23第18章平行四边形小结与复习教案

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第18章平行四边形小结与复习一、教学目标(一)知识与技能：建立平行四边形及特殊平行四边形的知识框架，掌握平行四边形及特殊平行四边形的判定，并能熟练应用.(二)过程与方法：通过对几种平行四边形的回顾和思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义，性质，判定方法，正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别.(三)情感态度与价值观：在反思与交流过程中，逐渐建立知识体系，引导学生学会独立思考，通过学习，归纳，概括等数学活动，形成好的学习习惯.二、教学重点、难点重点：平行四边形及各种特殊的平行四边形的定义，性质，判定的梳理，理解.难点：平行四边形及各种特殊的平行四边形的区别.三、教学过程知识梳理一、几种特殊四边形的性质二、几种特殊四边形的常用判定方法：三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系四、其他重要概念及性质1.两条平行线间的距离：
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线间的距离.
2.三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3.直角三角形斜边上的中线：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.考点讲练考点一  平行四边形的性质与判定例1 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG.
(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；
(2)如果点G是BC的中点，且BC＝12，CD＝10，求四边形AGCD的面积.(1)证明：∵ AG∥CD，AD∥BC
∴ 四边形AGCD是平行四边形
∴ AG=CD
∵ E、F分别为AG、CD的中点
∴ EG=AG，DF=CD
∴ EG=DF且EG∥DF
∴ 四边形DEGF是平行四边形(2)解：∵ 点G是BC的中点，BC=12
∴ BG=CG=BC=6
∵ 四边形AGCD是平行四边形
∴ AG=CD=10
在Rt△ABG中，根据勾股定理=8
∴ S四边形AGCD=6×8=48例2 如图，在□ABCD中，点E在边BC上，点F在边DA的延长线上，且AF＝CE，EF与AB交于点G.
(1)求证：AC∥EF；
(2)若点G是AB的中点，BE＝6，求边AD的长.(1)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD∥BC
∴ AF∥CE
又∵ AF=CE
∴ 四边形AFEC是平行四边形
∴ AC∥EF(2)解：∵ AD∥BC，∴ ∠F=∠BEG，∠FAG=∠B
∵ 点G是AB的中点，∴ AG=BG
∴ △AGF≌△BGE (AAS)
∴ AF=BE=6
∴ CE=AF=6
∴ BC=BE+CE=12
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD=BC=12针对训练1.如图，在□ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则BC的长为(    )
  A.4cm    B.5cm  C.6cm    D.8cm 2.如图，在□ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC＝24cm，BD＝38cm，AD＝28cm，则△BOC的周长是(    )
  A.45cm    B.59cm
  C.62cm    D.90cm 3.如图①是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图②.雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB＝CD，AD＝BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论.证明：∵ AB=CD，AD=BC
∴ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD∥BC
∵ EF⊥AD
∴ EF⊥BC 4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点0，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB=OD，∠1=∠2，AE=CF.求证：(1)△BEO≌△DFO；(2)四边形ABCD是平行四边形.证明：(1) △ABEO和△DFO中，
∴ △BEO≌△DFO (ASA)(2)由(1)可知△BEO≌△DFO，∴ OE=OF
∵ AE=CF
∴ OE+AE=OF+CF
即 0A=0C
又∵ OB=OD
∴ 四边形ABCD为平行四边形考点二  三角形的中位线与Rt△斜边上的中线例3 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高.
(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；
(2)求证：∠DHF＝∠DEF.证明：(1)∵ 点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点
∴ DE、EF都是△ABC的中位线
∴ DE∥AC，EF∥AB
∴ 四边形ADEF是平行四边形(2)∵ 四边形ADEF是平行四边形
∴ ∠DEF=∠BAC
∵ D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高
∴ DH、FH分别是Rt△ABH和Rt△ACH斜边上的中线
∴ DH=AD，FH=AF
∴ ∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA
∵ ∠DAH+∠FAH=∠BAC
   ∠DHA+∠FHA=∠DHF
∴ ∠DHF=∠BAC
∴ ∠DHF=∠DEF针对训练5.如图，等边△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，则∠DEC的度数为(    )
  A.150°  B.120°   C.60°   D.30°6.如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝28°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF＝_____.7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC.若AB＝12，求EF的长．解：连接CD
∵ 点D，E分别是边AB，AC的中点，且∠ACB=90°
∴ DE∥BC，DE=BC，DC=AB
∵ CF=BC
∴ DE=CF且DE∥CF
∴ 四边形DEFC是平行四边形
∴ DC=EF
∴ EF=AB=6考点三  特殊平行四边形的性质与判定例4 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC，两线相交于点E.
(1)求证：四边形AODE是菱形；(2)连接BE，交AC于点F.若BE⊥DE于点E，求∠AOD的度数. (1)证明：∵ AE∥BD，DE∥AC
∴ 四边形AODE是平行四边形
∵ 四边形ABCD是矩形
∴ AC=BD，OA=AC，OD=BD
∴ OA=OD
∴ 四边形AODE是菱形(2)解：连接OE.
由(1)得，四边形AODE是菱形，∴ AE=AO=BO
∵ AE∥BO，∴ 四边形AEOB是平行四边形
∵ BE⊥DE，DE∥AC，∴ BE⊥AO
∴ 四边形AEOB是菱形
∴ AE=AB=BO
∴ AB=BO=AO
∴ △AOB是等边三角形
∴ ∠AOB=60°
∴ ∠AOD=180°-60°=120°例5 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.
(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论.解：(1)四边形BECF是菱形.理由如下：
∵ EF垂直平分BC，∴ BF=CF，BE=CE
∴ ∠3=∠1
∵ ∠ACB=90°，∴ ∠3+∠A=90°，∠1+∠2=90°
∴ ∠2=∠A，∴ CE=AE
∴ BE=AE
∵ CF=AE
∴ BE=CE=CF=BF
∴ 四边形BECF是菱形(2)当∠A=45°时，四边形BECF是正方形.
证明：∵ ∠A=45°，∠ACB=90°
∴ ∠CBA=45°
∵ 四边形BECF是菱形
∴ ∠EBF=2∠CBA=90°
∴ 菱形BECF是正方形方法总结正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定.针对训练8.如图，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线FC滑动，下列说法错误的是(    )
  A.四边形ACDF是平行四边形
  B.四边形ACDF不可能是正方形 
  C.当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
  D.当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为_____.10.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF；
(2)若∠AGB＝30°，求EF的长.(1)证明：∵ 四边形ABCD是正方形
∴ AB=DA
在△ABE和△DAF中∴ △ABE≌△DAF (ASA)(2)解：∵ 四边形ABCD是正方形
∴ ∠1+∠4=90°
∵ ∠3=∠4
∴ ∠1+∠3=90°
∴ ∠AFD=90°
在正方形ABCD中，AD∥BC
∴ ∠1=∠AGB=30°
在Rt△ADF中，∠1=30°，AD=2
∴ DF=1，AF=
由(1)得△ABE≌△DAF
∴ AE=DF=1
∴ EF=AF-AE=11.如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF.
(1)求证：∠ECF＝90°；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；(3)在(2)的条件下，△ABC应该满足什么条件时，四边形AECF为正方形.(1)证明：∵ CE平分∠BCA，CF平分∠ACG
∴ ∠ACE=∠BCA，∠ACF=∠ACG
∴ ∠ECF=∠ACE+∠ACF=(∠BCA+∠ACG)= 90°(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.
理由如下：
∵ MN∥BC，∴ ∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF
∵ CE平分∠BCO，CF平分∠GCO
∴ ∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF
∴ ∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC
∴ EO=CO，FO=CO，∴ OE=OF
∵ 当点O运动到AC的中点时，AO=CO
∴ 四边形AECF是平行四边形
∵ ∠ECF=90°
∴ 四边形AECF是矩形(3)解：当点O运动到AC的中点时，且满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形.
由(2)得，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形
∵ MN∥BC
∴ ∠AOE=∠ACB=90°
即 AC⊥EF
∴ 四边形AECF为正方形