2024年新高考数学一轮复习讲义 专题06 函数的概念

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专题06函数的概念
【命题方向目录】
命题方向一：函数的概念
命题方向二：同一函数的判断
命题方向三：给出函数解析式求解定义域
命题方向四：抽象函数定义域
命题方向五：函数定义域的应用
命题方向六：函数解析式的求法
方向1．待定系数法（函数类型确定）
方向2．换元法或配凑法（适用于了型）
方向3．方程组法
方向4．求分段函数的解析式
方向5．抽象函数解析式
命题方向七：函数值域的求解
方向1．观察法
方向2．配方法
方向3．图像法（数形结合）
方向4．基本不等式法
方向5．换元法（代数换元与三角换元）
方向6．分离常数法
方向7．判别式法
方向8．单调性法
方向9．有界性法
方向10．导数法
命题方向八：分段函数的应用
方向1．求值问题
方向2．求参数问题
方向3．解不等式问题
【2024年高考预测】
2024年高考仍重点考查分段函数求值、不等式、方程问题，注意函数定义域、值域与最值方法的复习．
【知识点总结】
1、函数的概念
（1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应关系，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为．
（2）函数的实质是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．
（3）函数表示法：函数书写方式为，．
（4）函数三要素：定义域、值域、对应关系．
（5）相等函数：两个函数只有在定义域和对应关系都相同时，两个函数才相等．
2、函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3、分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
【方法技巧与总结】
1、直线与函数的图象至多有1个交点．
2、在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3、分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
4、函数值域的求法主要有以下几种
（1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域．
（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域．
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等．
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数．
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析．
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）．
（8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法．
（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法．
（10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域．
【典例例题】
命题方向一：函数的概念
例1．（2023·全国·高三专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数；
对于B选项，时，，有两个y与之对应，不是函数；
对于C选项，当时，不存在，不是函数；
对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数.
故选：A
例2．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数的定义，对任意，按，在的范围中必有唯一的值与之对应，，则，则的范围要包含，
故选：A．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A是函数图象，其值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；
B是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意；
C是函数图象，值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；
D是函数图象，值域为，故不符合题意.
故选：B
变式1．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在原点处的切线斜率为，切线方程为
当绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角大于，则旋转所成的图像与轴就会有两个交点，则曲线不再是函数的图像.
所以的最大值为.

  
故选：B.
变式2．（2023·山东潍坊·统考一模）存在函数满足：对任意都有（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，当时，；当时，，
不符合函数定义，A错误；
对于B,令，则，令，则，
不符合函数定义，B错误；
对于C, 令，则，令，则，
不符合函数定义，C错误；
对于D, ,,则，则存在时，，
符合函数定义，即存在函数满足：对任意都有，D正确，
故选：D
【通性通解总结】
利用函数概念判断
命题方向二：同一函数的判断
例4．（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数是同一函数的是（    ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【解析】对于选项A，因为而一个x对多个y，不是函数，所以它们不是同一函数．
对于选项B，因为的定义域为，而的定义域为，所以它们不是同一函数．
对于选项C，因为，所以，所以两个函数的定义域均为，又，所以它们是同一函数．
对于选项D，因为的定义域为，而的定义域为，所以它们不是同一函数．
故选：C．
例5．（2023·全国·高三专题练习）下列每组中的函数是同一个函数的是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为[0，+∞），所以这两个函数不是同一个函数；
对于B，因为，且，的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；
对于C，，和的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于D，函数的定义域为{，且}，函数的定义域为R，
所以这两个函数不是同一个函数.
故选：B.
例6．（2023·上海奉贤·统考一模）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【解析】A选项，函数的定义域为；函数的定义域为，不是相同函数.
B选项，函数的定义域为；函数的定义域为，不是相同函数.
C选项，函数的定义域为；函数的定义域为，不是相同函数.
D选项，由于，所以与的定义域、值域都为，对应关系也相同，
所以与是相同函数.
故选：D
变式3．（2023·广东·高三统考学业考试）下列函数中，与 是同一个函数的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于 B，函数，与函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于 C，函数，与函数的对应关系不同，不是同一个函数；
对于 D，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数.
故选：B.
【通性通解总结】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．
命题方向三：给出函数解析式求解定义域
例7．（2023·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】对于函数，有，解得.
故函数的定义域为.
故答案为：.
例8．（2023·上海徐汇·统考三模）函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】函数中，，即，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
例9．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为______．
【答案】
【解析】由，得，
故函数的定义域为：．
故答案为：
变式4．（2023·全国·高三专题练习）若，则_________.
【答案】或
【解析】由有意义可得
，
所以或，
当时，，，
当时，，，
故答案为：或.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，则函数的定义域为______.
【答案】
【解析】解法1：由函数，则满足，可得，
即函数的定义域为，
对于函数，令，即，解得，
即函数的定义域为.
解法2：由，，
可得，
令，解得，所以的定义域为.
故答案为：.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设有，
由得，故选A.
【通性通解总结】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成集合或区间的形式．
命题方向四：抽象函数定义域
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数定义域为，则函数的定义域为______.
【答案】
【解析】因为函数定义域为，由得
定义域为
则函数的定义域满足，解得
定义域为.
故答案为：.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为[－2,2]，则函数的定义域为______.
【答案】
【解析】令，得，从而，
所以函数的定义域为.
故答案为：
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.
【答案】
【解析】因为的定义域为，
要使有意义，
则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
变式7．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则的定义域为________.
【答案】
【解析】由于函数的定义域为，则，所以函数的定义域为，
则函数中，所以，即的定义域为.
故答案为：.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为____________.
【答案】
【解析】对于，因为，所以由的单调性得，即，
所以对于，有，即，
由的单调性得，解得，
所以的定义域为.
故答案为：.
【通性通解总结】
1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域
2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．
命题方向五：函数定义域的应用
例13．（2023·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】由，可知，
解得，
故答案为：.
例14．（2023·河北·高三学业考试）函数的定义域为，则实数的值为______．
【答案】
【解析】的定义域满足：，解集为，
故且，解得.
故答案为：
例15．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为函数的定义域是.
所以不等式恒成立．
所以，当时，不等式等价于，显然恒成立；
当时，则有，即，解得.
综上，实数a的取值范围为.
故答案为:
变式9．（2023·全国·高三专题练习）函数定义域为R，则实数k的取值范围为______.
【答案】
【解析】因为函数定义域为R，
所以在R上恒成立，
所以，解得.
故答案为：.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是________．
【答案】
【解析】有函数解析式知要使定义域为R，则恒成立，结合二次函数的性质即可求参数a的范围.当时，，即定义域为R；
当，要使的定义域为R，则在上恒成立，
∴，解得，
综上，有，
故答案为：
变式11．（2023·高三课时练习）若函数f(x) =的定义域为R，则的取值范围为_______.
【答案】
【解析】恒成立，恒成立，

变式12．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为函数的定义域为 R，所以的解为R，
即函数的图象与x轴没有交点，
（1）当时，函数与x轴没有交点，故成立；
（2）当时，要使函数的图象与x轴没有交点，则，解得.
综上：实数的取值范围是.
故答案为：
【通性通解总结】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论．
命题方向六：函数解析式的求法
方向1．待定系数法（函数类型确定）
例16．（2023·全国·高三专题练习）若是上单调递减的一次函数，且，则______.
【答案】
【解析】因为是上单调递减的一次函数，所以可设，
所以，
又因为，所以恒成立，
所以，因为，所以，.
所以.
故答案为：
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(1)＝____．
【答案】9
【解析】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立．
∴，解得∴f(x)＝2x＋7，从而得f(1)＝9.
故答案为：9
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为______.
【答案】
【解析】根据题意可知，
又恒相等，
化简得到恒相等，
所以，故，，，
所以的解析式为.
故答案为：.
变式13．（2023·全国·高三专题练习）某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到__________．
【答案】300
【解析】由已知第一年有100只，得a＝100.
将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300.
答案：300.
方向2．换元法或配凑法（适用于了型）
变式14．（2023·全国·高三专题练习）若，则f(x)＝________.
【答案】且
【解析】令，则，
因为，所以，
又且，所以且，
所以且，
故答案为：且
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的解析式为______．
【答案】
【解析】设，则，，∵，
∴，，即，．
故答案为：
变式16．（2023·全国·模拟预测）已知，则______．
【答案】/2.5
【解析】由题意得，，
令，由，得，
∴．
故答案为：.
变式17．（2023·全国·高三专题练习），则_______．
【答案】
【解析】令，
于是有，
故答案为：
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________.
【答案】，
【解析】
又当且仅当，即时等号成立.
设，则，所以
所以
故答案为：，
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为_______
【答案】
【解析】令，则，且，
所以，
所以，
故答案为：.
变式20．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数单调递增，且对，有，则___________.
【答案】
【解析】根据题意，对，有
又是定义在R上的单调增函数
R上存在常数a使得
，，解得


故答案为：.
变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值等于___.
【答案】7
【解析】，
令，当时，，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当时取等号，
，，
，
则
故答案为：7
变式22．（2023·全国·高三专题练习）设若，则_________.
【答案】
【解析】令，
，

，

变式23．（2023·安徽安庆·高三校联考阶段练习）已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（）
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【解析】令，可以求得，即可求出解析式，进而求出函数值.根据题意，令，为常数，
可得，且，
所以时有，
将代入，等式成立，
所以是的一个解，
因为随的增大而增大，所以可以判断为增函数，
所以可知函数有唯一解，
又因为，
所以，即，
所以.
故选：B.
方向3．方程组法
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知对任意的实数a均有成立，则函数的解析式为________．
【答案】
【解析】由，①
得，
即，②
得：，
所以，
令，则，
所以.
故答案为：.
变式25．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数满足，则___________.
【答案】
【解析】因为定义在上的函数满足，
将换成可得：，将其代入上式可得：
，
所以，
故答案为：.
变式26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为___________.
【答案】f(x)=2x
【解析】根据题意3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，
用x+2代替x可得3f(x+1)+2f(﹣1﹣x)=2x+4，…①
用﹣x代替x可得3f(﹣x﹣1)+2f(1+x)=﹣2x…②
①②消去f(﹣1﹣x)可得：5f(1+x)=10x+12，
∴f(x+1)=2x2(x+1)，
f(x)=2x，
故答案为：f(x)=2x.
变式27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则___________.
【答案】/
【解析】因为①，
所以②，
②①得，．
故答案为：．
变式28．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数f(x)的解析式为___________.
【答案】
【解析】以代替得出，与已知等式联立，解出函数f(x)的解析式．∵，①
∴，②
①×3﹣②×5，得：
﹣16f(x)=﹣10x﹣2，
∴
故答案为：
变式29．（2023·全国·高三专题练习）设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数是一个偶函数，是一个奇函数，
所以，，
因为①，
则②，
所以①+②得，
所以．
故选：A．
变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，其中且，则函数的解析式为__________
【答案】
【解析】由题意，用代换解析式中的，可得，…….（1）
与已知方程，……（2）
联立（1）（2）的方程组，可得，
令，则，所以，
所以.
故答案为：.
变式31．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为_______．
【答案】．
【解析】∵定义在上的单调函数，对任意都有，
令，则，
在上式中令，则，解得，
故，
由得，即，
在同一坐标系中作出函数和的图像，

  
可知这两个图像有2个交点，即和，
则方程的解集为．
故答案为：.
变式32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的连续单调函数，若，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】是定义在上的连续单调函数，
存在唯一，使得，故令，，，在上单调递增，且，
，
故的解集为.
故答案为：
方向4．求分段函数的解析式
变式33．（2023·上海徐汇·高一统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，其中．用直线l：（）截这个正方形，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点D部分的面积记为S，将S表示为t的函数，则其解析式为________________．

【答案】
【解析】由题意可知为等腰直角三角形，,
当直线在的左侧时，即直线与正方形的交点在上时，
即当 时，直线的左侧为等腰直角为三角形，
此时，
当直线与正方形的交点在上时，
即，直线的左侧为五边形，
则，
所以S表示为t的函数解析式为，
故答案为：.
变式34．（2023·黑龙江七台河·高三校考期中）设函数，且，，求的解析式．
【解析】因为函数解析式为，则，则，
由可得，，解得，所以.
变式35．（2023·宁夏吴忠·高一统考期中）已知和是定义域为的二次函数，函数图象过点，，且，，
(1)求的解析式
(2)，用表示中较大者，记为，
①求
②写出的函数解析式，并指出的最小值（不用写理由）
【解析】（1）设，
因为函数图象过点，，
，，
可知对称轴为，则，
解得，所以.
（2）①由（1）可知，
当时，即，解得或；
当时，即，解得；
所以，
所以.
②由①可得，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
综上所述：的最小值是.
变式36．（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）给定函数
(1)判断的单调性并证明
(2)在同一坐标系中画出的图像
(3)任意的，用表示的较小者，记为，请写出的解析式.
【解析】（1）判断: 在定义域上单调递增，证明如下，
，
，即，
所以在定义域上单调递增.
（2）作图如下，

（3）当时，，所以
当时，，所以，
当时，，所以
所以.
方向5．抽象函数解析式
变式37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足以下条件：①在区间上单调递增；②对任意，，均有，则的一个解析式为______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】如：，则，，
又，则，
此时在区间上单调递增，满足题设.
故答案为：（答案不唯一）
变式38．（2023·高一课时练习）已知函数，，且，，，…，，，则满足条件的函数的一个解析式为________.
【答案】
【解析】由已知得，，
，
，又，
故答案为：
变式39．（2023·高一课时练习）若函数满足，写出一个符合要求的解析式_________．
【答案】x(答案不唯一)
【解析】因为函数满足，
所以x，
故答案为：x,答案不唯一
变式40．（2023·高一课时练习）是R上的函数，且满足，并且对任意的实数都有，则的解析式_______
【答案】
【解析】令，代入得，
又，则，
∴，
故答案为：．
变式41．（2023·河南·高三校联考阶段练习）写出一个同时满足下列三个性质的函数：______．
①定义域为；②；③的导函数．
【答案】（答案不唯一）
【解析】若，其定义域为，满足①；
，，所以，满足②；
，满足③.
故答案为：.
【通性通解总结】求函数解析式的常用方法如下：
（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解．
（2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法．若易换元后求出，用换元法．
（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法．
（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求．
（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．
（6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出．
命题方向七：函数值域的求解
【通性通解总结】
方向1．观察法
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的值域为______________
【答案】
【解析】因为，所以，
又，
所以当时，单调递减，，
所以函数的值域为.
故答案为：
例20．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）下列函数中，定义域和值域不相同的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；
对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；
对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；
对于D：的定义域为；
当时，；当时，；
所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；
故选：D．
例21．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________
【答案】
【解析】为开口方向向上，对称轴为的抛物线，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，
的值域为.
故答案为：.
变式42．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，故函数的值域.
故选：C.
变式43．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，值域为的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的值域为，，故排除；
函数的值域为，故排除；
函数的值域为，故满足条件；
函数的值域为，，故排除，
故选：．
方向2．配方法
变式44．（2023·辽宁辽阳·高三统考期末）已知函数的值域是，则_________．
【答案】
【解析】，
故，解得．
故答案为：
变式45．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______.
【答案】
【解析】令，则，
所以.
故答案为：.
变式46．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，则且
又因为，
所以，所以，
即函数的值域为，
故选：B.
方向3．图像法（数形结合）
变式47．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______.
【答案】
【解析】由题设，
所以所求值域化为求轴上点到与距离差的范围，如下图示，

由图知：，即，
当三点共线且在之间时，左侧等号成立；
当三点共线且在之间时，右侧等号成立，显然不存在此情况；
所以，即，
所以函数值域为.
故答案为：
变式48．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_____
【答案】
【解析】表示点与点连线的斜率，
的轨迹为圆，
表示圆上的点与点连线的斜率，

由图象可知：过作圆的切线，斜率必然存在，
则设过的圆的切线方程为，即，
圆心到切线的距离，解得：，
结合图象可知：圆上的点与点连线的斜率的取值范围为，
即的值域为.
故答案为：.
变式49．（2023·陕西铜川·校考一模）若，则函数的值域是__________．
【答案】
【解析】，
设，，则.
由于，则，且.
设，
由该式的几何意义得下面图形，，其中直线为圆的切线，由图知.

由图知，
在中，有，，所以，
所以，所以.
所以，，故所求值域为．
故答案为：．
变式50．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为___________.
【答案】/
【解析】分别作，的图象，
分别取点，，原式视为两图象上各取一点的距离的平方，
设为与的交点，
，即.
当且仅当时，取等号.
故得的最小值为.
故答案为：.

变式51．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_____.
【答案】[，]
【解析】∵﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≥0⇒1≤x≤3.
令x﹣2=cosθ   且θ∈[0，π]
∴
=，表示两点（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，，故点在单位圆的上半部分.
如图，斜率最小为，斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率，，化简得，由，解得 ，故切线的斜率为.所以斜率的取值范围，也即函数的值域为.
故答案为：

变式52．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是_______________.
【答案】
【解析】
，
其中，则，
又，因此，值域为.
故答案为：
方向4．基本不等式法
变式53．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域是______.
【答案】
【解析】因为，
因为，所以，则有，
当且仅当，即时取等号，
所以，
因为，所以，则函数的值域为，
故答案为：.
变式54．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为___________．
【答案】
【解析】函数的定义域为，
当时，，
当且仅当即时等号成立，所以，
当时，，
当且仅当即时等号成立，所以，
所以函数的值域为，
故答案为：．
变式55．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______
【答案】
【解析】，
令，
因为在单调递减，在单调递增，
所以，当时，，当时，
所以，即值域为：.
故答案为：
变式56．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的值域为___________．
【答案】．
【解析】，
即；
，；
当且仅当，即时，取最小值2；
又最大值应在两个区间端点的某一处取到，
；；．
所以．所以值域为．
故答案为:
方向5．换元法（代数换元与三角换元）
变式57．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是______．
【答案】
【解析】令，则，令，
则，所以，
所以，所以，
所以函数的值域是.
故答案为：
变式58．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的，则其值域为_____________.
【答案】
【解析】设，
即，函数在区间单调递增，
所以.
故答案为：
变式59．（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域为_________.
【答案】
【解析】令，则，

容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为，
，所以该函数在时取到最大值，当时，函数取得最小值，
所以函数值域为.
故答案为：
变式60．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为____________
【答案】
【解析】设,则,
所以原函数可化为:,
由二次函数性质,当时,函数取最大值,由性质可知函数无最小值.
所以值域为:.
故答案为:.
变式61．（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域______．
【答案】/
【解析】令，则，所以．又，所以，即函数的值域是．
故答案为：.
变式62．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为________．
【答案】
【解析】由可得，即函数的定义域为
所以设，，
则
，
因为，所以，所以，
所以，
所以函数的值域为，
故答案为：.
方向6．分离常数法
变式63．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．
【答案】
【解析】由，
又，则，则，所以，
故函数的值域为．
故答案为：．
变式64．（2023·全国·高三专题练习）函数y的值域是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
【答案】D
【解析】，
∴y，
∴该函数的值域为．
故选：D．
变式65．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为________．
【答案】
【解析】由，可得且，函数的定义域为且，
，
所以且，
所以函数的值域为．
故答案为：．
变式66．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________
【答案】
【解析】，
，，，
即的值域为.
故答案为：.
方向7．判别式法
变式67．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（        ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则有，
当时，代入原式，解得．
当时，，
由，解得，于是的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值与最小值的和为．
故选：B.
变式68．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是___________.
【答案】
【解析】，
因为
所以函数的定义域为
令，整理得方程：
当时，方程无解；
当时，
不等式整理得：
解得：
所以函数的值域为.
故答案为：
变式69．（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域______________．
【答案】
【解析】由解析式知：函数的定义域为，且，
∴整理可得：，即该方程在上有解，
∴当时，，显然成立；
当时，有，整理得，即，
∴综上，有函数值域为.
故答案为：.
变式70．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_________.
【答案】
【解析】将函数变形为关于的方程，分析二次项的系数并结合与的关系求解出的取值范围，从而值域可求.因为，所以，所以，
当，即时，此时；
当，即时，此时，所以，
综上可知：，所以的值域为，
故答案为：.
方向8．单调性法
变式71．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，
即函数的定义域为，
又函数在上递减，
所以函数在上递减，
所以函数的最大值为，最小值为，
即函数的值域为，
故选：C.
变式72．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数的最大值为______.
【答案】/
【解析】因为，
令，则，
令，，因为函数在上单调递增，所以，
即，则，
即函数的最大值为，当且仅当时取等号.
故答案为：
变式73．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：令，解得：，
即函数在为增函数，
所以，
即函数的值域为，
故选：D.
方向9．有界性法
变式74．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是_________
【答案】
【解析】化简函数的解析式为，结合二次函数的性质，即可求解.由题意，函数，
因为，所以，则，可得，
故函数的值域是.
变式75．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
故选：C．
变式76．（2023·全国·高三专题练习）实数，满足，则的最大值为___________．
【答案】
【解析】令，，则，，所以

其中
所以当时，
故答案为：
变式77．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是________________.
【答案】
【解析】由题意，
因为，
所以，
所以，
所以函数的值域为，
故答案为：.
方向10．导数法
变式78．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数在区间上最大值为M，最小值为m，则的值是_______.
【答案】
【解析】由题意， ，，在上，
故函数单调递增，所以，，，
故的值是.
故答案为：
变式79．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，定义域为，则该函数的最小值为__________．
【答案】1
【解析】因为，，所以，令，得
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增
所以.
故答案为：.
变式80．（2023·全国·高三专题练习）函数在上的最小值是________.
【答案】
【解析】由，令得，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，则在上的最小值是.
故答案为：.
变式81．（2023·甘肃张掖·高三高台县第一中学统考期末）函数，的值域是______.
【答案】
【解析】由题意
在中，
，
∴函数在单调递增
∵，
∴函数，的值域是
故答案为：.
命题方向八：分段函数的应用
方向1．求值问题
例22．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知，则______.
【答案】
【解析】，

．
故答案为：．
例23．（2023·四川德阳·统考一模）设函数，则______．
【答案】2
【解析】由题，因为，
所以，
故答案为：2.
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则___________.
【答案】
【解析】根据题意，当时，，
所以，
当时，，
所以.
故答案为：.
变式82．（2023·全国·高三专题练习）函数满足，且在区间上，则的值为____．
【答案】
【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.
由得函数的周期为4，所以因此
方向2．求参数问题
变式83．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则使的可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】①当时，由，可得，
若时，则，此时无解，
若时，由，解得；
②当时，由，可得或.
若时，则，由可得，方程无解，
若时，由可得或，由可得或.
综上所述，满足的的取值集合为.
故选：BCD.
变式84．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则实数a的值可能为（    ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】根据题意，函数，
当时，，
其中当时，，此时，解可得，符合题意；
当时，，此时，解可得或，符合题意；
当时，必有，
此时，变形可得或，
若，解可得，
若，无解；
综合可得：或或或，分析可得选项可得：ACD符合；
故选：ACD．
变式85．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数若，则实数（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】根据题意，当时，，不符合题意；
当时，，解得；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意．
故选:B．
变式86．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知函数，则方程的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，解得或（舍去），当x<0时，，解得（舍去），故解集为．
故选：A．
变式87．（2023·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知是偶函数，当时，，若，则（    ）
A． B． C．或3 D．或
【答案】B
【解析】当时，由，得，
解得（舍去）或；
根据偶函数的图象关于y轴对称，可知当时，
由，得(舍)或，
综上，
故选:B.
变式88．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知函数，若的值域是，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：

由图可知，当或时，两图象相交，
若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论：
当时，显然两图象之间不连续，即值域不为；
同理当,值域也不是；
当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是；
综上可知，实数的取值范围是.
故选：B
变式89．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则解的个数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】时，，解得
时，，，，无解.
由，则有，
时，，通过函数图像可知，方程有两个根，如图所示，

时，，无解.
故选：.
方向3．解不等式问题
变式90．（2023·全国·高三专题练习）设，则不等式的解集是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当时，由得：，解得：或，；
当时，由得：，解得：，；
不等式的解集是.
故选：A.
变式91．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则即为，
当时，，故 无解，
当时，即为，
在同一平面直角坐标系下画出和的大致图像如图，

由图可得当且仅当时，，
综上所述，的解为，又，
所以，
当时，，
故，解得：，所以，
当时，，
故，解得：，所以，
综上所述，不等式的解集是.
故选：D.
变式92．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为.
①当时，.
②当时，.
③当时，.
综上所述：.
故选：D.
变式93．（2023·全国·高三专题练习）已知,则使成立的的取值范围是（　  ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】（方法1）当时，不等式可化为，解得，又，所以；
当时，，不等式可化为，解得，
又，所以.
综上，使不等式成立的的取值范围是.
故选: A.
（方法2）函数的图象如图所示，虚线表示，函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围即不等式的解集.

由图可知，的取值范围就是点的横坐标与点的横坐标之间的范围.
在中，令，得，所以点的横坐标为.
在中，令，得（舍去）或，
所以点的横坐标为，所以使不等式成立的的取值范围是.
故选：A.
变式94．（2023·全国·高三专题练习）已知，满足，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，，
所以，即，解得，
当时，，
所以，即，解得，
所以，的取值范围是
故选：D
变式95．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，对于实数a，使成立的一个必要不充分条件是（    ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【解析】当时，，则，则是增函数，
当时，，则是增函数，又，
∴函数在R上是增函数，
∵，
∴，则，
即，解得，
则成立的充要条件是
∴使成立的一个必要不充分条件的a的范围对应的集合应真包含，故排除ABD，选C.
故选：C．
【通性通解总结】
1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值
2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知函数，则（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】由题意可得 ，
故选：D.
2．（2023·河北·校联考一模）若函数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于，所以，故，
故选C.
3．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数的定义域为，又函数有意义，
则有，解得或，
所以函数的定义域是.
故选：C
4．（2023·河北衡水·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知得，
由，得，所以.
故选：.
5．（2023·湖北十堰·统考二模）已知函数当时，取得最小值，则m的取值范围为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知解得．
故选：B.
6．（2023·江苏盐城·统考三模）一般地，设、分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一的也是一个函数（即对任意一个，都有唯一的与之对应），那么就称是函数的反函数，记作.在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成的形式.例如函数的反函数为.设，则函数的值域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，
则，
由，根据基本不等式，，
当且仅当时，等号成立，故的值域为.
故选：D
7．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数的图象过点与，则函数在区间上的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的图象过点与，
所以，，则，
解得，，
故函数的解析式为：.
而，
当且仅当时取等号，
函数在区间上的最大值为.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中a，b，c为常数，若，则c＝（    ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
又，
∴，即，解得．
故选：C
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的有（    ）
A．函数与函数表示同一函数
B．已知函数，若，则
C．若函数，则
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】BC
【解析】的定义域是， 的定义域是或，两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误;
函数，若，则所以，故B正确；
若函数，则，故C正确；
若函数的定义域为，则函数中，，所以，即函数的定义域为，故D错误.
故选：BC
10．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线，若曲线仍然是一个函数的图像，则的可能取值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABCD
【解析】

如上图所示，分别是绕着原点逆时针方向旋转，，，，所得到的的曲线，根据函数的定义可知，这四个曲线都符合函数图像的定义.
故选：ABCD．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，定义域为，值域为，则下列说法中一定正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】令，则，
由，得，即，得；
由，得（舍）或2，即；
根据的图象特征，知，，.
故选：BCD．
12．（2023·吉林白山·统考三模）存在函数，对任意都有，则函数不可能为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于选项，是奇函数，是偶函数，则，矛盾，不满足条件；
对于B选项，，所以，故满足条件；
对于C选项，取和，可得，，矛盾，C不满足条件；
对于D选项，，则，单调递增，
且，即为奇函数，图象如下所示，

所以值域为，D满足条件.
故选：AC.
三、填空题
13．（2023·高三课时练习）已知，则函数的导数为______．
【答案】，
【解析】∵，∴，
∴
故答案为：，.
14．（2023·全国·高三专题练习）设，其中，为实数，，，若，则______．
【答案】5
【解析】由题意知，，，
若，则，则与不符；
故，故,
由得，，
因此，，故,
故答案为：5
15．（2023·全国·高三专题练习）设，则值域是_______
【答案】
【解析】设，则，于是.
设，根据二次函数性质，时，关于单调递减；
根据对数函数性质，在定义域上递增.
于是由复合函数单调性的性质，在上单调递减，
而，于是值域是：.
故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为____
（2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．
【答案】
【解析】（1）令，则，因为函数的定义域为，
所以，即，所以函数的定义域为
（2）由函数的定义域为，得到即，
因此函数的定义域为．
故答案为：；.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）设函数
  
(1)将函数写成分段函数；
(2)画出函数的图像；
(3)写出函数的定义域和值域.
【解析】（1）要是函数有意义，则，
当时，，
当时，，
所以.
（2）函数图像如图：

  
（3）根据函数图像可得，
的定义域为，值域为R.
18．（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式．
(1)已知满足.
(2)已知，对任意的实数x，y都有.
【解析】（1）将代入，得，
因此，解得．
（2）令，得，
所以，即．
19．（2023·全国·模拟预测）已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若对任意恒成立，求k的取值范围.
【解析】（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数，，的图象，如图1所示，

由，解得或；
由，解得或.
由图象易得，
结合图象可知，当时，取得最小值，
即.
（2）设，则恒过点，
因为，所以记，
由（1）知，的图象如图2所示，

当时，，即，
所以，不等式恒成立.
当时，易知直线AM的斜率，
由图象可知，根据恒成立，
可得，解得，所以，
综上所述，k的取值范围是.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)证明：；
【解析】（1），设，则有，所以函数的值域为；
（2） 当时，此时显然；
‚ 当时，必有两点位于函数图像上，且两点关于直线对称．又因为，所以．
因为当时，．
即对恒成立，所以不存在两点关于直线对称．
综上，．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．
(1)证明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
【解析】（1）证明：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴，
又∵是奇函数，∴，∴

（2）当时，由题意可设，
由，得，∴，
∴.
（3）根据（2）中所求，可知；又在上是奇函数，故，
故当时，设，则，解得.
故当时，.
又在上是奇函数，故当时，.
综上，则时，.
因为时，.
所以当时，，所以；
当时，，所以，
综上所述，.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且
(1)证明：函数的图像关于直线对称；
(2)若满足， 但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，试确定实数的取值范围．
【解析】（1）因为，，
有，
所以函数的图像关于直线对称；
（2），
当时，有，
令，则或，解得，
所以只有一个解，
又，故不是二阶周期点．
当时，有，
令，则或，解得，
所以有解集，
又当时，，故中的所有点都不是二阶周期点，
当时，有，
令，
则或或或，
解得或或或，
所以有四个解，
又，，，，
故只有是的二阶周期点，
综上所述，所求的取值范围为．