2024年高考数学第一轮复习专题03 等式与不等式的性质（解析版）

专题03等式与不等式的性质

【考点预测】

1、比较大小基本方法

2、不等式的性质

（1）基本性质

【方法技巧与总结】

1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.

【题型归纳目录】

题型一：不等式性质的应用

题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式

题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

题型四：不等式的综合问题

【典例例题】

题型一：不等式性质的应用

例1．（2023·全国·高三专题练习）如果，那么下列不等式成立的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由于，不妨令，，可得，，故A不正确．

可得，，，故B不正确．

可得，，，故C不正确．

故选：D．

例2．（2023·全国·高三专题练习）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】对于A中，由，因为，可得，因为不确定，所以A错误；

对于B中，只有当不相等时，才有成立，所以B错误；

对于C中，例如，此时满足，但，所以C错误；

对于D中，由不等式的基本性质，当时，可得成立，所以D正确.

故选：D

例3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知均为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若则.

B．若则.

C．若，则

D．若，则

【答案】AD

【解析】若，则，又，则，A选项正确；

若，满足，但，不成立，B选项错误；

若，，满足，但，不成立，C选项错误；

，则，又，∴，即，D选项正确.

故选：AD

变式1．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【解析】当时，如，时成立，A错；

若则一定有，所以时，一定有，B正确；

，但，C错；

，则，D正确．

故选：BD．

变式2．（多选题）（2023·福建三明·模拟预测）设，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】

因为，，所以，的符号不能确定，

当时，，故A错误，

因为，，所以，故B正确，

因为，所以，故C正确，

因为，所以，所以，所以，故D错误，

故选：BC

【方法技巧与总结】

1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．

2、充分利用基本初等函数性质进行判断．

3、小题可以用特殊值法做快速判断．

题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式

例4．（2023·全国·高一）（1）试比较与的大小；

（2）已知，，求证：．

【解析】

（1）由题意，

，

所以．

（2）证明：因为，所以，即，

而，所以，则．得证．

例5．（2023·湖南·高一课时练习）比较与的大小．

【解析】

,

<.

例6．（2023·全国·高三专题练习）设，，则s与t的大小关系是________.

【答案】

【解析】,

.

故答案为：.

变式3．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知a，b均为正实数.试比较与的大小；

（2）已知a≠1且a∈R，试比较与的大小.

【解析】（1）∵a，b均为正实数，

∴，即≥.

（2）由.

①当a=0时，0，则；

②当a<1且a≠0时，0，则；

③当a>1时，0，则.

综上，当a=0时，；当a<1且a≠0时，；当a>1时，.

【方法技巧与总结】

比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：

若，则；；； 

若，则；；.

题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

例7．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，

所以，解得：，

因为，所以，

故选：A.

例8．（2023·全国·高三专题练习）已知且满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，可得，

解得，，

因为可得，

所以.

故选：C.

例9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

故，，得

故选：C

变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设，则

解得，

∴，

又，，

∴即.

故选：B.

变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知－3<a<－2，3<b<4，则的取值范围为（    ）

A．(1，3)

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】因为－3<a<－2，所以a2∈(4，9)，而3<b<4，故的取值范围为(1，3)，故选：A．

【方法技巧与总结】

在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.

题型四：不等式的综合问题

例10．（2023·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．

【答案】

【解析】由于，且，

所以，，

，

所以.

故答案为：

例11．（2023·全国·高三专题练习）若,则将从小到大排列为______.

【答案】

【解析】，不妨令，

则有，

有，

即.

故答案为：.

例12．（2023·全国·高三专题练习）能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.

【答案】

【解析】，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.

变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则的取值范围是_________.

【答案】

【解析】由题意得

解得

所以,

因为，

所以；

因为，

所以．

两式相加得，

故的取值范围是.

【过关测试】

一、单选题

1．（2023·上海·高三专题练习）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，则，故，A对B错；

，即，

当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.

故选：A.

2．（2023·全国·高三专题练习）若，，则下列不等式中一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】当，时，，但，故A错误；

因为在是单调递增函数，所以当，则，故B正确；

因为的定义域为，所以当时，不存在与，故C错误；

当时，，故D错误.

故选：B

3．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，，满足，但不满足，故A错误；

，，故B错误；

，，，，，故C正确；

，，故D错误．

故选：C．

4．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于A，若，则，所以A错误，

对于B，因为，所以，所以B正确，

对于C，因为，所以，所以C错误，

对于D，若，则，所以D错误，

故选：B

5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】当时，，则A错误；当时，，则B错误；当时，，则C错误；当时，，当时，，当时，，则D正确.

故选：D.

6．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意知：，又，则，显然异号，

又，所以.

故选：B.

7．（2023·全国·高三专题练习）若，且，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】A显然错误，例如，；

时，由得，B错；

，但时，，C错；

，又，所以，D正确．

故选：D．

8．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【解析】对于A，若，则，所以A错误，

对于B，若，则，所以B错误，

对于C，若，则，所以C错误，

对于D，因为，所以，所以，所以，所以D正确，

故选：D

9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，

由，得.

故选：A.

10．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】令，则，即.所以A选项错误；

令，则，即，所以B选项错误；

令，则，所以C选项错误；

因为，由得，所以D选项正确.

故选:D.

11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，，，

所以，，，

故的取值范围是，

故选：C.

12．（2023·全国·高三专题练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为，则，故A正确；

若，，满足，但此时，故B错；

因为，由不等式的可开方性，可得，故C正确；

因为函数为增函数，由可得，故D正确.

故选：B.

二、多选题

13．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等关系中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】对A，由，得，当，时，A错误；

对B，当，时，B错误；

对C，由，得，根据基本不等式知，C正确：

对D，由，得，所以，因为，所以D正确．

故选：CD．

14．（2023·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】AD

【解析】A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；

B. 当时，，故错误；

C.当时，故错误；

D.，因为，，，所以，故正确；

故选：AD

15．（2023·全国·高三专题练习）已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】对于非零实数，满足，则，

即，故A一定成立；

因为，故B一定成立；

又，即，所以，故C一定成立；

对于D：令，，满足，此时，故D不一定成立．

故选：ABC

16．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】因为，，所以，的符号不能确定，

当时，，故A错误，

因为，，所以，故B正确，

因为，所以，故C正确，

因为，所以，所以，所以，故D错误，

故选：BC

17．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】选项A，由，可得，故选项A正确；

选项B，由可得，而，所以，故选项B错误；

选项C，由，可得，故选项C正确；

选项D，由可得，而，所以，故选项D正确.

故选：ACD.

三、填空题

18．（2023·上海·高三专题练习），，则的最小值是___________.

【答案】

【解析】设，则，解得，

所以，，

因此，的最小值是.

故答案为：.

19．（2023·全国·高三专题练习）已知实数、满足，，则的取值范围为______．

【答案】

【解析】设，则，解得，

所以，

因为，，

所以，，

所以，

故答案为：.

20．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】，，

，

，

的取值范围是：．

故答案为：.

21．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】因为，所以，因为，

当时，，所以，所以；

当时，；

当时，；

综上可得，即

故答案为：

22．（2023·全国·高三专题练习）设、满足，则的最大值为______.

【答案】

【解析】，由于，，可得，，

由不等式的基本性质可得，即，

因此，的最大值为.

故答案为：.