有 　 　人；
（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．


湖北省十堰市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2023•十堰）计算：|1﹣|+（）﹣2﹣（π﹣2023）0．
【答案】+2．
【解答】解：原式＝﹣1+4﹣1
＝+2．
2．（2021•十堰）计算：cos45°+（）﹣1﹣|﹣3|．
【答案】1．
【解答】解：原式＝+3﹣3＝1．
二．分式的混合运算（共3小题）
3．（2023•十堰）化简：（1﹣）÷．
【答案】．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝．
4．（2022•十堰）计算：÷（a+）．
【答案】．
【解答】解：÷（a+）
＝÷（+）
＝÷＝
•
＝．
5．（2021•十堰）化简：（﹣）÷．
【答案】．
【解答】解：（﹣）÷
＝[]
＝
＝
＝
＝．
三．负整数指数幂（共1小题）
6．（2022•十堰）计算：（）﹣1+|2﹣|﹣（﹣1）2022．
【答案】．
【解答】解：（）﹣1+|2﹣|﹣（﹣1）2022
＝3+﹣2﹣1
＝．
四．根与系数的关系（共1小题）
7．（2021•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（﹣2m+5）＞0，
解得m＞；
所以实数m的取值范围为m＞；
（2）设x1，x2是方程的两根，
根据题意得x1+x2＝4＞0，x1x2＝﹣2m+5＞0，解得m＜，
而m＞，
所以m的取值范围为＜m＜，
因为m为整数，
所以m＝1或m＝2，
当m＝1时，方程两根都是整数；当m＝2时，方程两根都不是整数；
所以整数m的值为1．
五．菱形的判定与性质（共1小题）
8．（2021•十堰）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．

【答案】（1）证明略；
（2）AB的长为．
【解答】解：（1）证明：如图，
在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，
∴平行四边形AECF是菱形．
（2）如图，过点A作AG⊥BC于点G，

由（1）知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠FAC＝30°，
∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°，
∴∠AEB＝∠FAE＝60°，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB＝∠AGE＝90°，
∴∠GAE＝30°，
∴GE＝AE＝1，AG＝GE＝，
∵∠B＝45°，
∴∠GAB＝∠B＝45°，
∴BG＝AG＝，
∴AB＝BG＝．
六．正方形的判定（共1小题）
9．（2023•十堰）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP．
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？

【答案】（1）四边形BPCO为平行四边形．理由见解析；
（2）当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形．
【解答】解：（1）四边形BPCO为平行四边形．
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，
∵以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，
∴OB＝CP，BP＝OC，
∴四边形BPCO为平行四边形；
（2）当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形．
∵AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，
∴OB＝OC，
∵四边形BPCO为平行四边形，
∴四边形BPCO为正方形．
七．四边形综合题（共1小题）
10．（2022•十堰）已知∠ABN＝90°，在∠ABN内部作等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α≤90°）．点D为射线BN上任意一点（与点B不重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接EC并延长交射线BN于点F．
（1）如图1，当α＝90°时，线段BF与CF的数量关系是 　BF＝CF　；
（2）如图2，当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若α＝60°，AB＝4，BD＝m，过点E作EP⊥BN，垂足为P，请直接写出PD的长（用含有m的式子表示）．


【答案】（1）BF＝CF；
（2）成立，见解答；
（3）6﹣m或0或m﹣6．
【解答】解：（1）BF＝CF；理由如下：
连接AF，如图所示：

根据旋转可知，∠DAE＝α＝90°，AE＝AD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠EAC＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝90°，
∴∠ACF＝90°，
在Rt△ABF与Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），
∴BF＝CF，
故答案为：BF＝CF；
（2）成立，理由如下：
如图2，连接AF，

根据旋转可知，∠DAE＝α，AE＝AD，
∵∠BAC＝α，
∴∠EAC﹣∠CAD＝α，∠BAD﹣∠CAD＝α，
∴∠EAC＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，

∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝90°，
∴∠ACF＝90°，
在Rt△ABF与Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），
∴BF＝CF；
（3）∵α＝60°，AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝4，
①当∠BAD＜60°时，连接AF，如图所示：

∵Rt△ABF≌Rt△ACF，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝30°，
在Rt△ABF中，＝tan30°，
，
即CF＝BF＝4；
根据（2）可知，△ACE≌△ABD，
∴CE＝BD＝m，
∴EF＝CF+CE＝4+m，∠FBC＝∠FCB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠EFP＝∠FBC+∠FCB＝60°，
又∵∠EPF＝90°，
∴∠FEP＝90°﹣60°＝30°，
∴PF＝EF＝2+m，
∴BP＝BF+PF＝6+m，
∴PD＝BP﹣BD＝6﹣m；
②当∠BAD＝60°时，AD与AC重合，如图所示：

∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵∠ADB＝90°﹣∠BAC＝30°，
∴∠ADE＝90°，
∴此时点P与点D重合，PD＝0；
③当∠BAD＞60°时，连接AF，如图所示：

∵Rt△ABF≌Rt△ACF，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝30°，
在Rt△ABF中，＝tan30°，
，
即CF＝BF＝4；
根据（2）可知，△ACE≌△ABD，
∴CE＝BD＝m，
∴EF＝CF+CE＝4+m，∠FBC＝∠FCB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠EFP＝∠FBC+∠FCB＝60°，
又∵∠EPF＝90°，
∴∠FEP＝90°﹣60°＝30°，
∴PF＝EF＝2+m，
∴BP＝BF+PF＝6+m，
∴PD＝BD﹣BP＝m﹣6，
综上，PD的值为6﹣m或0或m﹣6．
八．切线的判定与性质（共2小题）
11．（2022•十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若BG＝1，BF＝3，求CF的长．

【答案】（1）见解析过程；
（2）CF＝．
【解答】（1）证明：如图，连接OF，

∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OF＝OC，
∴∠C＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠B，
∴OF∥AB，
∵FG⊥AB，
∴FG⊥OF，
又∵OF是半径，
∴GF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OE，过点O作OH⊥CF于H，

∵BG＝1，BF＝3，∠BGF＝90°，
∴FG＝＝＝2，
∵⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
又∵AB⊥GF，OF⊥GF，
∴四边形GFOE是矩形，
∴OE＝GF＝2，
∴OF＝OC＝2，
又∵OH⊥CF，
∴CH＝FH，
∵cosC＝cosB＝，
∴，
∴CH＝，
∴CF＝．
12．（2021•十堰）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若tan∠A＝，⊙O的半径为3，求EF的长．

【答案】（1）证明略；
（2）EF的长为．
【解答】解：（1）如图，连接OD，

∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵CD平分∠OCB，
∴∠OCD＝∠BCD，
∴∠ODC＝∠BCD，
∴OD∥CE，
∴∠CEF＝∠ODE，
∵CE⊥DF，
∴∠CEF＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴tan∠A＝＝，则AD＝2BD，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2r＝6，
∴BD2+AD2＝AB2，即BD2+（2BD）2＝62，
解得BD＝，
由（1）知DF是⊙O的切线，
∴∠BDF＝∠A，
∵BE⊥DF，
∴∠BEF＝90°，
∴tan∠BDF＝＝，则DE＝2BE，
在Rt△BDE中，BD＝，
由勾股定理可得，BE2+DE2＝BD2，即BE2+（2BE）2＝（）2，
解得BE＝，则DE＝，
由（1）知BE∥OD，
∴＝，即＝，解得EF＝．
九．列表法与树状图法（共1小题）
13．（2021•十堰）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．
等级
成绩（x）
人数
A
90≤x≤100
15
B
80≤x＜90
a
C
70≤x＜80
18
D
x＜70
7
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中a＝　20　；扇形统计图中，C等级所占的百分比是 　30%　；D等级对应的扇形圆心角为 　42　度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有 　450　人；
（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：15÷＝60（人），
∴a＝60﹣15﹣18﹣7＝20，C等级所占的百分比是18÷60×100%＝30%，D等级对应的扇形圆心角为：360°×＝42°，
估计成绩为A等级的学生共有：1800×＝450（人），
故答案为：20，30%，42，450；
（2）95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，其他两人记为丙、丁，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，
∴甲、乙两人至少有1人被选中的概率为＝．