2024年新高考数学一轮复习讲义 专题03 等式与不等式的性质

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专题03 等式与不等式的性质
【命题方向目录】
命题方向一：不等式性质的应用
命题方向二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
命题方向三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
命题方向四：不等式的综合问题
命题方向五：糖水不等式
【2024年高考预测】
2024年仍将与集合运算结合重点考查一元二次不等式解法与分段函数不等式的解法，基本不等式多在解析几何、函数最值中考查，难度为基础题或中档题．
【知识点总结】
1、两个实数比较大小的方法
作差法
2、等式的性质
性质1 对称性：如果，那么；
性质2 传递性：如果，那；
性质3 可加（咸）性：如果，那么；
性质4 可乘性：如果，那么；
性质5 可除性：如果，那．
3、不等式的性质
性质1 对称性：；
性质2 传递性：；
性质3 可加性：；
性质4 可乘性：；
性质5 同向可加性：；
性质6 同向同正可乘性：；
性质7 同正可乘方性：．
【方法技巧与总结】
1、若，且
2、若；
若
【典例例题】
命题方向一：不等式性质的应用
【通性通解总结】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数性质进行判断．
3、小题可以用特殊值法做快速判断．
例1．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）若实数、满足，则下列不等式中成立的是（    ）
A． B．
C． D．
例2．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）若，，，且，则下列不等式一定成立的是（    ）
A． B． C． D．
例3．（2023·江西·统考模拟预测）已知，则下列不等式一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）两两不同的满足：且满足，．则下列一定成立的是（    ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，，且，则
变式3．（2023·北京朝阳·统考一模）若，则（    ）
A． B． C． D．
命题方向二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
【通性通解总结】
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：
若，则；；；
若，则；；．
例4．（2023·全国·高三专题练习）若,则将从小到大排列为______.
例5．（2023·全国·高三专题练习）设，，则s与t的大小关系是________.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知,，则,的大小关系是 _____．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
变式5．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；
（2）设x，，比较与的大小.




变式6．（2023·全国·高三专题练习）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．




命题方向三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【通性通解总结】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系．
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知，，的取值范围是_______________
例8．（2023·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）若实数x、y满足，，则的取值范围是_____．
例9．（2023·上海·高三专题练习），，则的最小值是___________.
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知实数、满足，，则的取值范围为______．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是__________．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围为__________．
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则的取值范围是_________.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）设x，y为实数，满足，，则的最小值是______.
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________．
命题方向四：不等式的综合问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）若实数满足，，则的最大值为______．
例11．（多选题）（2023·山东·校联考二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ）
A． B． C． D．
例12．（多选题）（2023·广东惠州·统考一模）若，则（    ）
A． B．
C． D．
变式14．（多选题）（2023·山东潍坊·统考二模）已知实数，则（    ）
A． B． C． D．
变式15．（多选题）（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（    ）
A． B．
C． D．
变式16．（多选题）（2023·福建·统考模拟预测）已知，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．的最小值为6
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a的最大值是__．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）若，，设，则的最小值为__．
变式19．（多选题）（2023·辽宁·校联考二模）已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
命题方向五：糖水不等式
【通性通解总结】
糖水不等式：若，，则一定有，或者．
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知糖水中含有糖，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
例14．（2023·四川凉山·统考一模）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，).若，，，则
A． B．
C． D．
例15．（2023·山西·统考一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如_________（填“＞”“＜”）．
变式20．（2023·福建·高三校联考阶段练习）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出___________(用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·天津·统考一模）设，，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南·模拟预测）已知正实数x，y满足，设，，（其中为自然对数：），则a，b，c的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）“”的一个充分条件可以是（    ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）若实数a，b，c满足，则下列结论一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
6．（2023·贵州铜仁·高三统考期末）已知实数x，y分别是方程的解，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）某城市有一个面积为的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），现在在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道的宽度使矩形草坪为黄金矩形？则下列选项正确的是（    ）
A．步行道的宽度 B．步行道的宽度
C．步行道的宽度 D．草坪不可能为黄金矩形
8．（2023·全国·高三专题练习）若实数x，y满足，则的取值范围（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知a，b，，则下列说法正确的是（    ）
A．若，，则 B．若，则
C． D．
10．（2023·全国·模拟预测）已知为实数，且，则下列不等式正确的是（    ）
A． B．
C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足则（    ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
12．（2023·湖南永州·统考三模）已知，下列命题为真命题的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）若整数x满足，则x的值是________
14．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围是__________
15．（2023·北京房山·统考一模）能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，，满足则的取值范围是________．（用区间表示）
四、解答题
17．（2023·河北·高三统考学业考试）已知，，分别求
(1)
(2)
(3)的取值范围.




18．（2023·全国·高三专题练习）比较与)的大小.




19．（2023·全国·高三专题练习）已知，，．
（1）试比较与的大小，并证明；
（2）分别求，的最小值．




20．（2023·全国·高三专题练习）已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与的取值范围.




21．（2023·全国·高三专题练习）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求该直角三角形的面积”，求出面积6后，它的一个“逆向”问题可以是“若直角三角形的面积为6，一条直角边长为3，求另一条直角边的长”.试给出问题“已知，若，求的取值范围”的一个“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.




22．（2023·全国·高三专题练习）已知下列三个不等式：①；②；③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明.