初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理教案

这是一份初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理教案，共3页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学过程，教学反思等内容，欢迎下载使用。
勾股定理的逆定理
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会认识并判断勾股数，掌握勾股定理的逆定理，并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.
(二)过程与方法：通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法
的应用.
(三)情感态度价值观：在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.
二、教学重点、难点
重点：1.能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；2.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.
难点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.
三、教学过程
据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你知道为什么吗？

这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5，满足关系：32+42=52，那么围成的三角形是直角三角形.
画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试.

由上面的几个例子，我们猜想：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
命题1、命题2的题设、结论分别是什么？
我们看到，命题2与命题1的题设、结论正好相反.我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.例如，如果把命题1当成原命题，那么命题2是原命题1的逆命题.
说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确.
1.原命题：同位角相等，两直线平行.( )
逆命题：两直线平行，同位角相等.( )
2.原命题：对顶角相等.( )
逆命题：相等的角是对顶角.( )
3.原命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.( )
逆命题：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.( )
4.原命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等.( )
逆命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.( )
在图(1)中，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，要证△ABC一定是直角三角形.我们可以先画一个两条直角边长分别为a，b的Rt△A′B′C′如图(2)，如果△ABC与Rt△A′B′C′全等，那么△ABC就是一个直角三角形.

已知△ABC，BC=a，AC=b，AB=c，且a2+b2=c2.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：作Rt△A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°.
根据勾股定理，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2=c2

∴ A′B′=c

在△ABC和△A′B′C′中，
BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′

∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS)

∴ ∠C=∠C′=90°

即△ABC是直角三角形.
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2.
勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a=15，b=8，c=17；(2) a=13，b=14，c=15.
解：(1)∵ 152+82=225+64=289，172=289
∴ 152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
(2)∵ 132+142=169+196=365，152=225
∴ 132+142≠152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.
像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17；7，24，25等等.
勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 如：3，4，5；6，8，10；9，12，15；12，16，20…
例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

解：根据题意，
PQ=16×1.5=24，
PR=12×1.5=18，
QR=30.
∵ 242+182=302，即PQ2+PR2=QR2
∴ ∠QPR=90°
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
练习
1.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
解：将等式a2=c2-b2通过变形可得a2+b2=c2. 根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成的三角形是直角三角形.
2.说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等.
解：(1)逆命题：内错角相等，两条直线平行，此命题成立；(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，此命题不成立；(3)逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形，此命题不成立.
3.A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方 向，C地在B地的什么方向？
解：∵ 52+122=25+144=169，132=169
∴ 52+122=132，即BC2+AB2=AC2
∴ ∠B=90°
∵ A地在B地的正东方向
∴ C地在B地的正北方向
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
在本课时教学过程中，应以师生共同探讨为主. 激励学生回答问题，激发学生的求知欲.课堂上师生互动频繁，既保证课堂教学进度，又提高课堂学习效率. 学生在探讨过程中也加深了对知识的理解和记忆.