2024年新高考数学一轮复习讲义 专题01 集合

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专题01 集合
【命题方向目录】
命题方向一：集合的表示：列举法、描述法
命题方向二：集合元素的三大特征
命题方向三：元素与集合间的关系
命题方向四：集合与集合之间的关系
命题方向五：集合的交、并、补运算
命题方向六：集合与排列组合的密切结合
命题方向七：集合的创新定义
【2024年高考预测】
1、考查两个几何关系的判定或子集的个数问题
2、常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合重点考查集合的交集运算，也可能考查集合的并集、补集运算
【知识点总结】
1、集合与元素
某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，通常用大写字母，，，．．．表示．集合中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母，，，．．．表示．
2、集合的分类
集合按元素多少可分为：有限集（元素个数有限）、无限集（元素个数无限）、空集（不含任何元素）；也可按元素的属性分，如：数集（元素是数），点集（元素是点）等．
3、集合中元素的性质
对于一个给定的集合，它的元素具有确定性、互异性、无序性．
4、常用集合符号
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号

或



5、元素与集合之间的关系
元素与集合之间用“”或“”连接，元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小或相等关系．
6、集合与集合之间的关系
（1）包含关系：如果对任意，都有，则称集合是集合的子集，记作，显然，；
（2）相等关系：对于集合、，如果，同时，那么称集合等于集合，记作；
（3）真包含关系：对于集合、，如果，并且，我们就说集合是集合的真子集，记作；
（4）空集是任何非空集合的真子集．
7、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
8、集合表示方法：列举法、描述法、Venn图．
9、集合之间的运算性质
（1）交集：，，，，，．
（2）并集：，，，，，．
（3）补集的运算性质：，，，，．
【秒杀总结】
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
【典例例题】
命题方向一：集合的表示：列举法、描述法
【通性通解总结】
1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然．
2、描述法，注意代表元素．
例1．（2023·新疆·校联考二模）集合，为1~10以内的质数}，记，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为为1~10以内的质数}，又，
则，对比选项可知，，即D正确，ABC错误.
故选：D.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则集合B中所有元素之和为（    ）
A．0 B．1 C．－1 D．
【答案】C
【解析】根据条件分别令，解得，
又，所以，，
所以集合B中所有元素之和是，
故选：C．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合A的子集的个数为（    ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【解析】集合，
则集合A的子集有：，共8个，
所以集合A的子集的个数为8.
故选：D
变式1．（2023·广东茂名·高三统考阶段练习）设集合，，集合，则中所有元素之和为（    ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【解析】当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
所以，中所有元素之和为7.
故选：C.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
,
故选：C
变式3．（2023·河北·高三统考学业考试）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（    ）
A．
B．或
C．
D．
【答案】C
【解析】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，
选项中除去的是四条线；
选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；
选项，则且，即除去两点､，符合题意；
选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点．
故选：C
命题方向二：集合元素的三大特征
【通性通解总结】
1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性．
2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系．
例4．（2023·全国·高三专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【解析】根据集合中元素的互异性得，
故三角形一定不是等腰三角形.
故选：A.
例5．（2023·全国·高三专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
故中元素的个数为.
故选：B.
例6．（2023·河南新乡·高三校联考开学考试）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
当时，，得；
当时，则.
故实数x的取值集合为.
故选：B
变式4．（2023·全国·高三专题练习）设集合， ，则集合元素的个数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】当时，y＝1；
当时，y＝0；
当x＝3时，．
故集合B共有3个元素．
故选：B.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值的集合为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】集合，，
又∴或，解得或或，
当时，，，，符合题意
当时，，，，不符合题意
当时，，，不满足集合元素的互异性，不符合题意.
，则实数的取值的集合为.
故选：D.
命题方向三：元素与集合间的关系
【通性通解总结】
1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别．
2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数，是 还是 ．
例7．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合下列关系正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以A、C错误，
因为，所以，所以B错误，
又，所以，所以D正确，
故选:D．
例8．（2023·新疆·校联考二模）集合，，记，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，解得，又，所以，
而，则，即，
对比选项可知，D正确，而A、B、C错误．
故选：D．
例9．（2023·河北石家庄·统考一模）设全集，若集合满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，
显然4是中的元素，故ABD错误，C正确.
故选：C
变式6．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，且，
解得，
故选：B
变式7．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，
易知图中阴影部分对应的集合为且，选项D正确，
故选：D
变式8．（2023·河北·高三学业考试）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误；
，为自然数及有理数，③④正确.
故选：C.
命题方向四：集合与集合之间的关系
【通性通解总结】
1、注意子集和真子集的联系与区别．
2、判断集合之间关系的两大技巧：
（1）定义法进行判断
（2）数形结合法进行判断
例10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若非空集合满足：，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由可得：，由，可得，则推不出，故选项错误；
由可得，故选项正确；
因为且，所以，则，故选项正确；
由可得：不一定为空集，故选项错误；
故选：.
例11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由题意集合，，
因为，所以当时，，即 ；
当时，有 ，解得，
故,则M的一个真子集可以是或，
故选：BC.
例12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，若，则实数的取值可能为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】ACD
【解析】由得，解得或，故，
因为，所以，
当时，得，满足题意；
当时，得，则，
所以或，得或；
综上：或或.
故选：ACD.
变式9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）设Z表示整数集，且集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】∵，由，则，
即中元素都是中元素，有；．
而对于集合，当时，，故，但，∴
由，有，A选项正确； , B选项错误；
由，有，∴， ，C选项错误，D选项正确.
故选：AD．
变式10．（多选题）（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（    ）
A． B． C．- D．0
【答案】BCD
【解析】设，,
因为p是q的必要条件，所以，
当时，由无解可得，符合题意；
当时，或，当时，由解得，
当时，由解得.
综上，的取值为0，，.
故选：BCD
变式11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）设集合，则 （    ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】，
对A，由，等式不成立，故，A错；
对BCD，当为奇数时，可令，则；当为偶数时，可令，则.
故，且，BD对C错；
故选：BD
变式12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列关系式错误的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】A选项由于符号用于元素与集合间，是任何集合的子集，所以应为，A错误；
B选项根据子集的定义可知正确；
C选项由于符号用于集合与集合间，C错误；
D选项是整数集，所以正确.
故选：AC.
变式13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）设，，若，则实数的值可以为（    ）
A．2 B． C． D．0
【答案】BCD
【解析】集合，，，
又，
所以，
当时，，符合题意，
当时，则，所以或，
解得或，
综上所述，或或,
故选：
变式14．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若时，则或
【答案】ABC
【解析】，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确.
故选：ABC．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，，则实数a的值是________
【答案】
【解析】因为，且，
所以，，
因为，，
所以，解得.
当时，，满足要求.
所以.
故答案为：.
变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值构成的集合为___________.
【答案】
【解析】∵集合，
∴集合，
∵，，
∴，或，或三种情况，
当时，可得；
当时，∵，∴，∴；
当，，∴；
∴实数m的取值构成的集合为，
故答案为：
命题方向五：集合的交、并、补运算
【通性通解总结】
1、注意交集与并集之间的关系
2、全集和补集是不可分离的两个概念
例13．（2023·安徽·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，，
所以，，
所以.
故选：A.
例14．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：
故选：D
例15．（2023·安徽宣城·高三统考期末）已知，集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为或}，
所以，又
所以.
故选：D.
变式17．（2023·江西吉安·统考一模）已知全集.设集合,则(   )
A． B．或
C．或 D．
【答案】D
【解析】由不等式,
解得,
∴或;
由不等式,
解得或,
∴.
故选:D.
变式18．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）设全集，，，则集合为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为全集，
由知，，；
由知，，，
则集合，
故选：C.
变式19．（2023·贵州·校联考二模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由图可得，图中阴影部分表示的集合为，
因为，所以，
因为，所以或，
所以.
故选：B.
变式20．（2023·全国·高三专题练习）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】设集合{参加足球队的学生}，
集合{参加排球队的学生}，
集合{参加游泳队的学生}，
则，

设三项都参加的有人，即，，
所以由
即，
解得，
三项都参加的有4人，
故选：C.
变式21．（2023·全国·高三专题练习）如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由Venn图可得，集合表示的交集与的补集的交集，即.
故选：C
命题方向六：集合与排列组合的密切结合
【通性通解总结】
利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方法
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， 设 整除 或 整除 ， 令 表示集合 所含元素的个数， 则 _____.
【答案】
【解析】表示集合所含元素的个数，
其中，，
整除的有共个.
整除的：
（1）整除的有个；
（2）整除的有个；
（3）整除的有个.
重复的有共个.
所以.
故答案为：
例17．（2023·上海·高三专题练习）设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________.
【答案】
【解析】集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种，
若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况，
若集合中只含个偶数，共种情况；
若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况；
若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况.
因为是的偶子集，分以下几种情况讨论：
若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为；
若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种；
若集合中的元素是个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种.
综上所述，满足条件的集合的个数为.
故答案为：.
例18．（2023·全国·高三专题练习）对任何有限集S，记p（S）为S的子集个数．设M＝{1，2，3，4}，则对所有满足A⊆B⊆M的有序集合对（A，B），p（A）p（B）的和为____
【答案】2401
【解析】当B为n（0≤n≤4）元集时，则p（B）＝2n，且B集合的个数为
又A⊆B
则①A为n元集时，则p（A）＝2n且A的个数为
②A为n﹣1元集时，则p（A）＝2n﹣1且A的个数为
以此类推
③A为元集时，p（A）＝20且A的个数为
则p（A）p（B）＝2n（+…+）
＝
＝
当n依次取0，1，2，3，4时
p（A）p（B）的和为+…+＝2041
故答案为：2401．
变式22．（2023·高三课时练习）从集合选出5个数组成的子集，使得这5个数的任两个数之和都不等于11，则这样的子集有 个．
【答案】32个；
【解析】集合{1,2,…,10}中和是11的有：
1+10，2+9，3+8，4+7，5+6，
选出5个不同的数组成子集，就是从这5组中分别取一个数，而每组的取法有2种，
所以这样的子集有：
2×2×2×2×2=32
故这样的子集有32个
故答案为：32
命题方向七：集合的创新定义
【通性通解总结】
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意．读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化．
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解．
例19．（2023·湖南长沙·高三校联考期中）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；
（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；
真命题的个数为________
【答案】3
【解析】（1）当时，属于数域，故（1）正确，
（2）若数域有非零元素，则，
从而，故（2）正确；
（3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误，
（4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确，
故真命题的个数是3.
故答案为：3
例20．（2023·全国·高三专题练习）对于非空集合，其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①ÜA；②，则称为的一个“保均值真子集”，据此，集合的“保均值真子集”有__个．
【答案】
【解析】因为集合，则，
所以，集合的“保均值真子集”有：、、、、
，，共个.
故答案为：.
例21．（2023·全国·高三专题练习）非空集合G关于运算满足：（1）对任意，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
①{非负整数}，为整数的加法；
②{偶数}，为整数的乘法：
③{平面向量}，为平面向量的加法；
④{二次三项式}，为多项式的加法；
⑤{虚数}，为复数的乘法
其中G关于运算为“融洽集”的是_____________．（写出所有“融洽集”的序号）
【答案】①③
【解析】对于①，{非负整数}，为整数的加法；当，都为非负整数时，，通过加法运算还是非负整数，且存在一整数有，所以①为“融洽集”；
对于② ，{偶数}，为整数的乘法，由于任意两个偶数的积仍是偶数，故满足条件（1),但不存在偶数,使得一个偶数与的积仍是此偶数，故不满足条件（2),故不满足“融洽集”的定义；
对于③，{平面向量}，为平面向量的加法；若，为平面向量，两平面向量相加仍然为平面向量，且存在零向量通过向量加法满足条件（2）；所以③为“融洽集”；
对于④，{二次三项式}，为多项式的加法；由于两个二次三项式的和不一定是二次三项式，如与的和为 ,不满足条件（1),故不满足“融洽集”的定义；
对于⑤，{虚数}，为复数的乘法；两个虚数相乘得到的可能不是虚数，例如：，故不满足“融洽集”的定义；
故答案为：①③
变式23．（2023·全国·高三专题练习）设集合，如果满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点，则下列集合中：
(1)；(2)；(3)；(4)．
以0为聚点的集合有______（写出所有你认为正确结论的序号）
【答案】(2)(4)【解析】对于(1)：当时，或，
显然或，
即不存在，使得，故(1)错误；
对于(2)：∵或，
此时令或，
故对任意，都存在，使得成立，故(2)正确；
对于(3)：因为，
所以当时，或，
此时或，
即不存在 ，使得，故(3)错误；
对于(4)：∵或，
故当时，即时，总有或，故(4)正确.
故答案为：(2)(4).
变式24．（2023·全国·高三专题练习）给定数集 ，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是______：
①集合是闭集合；
②正整数集是闭集合；
③集合是闭集合；
④若集合、为闭集合，则为闭集合．
【答案】③
【解析】对于①，，，所以错误；
对于②，因为正整数减正整数可能不为正整数，所以错误，
对于③，当时，设，
则，所以集合是闭集合，所以正确；
对于④, 设，
由③可知，集合为闭集合，，而，故不为闭集合，所以错误．
故答案为：③.
变式25．（2023·全国·高三专题练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论.
①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”.
其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）.
【答案】①③④
【解析】对于①，，则，①正确；
对于②，，则，②不正确；
对于③，任意整数除以，余数可以且只可以是四类，
则，③正确；
对于④，若整数、属于同一“类”，
则整数、被除的余数相同，可设，，其中、，，
则，故，
若，不妨令，
则，
显然，于是得，，即整数属于同一“类”，
“整数属于同一“类””的充要条件是“”，④正确．
正确的结论是①③④.
故答案为：①③④.

【过关测试】
一、单选题
1．（2023·山东青岛·统考模拟预测）设集合，，则集合中元素的个数为（    ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】因为集合，，
所以集合中元素为，共4个.
故选：C
2．（2023·陕西榆林·统考三模）已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以．
故选:A.
3．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，知.
故选：D
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知集合，，则的子集的个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为，所以，
即，，
所以，所以的子集个数为.
故选：D
5．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知全集，集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，则.
故选：B
6．（2023·陕西宝鸡·统考三模）已知集合，集合，则等于（    ）
A． B． C．． D．
【答案】B
【解析】由，解得，
因为集合，集合，
所以.
故选：B
7．（2023·山东菏泽·统考二模）已知全集，集合，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】集合，而全集，
所以.
故选：A
8．（2023·湖南怀化·统考二模）已知集合，则的真子集共有（    ）
A．3个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以的真子集共有个.
故选：C.
9．（2023·陕西·统考一模）在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是集合的子集，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，
即，解得，
由题设知，解得.
故选：C.
10．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设A、B、C是三个集合，若，则下列结论不正确的是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】,,
,
，故B正确；
，,
,故AD正确；
故选：C
11．（2023·辽宁丹东·统考一模）已知集合，，若且，则（    ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【解析】当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，又，且，
则，故得取值范围为，故符合条件的.
故选：D.
12．（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知，，且，满足这样的集合的个数（    ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】根据题意可知，集合还应包含集合中除元素1，2之外的其他元素；
若集合中有三个元素，则可以是；
若集合中有四个元素，则可以是；
若集合中有五个元素，则可以是；即这样的集合的个数为7个.
故选：B
13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）已知集合，若，则实数的取值集合为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】集合，
又，，
所以，故实数a的取值集合为，
故选：C.
二、多选题
14．（2023·山东潍坊·统考一模）若非空集合满足：，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由可得：，由，可得，则推不出，故选项错误；
由可得，故选项正确；
因为且，所以，则，故选项正确；
由可得：不一定为空集，故选项错误；
故选：.
15．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（    ）
A． B． C．- D．0
【答案】BCD
【解析】设，,
因为p是q的必要条件，所以，
当时，由无解可得，符合题意；
当时，或，当时，由解得，
当时，由解得.
综上，的取值为0，，.
故选：BCD
16．（2023·全国·高三专题练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，
所以选项AD正确，选项CD不正确，
故选：AD.

17．（2023·全国·高三专题练习）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】当时，，,所以与构成“全食”；
当时，，如果，与构成“全食”；如果，，此时与构成 “偏食”；
当时，如果则，，，所以与构成“全食”；如果则，，所以选项A错误；
故选：BCD
18．（2023·全国·高三专题练习）已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（   ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【解析】（1）由①，则由②，，，由③得，故A正确；
（2）由（1）可知，故B错误；
（3）由①知，，，，，
即，故C正确；
（4），则，由③可得，，，
即，，即，；
由（3）可知当，，，
当，可得，，
故D正确．
故答案为：ACD
19．（2023·全国·高三专题练习）非空集合G关于运算满足：（1）对任意a，，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”.现给出下列集合和运算，其中G关于运算为“融洽集”的是（    ）
A．，为实数的乘法 B．，为整数的加法
C．，为整数的乘法 D．，为多项式的加法
【答案】AB
【解析】对于，，为实数的乘法满足（1），且存在满足（2），故是关于运算⊕的融洽集，正确，
对于，非负整数，为整数的加法满足（1），且存在满足（2），故是关于运算⊕的融洽集，正确，
对于，偶数，为整数的乘法，若存在满足（2），则为奇数，与已知矛盾，故不是关于运算⊕的融洽集，错误，
对于，，为多项式的加法．两个二次三项式的和不一定是二次三项式，不满足（1），故不是关于运算⊕的融洽集，错误，
故选：．
三、填空题
20．（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）若集合，则______.
【答案】
【解析】或，
，
.
故答案为：.
21．（2023·上海徐汇·统考二模）已知集合，，则_________.
【答案】/
【解析】，，
所以.
故答案为：
22．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则__________
【答案】
【解析】，
，
.
故答案为：.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则_________
【答案】
【解析】由，则，故，即，
所以，则，
由对数、根式的性质知：，即，
所以.
故答案为：
24．（2023·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意知，可得.
故答案为：
25．（2023·高三课时练习）已知集合，，且，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为，则.
当时，即当时，，满足题意；
当时，即当时，，
由可得，解得，此时.
综上所述，.
故答案为：.
26．（2023·高三课时练习）已知集合，，若，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意，集合，
又因为，集合
当时，即，解得，此时符合题意；
当时，要使得，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围.
故答案为：.