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    第03讲 等式与不等式的性质(讲义)-2024年高考数学一轮复习讲义(新教材新高考)
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    第03讲 等式与不等式的性质(讲义)-2024年高考数学一轮复习讲义(新教材新高考)

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    2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”,应在老师的指导下,选一些源于课本的变式题,或体现基本概念、基本方法的基本题,通过解题来提高思维能力和解题技巧,加深对所学知识的深入理解。在解题时,要独立思考,一题多思,一题多解,反复玩味,悟出道理。
    3、加强审题的规范性。每每大考过后,总有同学抱怨没考好,纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否,不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系,确定解题思路 。
    4、重视错题。错误是最好的老师”,但更重要的是寻找错因,及时进行总结,三五个字,一两句话都行,言简意赅,切中要害,以利于吸取教训,力求相同的错误不犯第二次。
    第03讲 等式与不等式的性质
    目录
    1、比较大小基本方法
    2、不等式的性质
    (1)基本性质
    【解题方法总结】
    1、应用不等式的基本性质,不能忽视其性质成立的条件,解题时要做到言必有据,特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时,有时可用特殊值验证法,以提高解题的效率.
    2、比较数(式)的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
    比较法又分为作差比较法和作商比较法.
    作差法比较大小的步骤是:
    (1)作差;(2)变形;(3)判断差式与0的大小;(4)下结论.
    作商比较大小(一般用来比较两个正数的大小)的步骤是:
    (1)作商;(2)变形;(3)判断商式与1的大小;(4)下结论.
    其中变形是关键,变形的方法主要有通分、因式分解和配方等,变形要彻底,要有利于0或1比较大小.
    作差法是比较两数(式)大小最为常用的方法,如果要比较的两数(式)均为正数,且是幂或者因式乘积的形式,也可考虑使用作商法.
    题型一:不等式性质的应用
    【解题方法总结】
    1、判断不等式是否恒成立,需要给出推理或者反例说明.
    2、充分利用基本初等函数性质进行判断.
    3、小题可以用特殊值法做快速判断.
    例1.(多选题)(2023·重庆·统考模拟预测)已知,,则下列关系式一定成立的是( )
    A.B.
    C.D.
    例2.(多选题)(2023·山东·校联考二模)已知实数满足,且,则下列说法正确的是( )
    A.B.C.D.
    例3.(多选题)(2023·全国·校联考模拟预测)若,则下列结论正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    题型二:比较数(式)的大小与比较法证明不等式
    【解题方法总结】
    比较数(式)的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
    比较法又分为作差比较法和作商比较法.
    作差法比较大小的步骤是:
    (1)作差;(2)变形;(3)判断差式与0的大小;(4)下结论.
    作商比较大小(一般用来比较两个正数的大小)的步骤是:
    (1)作商;(2)变形;(3)判断商式与1的大小;(4)下结论.
    其中变形是关键,变形的方法主要有通分、因式分解和配方等,变形要彻底,要有利于0或1比较大小.
    作差法是比较两数(式)大小最为常用的方法,如果要比较的两数(式)均为正数,且是幂或者因式乘积的形式,也可考虑使用作商法,作商法比较大小的原理是:
    若,则;;;
    若,则;;.
    例4.(2023·全国·高三专题练习)若,则将从小到大排列为______.
    例5.(2023·全国·高三专题练习)如果a>b,给出下列不等式:
    ①;②a3>b3;③;④2ac2>2bc2;⑤>1;⑥a2+b2+1>ab+a+b.
    其中一定成立的不等式的序号是________.
    例6.(2023·高三课时练习)(1)已知a>b>0,c<d<0,求证:;
    (2)设x,,比较与的大小.
    例7.(2023·全国·高三专题练习)(1)试比较与的大小;
    (2)已知,,求证:.
    题型三:已知不等式的关系,求目标式的取值范围
    【解题方法总结】
    在约束条件下求多变量函数式的范围时,不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围,否则会导致范围扩大,而只能建立已知与未知的直接关系.
    例8.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)已知实数x,y满足则( )
    A.的取值范围为B.的取值范围为
    C.的取值范围为D.的取值范围为
    例9.(2023·广东·高三校联考期末)已知,,则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    例10.(2023·全国·高三专题练习)已知,,则的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    例11.(2023·全国·高三专题练习)已知三个实数a、b、c,当时,且,则的取值范围是____________.
    题型四:不等式的综合问题
    【解题方法总结】
    综合利用等式与不等式的性质
    例12.(多选题)(2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)已知,,且满足,.则的取值可以为( )
    A.10B.11C.12D.20
    例13.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)已知,则( )
    A.B.
    C.D.
    例14.(多选题)(2023·全国·模拟预测)已知实数a,b满足,则( )
    A.B.
    C.D.的最小值为1
    例15.(2023·全国·高三专题练习)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是__.
    题型五:糖水不等式
    【解题方法总结】
    糖水不等式:若,,则一定有,或者.
    例16.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)已知糖水中含有糖(),若再添加糖完全溶解在其中,则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大),根据这个事实,下列不等式中一定成立的有( )
    A.B.
    C.D.
    例17.(2023·山西·统考一模)我们都知道一杯糖水中再加入一些糖,糖水会更甜.这句话用数学符号可表示为:,其中,且a,b,.据此可以判断两个分数的大小关系,比如_________(填“>”“<”).
    例18.(2023·福建·高三校联考阶段练习)若克不饱和糖水中含有克糖,则糖的质量分数为,这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖,生活经验告诉我们糖水会变甜,从而可抽象出不等式(,)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出___________(用“”或“”填空);并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________.
    1.(多选题)(2022·全国·统考高考真题)若x,y满足,则( )
    A.B.
    C.D.
    2.(2019·全国·高考真题)若a>b,则( )
    A.ln(a−b)>0B.3a<3b
    C.a3−b3>0D.│a│>│b│
    3.(2017·山东·高考真题)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( )
    A. B.
    C. D.
    考点要求
    考题统计
    考情分析
    1.掌握等式性质.
    2.会比较两个数的大小.
    3.理解不等式的性质,并能简单应用.
    2022年II卷第12题,5分
    高考对不等式的性质的考查比较稳定,考查内容、频率、题型难度均变化不大,单独考查的题目虽然不多,但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点,是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据,所以它不仅是数学中的不 可或缺的工具,也是高考考查的一个重点内容.
    关系
    方法
    做差法
    与0比较
    做商法
    与1比较


    性质
    性质内容
    对称性
    传递性
    可加性
    可乘性
    同向
    可加性
    同向同正
    可乘性
    可乘方性
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