河北省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02解答题（提升题）知识点分类

这是一份河北省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02解答题（提升题）知识点分类，共33页。试卷主要包含了称为一次乙方式，2上，且在C的对称轴右侧，求点P′移动的最短路程，，连接A′P等内容，欢迎下载使用。

河北省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02解答题（提升题）知识点分类
一．多项式乘多项式（共1小题）
1．（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2．
表2


表3


（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值；
（2）比较S1与S2的大小，并说明理由．

二．一次函数综合题（共2小题）
2．（2022•河北）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣8，19），B（6，5）．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）某同学设计了一个动画：
在函数y＝mx+n（m≠0，y≥0）中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中C（c，0）．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；
②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光．求此时整数m的个数．

3．（2023•河北）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点 （x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式．
例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）．
（1）设直线l1经过上例中的点M、N，求l1的解析式，并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；
（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y）．其中，按甲方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示x，y；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；
（3）在（1）和（2）中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．

三．二次函数图象与几何变换（共1小题）
4．（2022•河北）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．

四．二次函数综合题（共1小题）
5．（2021•河北）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．
（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；
（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；
（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD（包括端点）上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？
[注：（2）中不必写x的取值范围]

五．四边形综合题（共2小题）
6．（2023•河北）如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB＝8，，CD＝12，DA＝6．∠A＝90°，点M在AD边上，且DM＝2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°（0＜n≤180）到MA'，∠A′MA的平分线MP所在直线交折线AB﹣BC于点P，设点P在该折线上运动的路径长为x（x＞0），连接A′P．
（1）若点P在AB上，求证：A'P＝AP；
（2）如图2，连接BD．
①求∠CBD的度数，并直接写出当n＝180时，x的值；
②若点P到BD的距离为2，求tan∠A′MP的值；
（3）当0＜x≤8时，请直接写出点A′到直线AB的距离（用含x的式子表示）．

7．（2022•河北）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，AB＝2，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4．

（1）求证：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且BK＝9﹣4．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
③如图3，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．
六．正多边形和圆（共1小题）
8．（2021•河北）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长PA7的值．

七．圆的综合题（共1小题）
9．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．
计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.
（1）求OC的长．
操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．
探究：在图2中．
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小．
八．几何变换综合题（共1小题）
10．（2021•河北）在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．
论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；
发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？
尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；
拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；
②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出α的余弦值．

九．中位数（共1小题）
11．（2023•河北）某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，如图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．
（1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；
（2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？


河北省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．多项式乘多项式（共1小题）
1．（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2．
表2


表3


（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值；
（2）比较S1与S2的大小，并说明理由．

【答案】（1）S1＝a2+3a+2，S2＝5a+1，当a＝2时，S1+S2＝23；
（2）S1＞S2，理由见解析．
【解答】解：（1）由图可知S1＝（a+2）（a+1）＝a2+3a+2，S2＝（5a+1）×1＝5a+1，
当a＝2时，S1+S2＝4+6+2+10+1＝23；
（2）S1＞S2，
理由：∵S1﹣S2＝a2+3a+2﹣5a﹣1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，
又∵a＞1，
∴（a﹣1）2＞0，
∴S1＞S2．
二．一次函数综合题（共2小题）
2．（2022•河北）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣8，19），B（6，5）．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）某同学设计了一个动画：
在函数y＝mx+n（m≠0，y≥0）中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中C（c，0）．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；
②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光．求此时整数m的个数．

【答案】（1）y＝﹣x+11；
（2）①2m+n＝0；
②5个．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣8，19），B（6，5）代入，得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+11；

（2）①由题意直线y＝mx+n经过点（2，0），
∴2m+n＝0；

②∵线段AB上的整数点有15个：（﹣8，19），（﹣7，18），（﹣6，17），（﹣5，16），（﹣4，15），（﹣3，14），（﹣2，13），（﹣1，12），（0，11），（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），（6，5）．
当射线CD经过（2，0），（﹣7，18）时，y＝﹣2x+4，此时m＝﹣2，符合题意，
当射线CD经过（2，0），（﹣1，12）时，y＝﹣4x+8，此时m＝﹣4，符合题意，
当射线CD经过（2，0），（1，10）时，y＝﹣10x+20，此时m＝﹣10，符合题意，
当射线CD经过（2，0），（3，8）时，y＝8x﹣16，此时m＝8，符合题意，
当射线CD经过（2，0），（5，6）时，y＝2x﹣4，此时m＝2，符合题意，
其他点，都不符合题意．
解法二：设线段AB上的整数点为（t，﹣t+11），则tm+n＝﹣t+11，
∵2m+n＝0，
∴（t﹣2）m＝﹣t+11，
∴m＝＝﹣1+，
∵﹣8≤t≤6，且t为整数，m也是整数，
∴t﹣2＝±1，±3，±9，
∴t＝1，m＝﹣10，
t＝3，m＝8，
t＝5，m＝2，
t＝﹣1，m＝﹣4，
t＝﹣7，m＝﹣2，
t＝11，m＝0（不符合题意舍去），
综上所述，符合题意的m的值有5个
3．（2023•河北）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点 （x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式．
例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）．
（1）设直线l1经过上例中的点M、N，求l1的解析式，并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；
（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y）．其中，按甲方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示x，y；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；
（3）在（1）和（2）中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．

【答案】（1）直线l1的解析式为y＝﹣x+6；直线l2的解析式为y＝﹣x+15；
（2）①x＝m+10，y＝20﹣m；
②直线l3的解析式为y＝﹣x+30；图象见解析过程；
（3）a，b，c之间的关系式为5a+3c＝8b或a＝b＝c或﹣2a+b+c＝33．
【解答】解：（1）设l1的解析式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴l1的解析式为y＝﹣x+6，
将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式为y＝﹣x+15；
（2）∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，
∴点P按照乙方式移动了（10﹣m）次，
∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m），
∴点（2m，m）按照乙方式移动（10﹣m）次后得到的点的横坐标为2m+10﹣m＝m+10，纵坐标为m+2（10﹣m）＝20﹣m，
∴x＝m+10，y＝20﹣m；
②∵x+y＝m+10+20﹣m＝30，
∴直线l3的解析式为y＝﹣x+30；
函数图象如图所示：

（3）∵点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，
∴点A（a，﹣a+6），点B（b，﹣b+15），点C（c，﹣c+30），
当a≠b≠c，﹣a+6≠﹣b+15≠﹣c+30时，
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝（﹣1+）x+6﹣，
∵点A，点B，点C三点始终在一条直线上，
∴c（﹣1+）+6﹣＝﹣c+30，
∴5a+3c＝8b，
当a＝b＝c时，则点A，点B，点C共线，
当﹣a+6＝﹣b+15＝﹣c+30时，﹣2a+b+c＝33，
∴a，b，c之间的关系式为5a+3c＝8b或a＝b＝c或﹣2a+b+c＝33．

三．二次函数图象与几何变换（共1小题）
4．（2022•河北）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．

【答案】（1）对称轴是直线x＝6，y的最大值为4，a＝7；
（2）5．
【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2＝﹣（x﹣6）2+4，
∴抛物线的顶点为Q（6，4），
∴抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4，
当y＝3时，3＝﹣（x﹣6）2+4，
∴x＝5或7，
∵点P在对称轴的右侧，
∴P（7，3），
∴a＝7；

（2）∵平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2，
∴平移后的顶点Q′（3，0），
∵平移前抛物线的顶点Q（6，4），
∴点P′移动的最短路程＝QQ′＝＝5．
四．二次函数综合题（共1小题）
5．（2021•河北）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．
（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；
（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；
（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD（包括端点）上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？
[注：（2）中不必写x的取值范围]

【答案】（1）点A的横坐标为﹣2，点P会落在台阶T4上．
（2）y＝﹣x2+14x﹣38，抛物线C的对称轴与台阶T5有交点．
（3）点B横坐标的最大值比最小值大﹣2．
【解答】解：（1）图形如图所示，由题意台阶T4左边的端点坐标（4.5，7），右边的端点（6，7），
对于抛物线y＝﹣x2+4x+12，
令y＝0，x2﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或6，
∴A（﹣2，0），
∴点A的横坐标为﹣2，
当x＝4.5时，y＝9.75＞7，
当x＝6时，y＝0＜7，
当y＝7时，7＝﹣x2+4x+12，
解得x＝﹣1或5，
∴抛物线与台阶T4有交点，设交点为R（5，7），
∴点P会落在台阶T4上．

（2）由题意抛物线C：y＝﹣x2+bx+c，经过R（5，7），最高点的纵坐标为11，
∴，
解得或（舍弃），
∴抛物线C的解析式为y＝﹣x2+14x﹣38，
对称轴x＝7，
∵台阶T5的左边的端点（6，6），右边的端点为（7.5，6），
∴抛物线C的对称轴与台阶T5有交点．

（3）对于抛物线C：y＝﹣x2+14x﹣38，
令y＝0，得到x2﹣14x+38＝0，解得x＝7±，
∴抛物线C交x轴的正半轴于（7+，0），
当y＝2时，2＝﹣x2+14x﹣38，解得x＝4或10，
∴抛物线经过（10，2），
Rt△BDE中，∠DEB＝90°，DE＝1，BE＝2，
∴当点D与（7+，0）重合时，点B的横坐标的值最大，最大值为8+，
当点B与（10，2）重合时，点B的横坐标最小，最小值为10，
∴点B横坐标的最大值比最小值大﹣2．

五．四边形综合题（共2小题）
6．（2023•河北）如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB＝8，，CD＝12，DA＝6．∠A＝90°，点M在AD边上，且DM＝2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°（0＜n≤180）到MA'，∠A′MA的平分线MP所在直线交折线AB﹣BC于点P，设点P在该折线上运动的路径长为x（x＞0），连接A′P．
（1）若点P在AB上，求证：A'P＝AP；
（2）如图2，连接BD．
①求∠CBD的度数，并直接写出当n＝180时，x的值；
②若点P到BD的距离为2，求tan∠A′MP的值；
（3）当0＜x≤8时，请直接写出点A′到直线AB的距离（用含x的式子表示）．

【答案】（1）见解析；
（2）①∠CBD＝90°，x＝13； ②或；
（3）．
【解答】（1）证明：∵将线段MA绕点M顺时针旋转n° （0＜n≤180）得到MA′，
∴A′M＝AM，
∵∠A′MA的平分线MP所在的直线交折线AB﹣BC于点P，
∴∠A′MP＝∠AMP，
∵PM＝PM，
∴△A′MP≌△AMP（SAS），
∴A′P＝AP；

（2）解：①∵AB＝8，DA＝6，∠A＝90°，
∴BD＝＝10，
又∵，CD＝12，
∴BD2+BC2＝100+44＝144，CD2＝144，
∴BD2+BC2＝CD2，
∴∠CBD＝90°；
如图2所示，当n＝180时，

∵PM平分∠A′MA．∠PMA＝90°，
∴PM∥AB，
∴△DNM∽△DBA，
∴，
∵DM＝2，DA＝6，
∴，
∴，
∴，
∵∠PBN＝∠MD＝90°，∠PNB＝∠DNM，
∴△PBN∽△DMN，
∴，即 ，
∴PB＝5，
∴x＝AB+PB＝8+5＝13．
②如图所示，当P点在AB上时，PQ＝2，∠A′MP＝∠AMP，

∴AB＝8，DA＝6，∠A＝90°，
∴，
∴，
∴BP＝＝＝，
∴，
∴，
如图所示，当P在BC上时，则PB＝2，过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q，延长MP交AB的延长线于点H，

∵∠PQB＝∠CBD＝∠DAB＝90°，
∴∠QPB＝90°﹣∠PBQ＝∠DBA，
∴△PQB∽△BAD，
∴，即 ，
∴，，
∴，
∵PQ⊥AB，DA⊥AB，
∴PQ∥AD，
∴△HPQ∽△HMA，
∴，
解得：，
∴tan∠AMP＝tan∠AMP＝tan∠QPH＝＝＝，
综上所述，tan∠A′MP的值为或；

（3）解：∵当0＜x≤8时，
∴P在AB上，
如图所示，过点A′作A′E⊥AB于点E，过点M作MF⊥A′E于点F，则四边形AMFE是矩形，

∴AE＝FM，EF＝AM＝4，
∵△A′MP≌△AMP，
∴∠PA′M＝∠A＝90°，
∴∠PA′E+∠FA′M＝90°，
又∠A'MF+∠FA′M＝90°，
∴∠PA′E＝∠A′MF，
又∵∠A'E＝∠MFA＝90°，
∴△A′PE∽△MA'F，
∴＝＝，
∵A′P＝AP＝x，MA′＝MA＝4，设 FM＝AE＝y，A′E＝h，
即
∴，4（x﹣y）＝x（h﹣4），
∴，
整理得 ，
即点A′到直线AB的距离为．
7．（2022•河北）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，AB＝2，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4．

（1）求证：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且BK＝9﹣4．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
③如图3，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）①9+5π；
②（4﹣3）s；
③．
【解答】（1）证明：∵四边形ABHD是矩形，
∴AB＝DH＝2，∠DHB＝∠DHC＝90°，
在Rt△AQM中，∠Q＝90°，∠QAM＝30°，AM＝4，
∴QM＝AM＝2，
∴QM＝DH，
∵∠Q＝∠DHC＝90°，∠QAM＝∠C＝30°，
在△PQM和△CHD中，
，
∴△PQM≌△CHD（AAS）；

（2）解：①如图1中，PQ扫过的面积＝平行四边形AQQ′D的面积+扇形DQ′Q″的面积．

设QQ′交AM于点T．
∵AQ＝QM＝6，QT⊥AM，
∴AT＝AQ•cos30°＝3，
∴PQ扫过的面积＝3×3+＝9+5π；

②如图2﹣1中，连接DK．当DM运动到与DH重合时，

∵BH＝AD＝3，BK＝9﹣4，
∴KH＝3﹣（9﹣4）＝4﹣6，
∴CK＝4﹣6+6＝4，
∵CD＝2DH＝4，
∴CD＝CK，
∴∠CKD＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠KDH＝15°，
∵∠QDK＝30°﹣15°＝15°，
∴点K在△PQM区域（含边界）内的时长+＝（4﹣3）s；

③如图3中，

在Rt△CDH中，DH＝2，∠C＝30°，
∴CH＝DH＝6，
∵BH＝3，BE＝d，
∴EH＝|3﹣d|，
∵DH＝2，∠DHE＝90°，
∴DE2＝EH2+DH2＝（3﹣d）2+（2）2，
∵∠DEF＝∠CED，∠EDF＝∠C＝30°，
∴△DEF∽△CED，
∴DE2＝EF•EC，
∴（3﹣d）2+12＝EF•（9﹣d），
∴EF＝，
∴CF＝BC﹣BE﹣EF＝9﹣d﹣＝．
六．正多边形和圆（共1小题）
8．（2021•河北）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长PA7的值．

【答案】（1）比直径长．
（2）PA1⊥A7A11．证明见解析部分．
（3）12．
【解答】解：（1）由题意，∠A7OA11＝120°，
∴的长＝＝4π＞12，
∴比直径长．

（2）结论：PA1⊥A7A11．
理由：连接A1A7，A7A11，OA11．
∵A1A7是⊙O的直径，
∴∠A7A11A1＝90°，
∴PA1⊥A7A11．

（3）∵PA7是⊙O的切线，
∴PA7⊥A1A7，
∴∠PA7A1＝90°，
∵∠PA1A7＝60°，A1A7＝12，
∴PA7＝A1A7•tan60°＝12．

七．圆的综合题（共1小题）
9．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．
计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.
（1）求OC的长．
操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．
探究：在图2中．
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小．
【答案】（1）7cm；
（2）；
（3），．EF＞．
【解答】解：（1）连接OM，

∵O为圆心，OC⊥MN于点C，MN＝48cm，
∴MC＝MN＝24cm，
∵AB＝50cm，
∴OM＝AB＝25cm，
在Rt△OMC 中，OC＝＝＝7（cm）；
（2）∵GH与半圆的切点为E，
∴OE⊥GH，
∵MN∥GH，
∴OE⊥MN于点D，
∵∠ANM＝30°，ON＝25cm，
∴，
∴操作后水面高度下降高度为：；
（3）∵OE⊥MN于点D，∠ANM＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵半圆的中点为Q，
∴，
∴∠QOB＝90°，
∴∠QOE＝30°，
∴EF＝tan∠QOE•OE＝（cm），
的长为（cm），
∵＝＞0，
∴EF＞．
八．几何变换综合题（共1小题）
10．（2021•河北）在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．
论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；
发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？
尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；
拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；
②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出α的余弦值．

【答案】论证：见解答过程；
发现：60°或120°；
尝试：；
拓展：
①＝；
②．
【解答】论证：
证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（ASA），
∴AO＝BO，
∵AO+BO＝AB＝20，
∴AO＝10；
发现：①设AB的中点为O，如图：

当AD从初始位置AO绕A逆时针旋转60°时，BC也从初始位置BC'绕点B逆时针旋转60°，
而BO＝BC'＝10，
∴△BC'O是等边三角形，
∴BC旋转到BO的位置，即C与O重合，
∵AO＝AD＝CD＝10，
∴△ADC是等边三角形，
∴此时∠ADC＝60°；
②如图：

当AD从AO绕A逆时针旋转60°时，CD从CD'的位置开始也旋转60°，故△ADO和△CDO都是等边三角形，
∴此时∠ADC＝120°，
综上所述，∠ADC为60°或120°；
尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQ⊥AB于Q，过M作MN⊥AB于N，如图：

由已知可得AD＝10，BD＝BC+CD＝20，BM＝CM+BC＝15，
设AQ＝x，则BQ＝20﹣x，
∵AD2﹣AQ2＝DQ2＝BD2﹣BQ2，
∴100﹣x2＝400﹣（20﹣x）2，
解得x＝，
∴AQ＝，
∴DQ＝＝，
∵DQ⊥AB，MN⊥AB，
∴MN∥DQ，
∴＝，即＝，
∴MN＝，
∴点M到AB的距离为；
拓展：
①设直线CP交DB于H，过D作DG⊥AB于G，连接DP，连接BD，如图：

∵BC＝DC＝10，CP平分∠BCD，
∴∠BHC＝∠DHC＝90°，BH＝BD＝d，
设BG＝m，则AG＝20﹣m，
∵AD2﹣AG2＝BD2﹣BG2，
∴100﹣（20﹣m）2＝d2﹣m2，
∴m＝，
∴BG＝，
∵∠BHP＝∠BGD＝90°，∠PBH＝∠DBG，
∴△BHP∽△BGD，
∴＝，
∴BP＝＝；
②方法一：
过B作BG⊥CD于G，如图：

设AN＝t，则BN＝20﹣t，DN＝＝，
∵∠D＝∠BGN＝90°，∠AND＝∠BNG，
∴△ADN∽△BGN，
∴＝＝，
即＝＝，
∴NG＝，BG＝，
Rt△BCG中，BC＝10，
∴CG＝＝，
∵CD＝10，
∴DN+NG+CG＝10，
即++＝10，
∴t+（20﹣t）+20＝10t，
20+20＝10t，即2＝t﹣2，
两边平方，整理得：3t2﹣40t＝﹣4t，
∵t≠0，
∴3t﹣40＝﹣4，
解得t＝（大于20，舍去）或t＝，
∴AN＝，
∴cosα＝＝＝．
方法二：过C作CK⊥AB于K，过F作FH⊥AC于H，如图：

∵AD＝CD＝10，AD⊥DC，
∴AC2＝200，
∵AC2﹣AK2＝BC2﹣BK2，
∴200﹣AK2＝100﹣（20﹣AK）2，
解得AK＝，
∴CK＝＝，
Rt△ACK中，tan∠KAC＝＝，
Rt△AFH中，tan∠KAC＝＝，
设FH＝n，则CH＝FH＝n，AH＝5n，
∵AC＝AH+CH＝10，
∴5n+n＝10，
解得n＝，
∴AF＝＝n＝•＝，
Rt△ADF中，
cosα＝＝＝．
九．中位数（共1小题）
11．（2023•河北）某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，如图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．
（1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；
（2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？

【答案】（1）该部门不需要整改．
（2）监督人员抽取的问卷所评分数为5分，与（1）相比，中位数是发生了变化，由3.5分变成4分．
【解答】解：（1）由条形图可知，第10个数据是3分，第11个数据是4分，
∴中位数为3.5分，
由统计图可得平均数为＝3.5分，
∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分，
∴该部门不需要整改．
（2）监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有
，
解得x＞4.55，
∵满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．
∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分，
∵4＜5，
∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列后，第11个数据不变还是4分，即加入这个数据后，中位数是4分，
∴与（1）相比，中位数是发生了变化，由3.5分变成4分．