专题07 用“组合法”解工程问题 —2022-2023学年六年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

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2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义
专题07 用“组合法”解工程问题
知识精讲





在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。
典例分析




【典例分析01】一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的，乙队单独完成全部工程需要几天？
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量－×3＝，从而求出甲队的工作效率。所以
1÷【－（－×3）÷（5－3）】＝20（天）
答：乙队单独完成全部工程需要20天。
【典例分析02】一项工程，甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成这
项工程的。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天？
【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（－×3）÷2＝；再由条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。
（1） 乙队每天完成这项工程的
（－×3）÷2＝
（2） 两段时间一共是
1÷（×2+）×2＝6（天）
答：两段时间一共是6天。
【典例分析03】移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩总棵数的没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵？
【思路导航】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后，哥哥又独做了2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几
（1－－×1）÷（3－1）＝
一共要移栽的西红柿苗多少棵
7÷【－（－）】＝112（棵）
答：共要移栽西红柿苗112棵。
【典例分析04】一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的。如果由甲、丙合做，需几小时完成？
【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的”组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的”，则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几
（－×2）÷（6－2）＝
丙每小时完成这项工程的几分之几
（－×3）÷（6－3）＝
甲、 丙合做需完成的时间为：
1÷（+）＝7（小时）
【典例分析05】一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？
【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）＝11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的
【1－（+）】×（4+7）＝
三队合修完成时间为
1÷（++）＝10（天）
答：10天可以完成。
真题演练




一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2019•防城港模拟）A、B、C、D四人一起完成一件工作，D做了一天就因病请假了，结果A做了6天，B做了5天，C做了4天，D作为休息的代价，拿出48元给A、B、C三人作为报酬，若按天数计算劳务费，则这48元中A就分（　　）元．
A．18 B．19.2 C．20 D．32
【思路点拨】根据题意可知：他们一共做了6+5+4+1＝16天，那么平均算下来，16÷4＝4天，一个人就要做四天，但D做了一天因病请假，他做了一天，就少做了3天，则A多做了6﹣4＝2天，B多做了一天，那么那48元是给多做天数的报酬，一共多做了3天，就用报酬费48÷3＝16元，一天就要给16元，A多做了2天，就用16×2＝32元即可解决．
【规范解答】解：一共做的天数：6+5+4+1＝16（天），
平均每人做的天数：16÷4＝4（天），
A多做的天数：6﹣4＝2（天），
B多做的天数：5﹣4＝1（天），
一共多做的天数：2+1＝3（天），
A应得48÷3×2＝32（元），
答：这48元应分给A32元．
故选：D。
【考点评析】解答此题的关键是先求出一共做的天数，从而知道平均每人要做的天数，再求出A多做了几天，就把D少做3天的酬劳平均分成3份，即可求出．
2．（2分）（2017春•江汉区期末）甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程所需时间分别为4天、5天、6天，如果这项工程丙队先工作1天，剩下的由甲、乙两队合做，求还需要多少天完成？下面算式中列式正确的是（　　）
A．（1﹣）÷（+） B．（1﹣）÷（+）
C．（1﹣）÷（+） D．1÷（+﹣）
【思路点拨】把工作总量看成单位“1”，甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程所需时间分别为4天、5天、6天，那么这三个工程队的工作效率分别是，，，先用工作总量减去丙一天完成的工作量，求出剩下的工作量，再用剩下的工作量除以甲乙的工作效率和即可求出需要的时间．
【规范解答】解：（1﹣）÷（+）
＝÷
＝（天）
答：求还需要天完成．
故选：C．
【考点评析】解决本题先把工作总量看成单位“1”，分别表示出三个工程队的工作效率，再根据工作时间、工作量和工作效率三者之间的关系求解．
3．（2分）（2022•南岸区）甲每分钟能洗3个盘子或者9个碗，乙每分钟能洗2个盘子或者7个碗，甲、乙两人合作。20分钟后，两人共洗了151个盘子和碗。其中盘子最多洗了（　　）个。
A．60 B．75 C．76 D．79
【思路点拨】用假设法：假设甲乙洗的都是盘子，则洗了 20×（2+3）＝100（个），少了 151﹣100＝51（个）；用置换法：9﹣3＝6（个）甲少用一分钟洗盘，就会多洗6个碗，7﹣2＝5（个），乙少用一分钟洗盘，就会多洗5个碗，因为51＝6×6+5×3，则甲用了6分钟洗碗，乙用了3分钟洗碗正好多洗出51个。然后进一步解答即可。
【规范解答】解：假设20分钟都洗盘子，
则可洗（2+3）×20＝100（个）
共少洗了151﹣100＝51（个）
甲如果洗1分钟碗，数量就要多9﹣3＝6（个）
乙如果洗1分钟碗，数量就要多7﹣2＝5（个）
因为6×6+5×3＝51
所以甲用了6分钟洗碗，乙用了3分钟洗碗正好多洗出51个，
所以洗碗的个数是6×9+3×7＝75（个）
故选：B。
【考点评析】本题有一定的难度，比较复杂，解答此题用了假设法和置换法。
4．（2分）（2019•株洲模拟）王师傅计划加工一批零件，如果实际工作时效率比计划提高20%，那么可提前1小时完成任务；如果王师傅要想比计划提前2小时完成任务，那么王师傅的工作效率就要比计划提高（　　）
A．40% B．50% C．60% D．70%
【思路点拨】从开始提高20%，那么工作效率是原来的1+20%＝，工作时间与工作效率成反比例，工作时间是原来的，工作时间提前了，它对应的时间是1小时，由此求出原来用的时间；如果王师傅要想比计划提前2小时完成任务，可以求出现在的工作时间和工作效率，对比计划的效率即可求出现在比计划提高了多少．
【规范解答】解：1+20%＝
因为工作总量一定，工作效率与工作时间成反比，所以工作时间变为原来的
计划用的时间：1÷（1﹣）＝6（小时）
现在的时间：6﹣2＝4（小时）
现在的工作效率：1÷4＝
计划的工作效率：1÷6＝
×100%＝50%
所以工作效率比计划提高了50%．
故选：B．
【考点评析】本题主要考查工程问题，解决本题的关键是先根据第一次效率提高20%求出计划完成全部工作量需要的时间．
5．（2分）（2019春•湘潭月考）一项工程，甲、乙合作完成了全工程的，剩下的由甲单独完成，甲一共做了10天．这项工程由甲单独做需要15天，如果由乙单独做需要（　　）天．
A．18 B．19 C．20 D．21
【思路点拨】把这项工程的工作总量看成单位“1”，甲单独做需要15天，则甲的工作效率为，甲、乙合作完成了全工程的，剩下的由甲单独完成，则甲独做了全部的1﹣，所以甲单独做了（1﹣）÷天，又甲一共做了10天，所以甲乙合作了10﹣（1﹣）÷＝6天，则乙做了全部工程的﹣×6，所以乙的工作效率是：（﹣×6）÷6，据此即能求出乙独做需要多少天．
【规范解答】解：10﹣（1﹣）÷
＝10﹣
＝10﹣
＝6（天）
1÷[（﹣×6）÷6]
＝1÷[（﹣）÷6]
＝1÷（÷6）
＝1÷
＝20（天）
答：乙独做需要20天．
故选：C．
【考点评析】首先根据已知条件求出甲后来独做的天数是完成本题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）（2019•成都模拟）甲乙两项工程分别由一二两个工程队负责完成。晴天时一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要15天；雨天时，一队的工作效率是晴天的60%，二队的工作效率是晴天的80%，结果两队同时开工并同时完成各自的工程，则在施工期内，雨天有 　15　天。
【思路点拨】晴天时，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要15天，则两队的工作效率分别为，；雨天时，一队的工作效率是原来的60%，二队的工作效率是原来的80%，则在雨天两队的效率分别为×60%＝，×80%＝，设雨天共有x天，则两队在不是雨天完成的工作量分别为1﹣x，1﹣x，又结果两队同时完成这项工程，即两队在不是雨天的工作时间也是一样的，由此可得方程：（1﹣x）÷＝（1﹣x）÷。
【规范解答】解：×60%＝
×80%＝
设雨天有x天，可得方程：
（1﹣x）÷＝（1﹣x）÷
12x＝15x
x＝3
x＝15
答：雨天有15天。
故答案为：15。
【考点评析】在求出雨天效率的基础上根据“两队同时完成这项工程”这一条件列出等量关系式是完成本题的关键。
7．（2分）（2019春•武侯区期中）食品工厂有两台包饺子机，每一台每分钟能包60个饺子．一天这个工厂接到一批包18000个饺子的订单，于是开动两台机器包饺子．但包了20分钟后，其中一台机器因故障无法工作，经过30分钟准备，经理组织了男工和女工共20人也加入包饺子的工作，这样，又经过了40分钟，完成了这批订单．如果女工每分能包15个饺子，男工每分能包12个，另一台机器始终正常工作，那么包饺子的女工有　15　人．
【思路点拨】根据题意，设女工有x人，则男工有（20﹣x）人，根据工作总量＝工作效率×工作时间，先计算饺子机一共包了多少个：60×（20+20+30+40）＝6600（个）；所以这些工人共包的个数为：18000﹣6600＝11400（个）．则有方程：15x+12×（20﹣x）＝11400÷40，解方程即可求出女工人数．
【规范解答】解设女工有x人，则男工有（20﹣x）人，
15x+12×（20﹣x）＝[18000﹣60×（20+20+30+40）]÷40
15x+240﹣12x＝[18000﹣6600]÷40
3x＝45
x＝15
答：包饺子的女工有15人．
故答案为：15．
【考点评析】本题主要考查工程问题，关键利用工作总量、工作效率和工作时间之间的关系做题．
8．（2分）（2021秋•温州期末）一项工程，甲队单独做每天能 完成这项工程的，乙队单独做每天能完成这项工程的，两队共同合作需要 　12　天完成。
【思路点拨】把这项工程工作总量看作单位“1”，工作总量÷工作效率＝工作时间。工作总量÷工作效率和＝合作的时间。
【规范解答】解：1÷（+）
＝1÷
＝
＝12（天）
答：两队共同合作需要12天完成。
故答案为：12。
【考点评析】把工作总量看成单位“1”是解决本题的关键。
9．（2分）（2021•广东模拟）一支工程队铺一段铁路，原计划每天铺3.2km，实际每天比原计划多铺25%，实际铺完这段铁路用了12天．原计划用　15　天才能铺完。
【思路点拨】把原计划的工作效率看作单位“1”，实际每天比原计划多铺25%，则实际每天的工作效率是原计划的（1+25%＝125%），已知原计划每天铺3.2km，所以实际每天铺3.2×（1+25%）＝4（千米），根据工作总量＝工作效率×工作时间，用12×4＝48（千米），即这段路全长48千米，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求得原计划用多少天才能铺完。
【规范解答】解：3.2×（1+25%）
＝3.2×1.25
＝4（千米）
12×4＝48（千米）
48÷3.2＝15（天）
答：原计划用15天才能铺完。
故答案为：15。
【考点评析】本题的关键是先求得实际每天的工作效率。
10．（2分）（2020秋•鼓楼区校级期中）搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。有同样的仓库A和B，甲和丙在A仓库，乙在B仓库同时搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助乙搬运了　5　小时。
【思路点拨】据题意可以看做三个人一共完成了两个仓库的任务，那么因为三人自始至终都在工作，那么用的时间是2÷（）＝8小时，在这个时间甲完成了一个仓库的×8＝，那么丙运了这个仓库的1﹣＝，丙帮助甲用了÷＝3小时，则帮助乙的工作用了8﹣3＝5小时。
【规范解答】解：三人搬完仓库用时：2÷（）＝8（小时）
甲完成了一个仓库的：×8＝
则丙运了这个仓库的：1﹣＝
且用时了÷＝3小时
丙帮助乙的工作用时：8﹣3＝5（小时）
答：丙帮助乙搬运了5小时。
故答案为：5。
【考点评析】将两个仓库的任务看作是由三个人共同完成，然后求出完成任务的时间是解决本题的关键。
11．（2分）（2021•天心区模拟）放满一个水池，如果同时打开1、2号阀门，则12分钟可以完成；如果同时打开1、3号阀门，则15分钟可以完成；如果单独打开1号阀门，则20分钟可以完成；那么如果同时打开1、2、3号阀门　10　分钟可以完成。
【思路点拨】根据时间求出各个阀门的工作效率，然后用工作总量÷工作效率之和＝工作时间。
【规范解答】解：1÷12＝
1
1
1÷（）＝10（分钟）
故答案为：10。
【考点评析】本题考查了工作总量、工作时间和工作效率之间的关系。
12．（2分）（2020•长沙）A电池的广告语是“一节更比六节强”，意义是A电池比其它电池更耐用.我们就假定1节A电池的电量是B电池的6倍，有两种耗电速度一样的时钟，现在同时在甲钟里装了4节A电池，在乙钟里装了3节B电池，结果乙时钟正常工作2个月电池就耗尽了，那么甲时钟的正常工作时间比乙时钟多 　14　个月.
【思路点拨】按题意，甲和乙时钟装的电池数分别是4节A电池和3节B电池，其电池量比可以求出，最后即可求的正常工作的时间比。
【规范解答】根据分析，A与B每节电池的电量比为6：1，A、B电池数量比为4：3，则总电量之比为（6×4）：（1×3）＝8：1，两个时钟的耗电速度一样，
工作时间与总电量成正比，乙时钟工作了2个月，甲时钟可正常工作时间为：8×2＝16（个），
比乙时钟多：16﹣2＝14（个）。
故答案是：14。
【考点评析】本题考查了比的应用，利用工作时间与总工作量成正比，求得甲的工作时间，再求差值。
13．（2分）（2022•温江区）一项工程，由甲队承担，需工期80天，工程费用100万；由乙队承担，需工期100天，工程费用80万。为了节省工期和费用，实际施工时，甲、乙两队合作若干天后，撤出一个队，由另一个队继续到工程完成。结算时，共支出工程费用86.5万元。那么甲、乙两队合作了 　26　天。
【思路点拨】本题设甲乙合干的天数是x天，其实甲乙各干了x天，就可以表示出甲的工作量，从而也可以求出乙的工作量，在相应的工作量下可以表示出各自的费用，把费用加在一起就是86.5万元，依此即可求解。
【规范解答】解：设甲乙合干的天数是x天，则甲队工作x天，则甲队完成的工作量，乙队完成的工作量是（1﹣），
100×+80×（1﹣）＝86.5
x+80﹣x＝86.5
x＝86.5﹣80
x＝6.5
x＝6.5×4
x＝26
（1﹣）＝67.5
67.5＞26
答：甲乙共合做了26天。
故答案为：26。
【考点评析】本题考查了学生的分析应变能力，在这儿表示出甲的工作量，其实乙的工作量也就可以表示出来，再表示出各自的费用，问题就解决了。
三．应用题（共15小题，满分75分，每小题5分）
14．（5分）（2022秋•道县期末）甲、乙两人同时分别加工同样多的一种零件，当甲做了他的时，乙还有46个没有做。这时甲效率提高20%，乙效率不变。当甲又做了余下的时，乙还有没有做完。两人一共要加工零件多少个？
【思路点拨】根据在相同时间内甲乙工作总量可得甲乙工作量的比，再根据比求得乙在甲做他的时乙的工作量，然后求出乙做46个零件时的工作量，就可得甲乙总的工作量。
【规范解答】解：甲做余下的相当于用原工作效率做了零件的（1﹣）×÷（1+20%）＝。
甲乙在相同时内的工作量的比是：（+）：（1﹣）＝8：9
甲做他的时，乙的工作量是：÷＝
甲乙加工零件总数：46÷（1﹣）×2＝128（个）
答：两人一共要加工零件128个。
【考点评析】明确相同时间内甲乙两人工作量的比是解决本题的关键。
15．（5分）（2022秋•渝中区期末）甲、乙两人合作完成一项工作，由于配合默契，甲的工效比单独做时提高了，乙的工效比单独做时提高了，甲、乙合作6小时完成此项工作。已知甲单独做需要12小时，那么乙单独做需要多少小时？
【思路点拨】将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，将甲单独做的效率看作单位“1”，甲单独做的效率×（1+）＝两人合作甲的效率；两人合作的效率和﹣两人合作甲的效率＝两人合作乙的效率，两人合作乙的效率÷（1+）＝乙单独做的效率；工作总量÷乙单独做的效率＝乙单独做需要的时间，据此列式解答。
【规范解答】解：甲合作时工效：
×（1+）
＝×
＝
乙合作时工效：＝
乙单独做时工效：÷（1+）
＝÷
＝×
＝
乙单独做用时：1÷＝（小时）
答：乙单独做需要小时。
【考点评析】关键是理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。
16．（5分）（2021•宁波模拟）甲、乙、丙三人分别搬运同一个仓库的货物，甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时。第二天三人又到同样的A、B两个仓库工作。甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，共用了16个小时将两个仓库同时搬完。丙在A仓库搬了多长时间？
【思路点拨】把第一个仓库的工作量看作单位“1”，那么甲的工作效率是，那么乙的工作效率是，那么丙的工作效率是。那么丙在A仓库比B仓库少做了（×16﹣×16）÷＝4小时，再根据和差问题的解法，求出丙在A仓库做的时间，即（16﹣4）÷2＝6（小时）。
【规范解答】解：（×16﹣×16）÷
＝×15
＝4（小时）
（16﹣4）÷2＝6（小时）
答：丙在A仓库做了6小时。
【考点评析】此题解答的关键在于表示出三人的工作效率，求出丙在A仓库比B仓库少做的时间，进而解决问题。
17．（5分）（2021•宁波模拟）甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程，B工程的工作量是A工程的倍，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A工程所需要的时间分别是20天、24天、30天。现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合作B工程若干天，然后与甲队合作A工程若干天。问：丙队与乙队合作了多少天？
【思路点拨】把A工程看作“1”，B工程的工作量是A工程的倍；于是可以求总工作时间；B工程减去乙单独的工作量，即为丙队与乙队合做的工作量，然后除以丙的工作效率，就是丙队与乙队合做的时间。
【规范解答】解：把A工程看作“1”，则B工程为
则总工作量：1+＝
工作时间：÷（+）
＝
＝18（天）
丙队与乙队合做了：（﹣×18）÷＝15（天）
答：丙队与乙队合做了15天。
【考点评析】解决此题的关键是把A工程看作“1”，先求出总时间，进而利用工作量、工作时间和工作效率之间的关系，求出问题的答案。
18．（5分）（2022春•麻阳县期中）一个水池可以容水36立方米，有两个注水管注水，如果单开甲管6小时可以注满，如果单开乙管4小时可以注满，现在同时打开两个注水管向这个水池注水，几小时后可以注满这个水池的？此时，甲管注水多少立方米？
【思路点拨】把这个水池的总量看作单位“1”，甲开一个小时注水占总量的，乙开一个小时注水占总量的，然后根据÷甲乙水管注水工作效率之和＝合作时间，求出几小时后可以注满这个水池的，再用总的合作时间乘得到甲注的水量占的水池的分率；在用36乘甲注的水量占的水池的分率得到甲管注水多少立方米。
【规范解答】解：÷（+）
＝÷
＝2（小时）
2×＝
36×＝12（立方米）
答：2小时后可以注满这个水池的；此时，甲管注水12立方米。
【考点评析】解答此题的关键是根据工作总量、工作时间和工作效率的关系计算出合作时间，进而求出甲管的注水量。
19．（5分）（2021•江北区校级开学）三名工人师傅张强、李辉和王充分别加工200个零件，他们同时开始工作，当李辉加工200个零件的任务全部完成时；张强才加工了160个，王充还有48个没有加工，当张强加工200个零件的任务全部完成时，王充还有多少个零件没有加工？
【思路点拨】因为他们同时开始工作，所以在时间相同的情况下，李辉加工200个零件，张强才加工了160个，王充加工了（200﹣48）个，因此可以求出时间相同的情况下，张强与王充的工作量的比；然后通过两人工作量的比，张强加工200个零件，求出王充加工了多少个零件，从而求出王充还有多少个零件没有加工。
【规范解答】解：张强：王充＝160：（200﹣48）＝20：19
王充：200÷20×19
＝10×19
＝190（个）
200﹣190＝10（个）
答：当张强加工200个零件的任务全部完成时，王充还有10个零件没有加工。
【考点评析】这一题考查了工程问题和按比例分配这两个知识点的灵活运用。
20．（5分）（2022•南昌）市政工程队维修一条道路，由甲、乙两个组合作完成。其中甲组每天能完成这条道路的，乙组每天能完成这条道路的，两组合作6天后，甲组离开另修别的道路，那么乙组还要工作几天才能完成维修任务？
【思路点拨】用甲的工作效率加乙的工作效率，求出两人工作效率的和，再乘6，就是两队合作6天完成这条路的几分之几，用总工作量1减去两人合作完成的，求出剩下这项工程的几分之几，再根据工作时间＝工作量÷工作效率，除以乙的工作效率，就是还要需要的天数；据此解答即可。
【规范解答】解：[1﹣（+）×6]÷
＝[1﹣×6]÷
＝÷
＝15（天）
答：乙组还要工作15天才能完成维修任务。
【考点评析】本题主要考查了学生对工作量、工作时间、工作效率三者之间关系的掌握情况。
21．（5分）（2021•宁波模拟）甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务。如果甲单独加工，需要12小时完成。现在甲、乙两人共同加工了2小时后，甲被调走做其它工作，由乙继续加工了420个零件才完成任务。问：乙一共加工了多少个零件？
【思路点拨】乙单独加工，每小时加工﹣＝。甲调走后，剩下工作乙需做（1﹣2×）÷＝（时），所以乙每小时加工零件420÷＝25（个），则2小时加工25×2＝60（个），所以乙一共加工零件420+60＝480（个）。
【规范解答】解：﹣＝
（1﹣2×）÷＝（时）
420÷＝25（个）
420+25×2＝480（个）
答：乙一共加工零件480个。
【考点评析】本题考查工程问题。工作量＝效率×时间。
22．（5分）（2020秋•玉环市期末）修一段公路，甲工程队单独修30天完成，乙工程队单独修20天完成。
（1）两队合修几天可以完成这段路的？
（2）如果先由甲队单独做若干天后，再由乙队接着单独做完，前后共用了22天完成。甲队做了几天？
【思路点拨】（1）把修路总任务看作单位“1”，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，再根据工作时间＝工作总量÷甲乙的工作效率和，即可求出两队合修几天可以完成这条公路的；
（2）本题已知甲、乙两队共用了22天，无法知道各自单独做了几天，因此可以类比鸡兔同笼问题，运用假设法来解答；首先把这件工作的总量看作单位“1”，假设22天都是乙队做的，就会比单位“1”多做，可利用“多做的工作量÷每天多做的工效”求得甲队做的天数即可。
【规范解答】解：（1）÷（+）
＝÷
＝10（天）
答：两队合修10天可以完成这段路的。
（2）假设22天都是乙做的，那么：
乙队就会多做：
×22﹣1
＝﹣1
＝
乙队每天就会多做：
﹣＝
甲队做的天数：
÷＝6（天）
答：甲队做了6天。
【考点评析】本题主要考查工程问题和鸡兔同笼，解题关键是要把修路的总任务看作单位“1”，利用工作时间＝工作总量÷甲乙的工作效率和，求出完成的时间。
23．（5分）（2021春•鹿城区校级期中）一个居民小区计划用40名民工，两周时间完成天然气管道的铺设任务。民工工作了2天后，又增加了20人，若每个民工的工作效率一样，这个小区的居民可以提前几天用上天然气？
【思路点拨】两周就是14天，40名工人14天完成工作任务，每天可以完成总工作量的，又增加了20名工人，若每名工人的工作效率相同，则20名工人每天可完成总任务×（20÷40），用14天减去40名工人做的两天，再减去剩下的工作量60名工人所用的天数就是提前的天数。
【规范解答】解：7×2＝14（天）
1﹣×2
＝1﹣
＝
+×（20÷40）
＝+
＝
÷＝8（天）
14﹣2﹣8
＝14﹣10
＝4（天）
答：这个小区的居民可以提前4天用上天然气。
【考点评析】本题主要考查的是工程问题，解题的关键是明确工作量÷工作效率＝工作时间。
24．（5分）（2022•大渡口区模拟）用甲、乙、丙三个排水管排水，甲管排出1立方米水的时间，乙管能排出1.25立方米的水，丙管能排出1.5立方米的水．现在要排完某个水池的水，先开甲管，2小时后开乙管，几小时后再开丙管，到下午4时正好把水排完，且各个排水管排出的水量正好相等．问什么时候打开的丙管？
【思路点拨】要使排水量相等，甲管和乙管用的时间比是1.25：1＝5：4，所以单独开乙管需要2÷（5﹣4）×4＝8小时．乙管和丙管的时间比是1.5：1.25＝6：5，所以单独开丙管需要8÷6×5＝小时，即6小时40分，到下午4时正好把水排完，所以丙管打开的时刻是10时20分．
【规范解答】解：解法一：
由它们的排水量可知，排相同的水量，甲、乙、丙所用时间的比是：
1.5：1.25：1＝6：5：4
则单独开乙管需要2÷（5﹣4）×4＝8（小时）．
单独开丙管需要8÷6×5＝（小时），即6小时40分．
所以丙管打开的时刻是9时20分．
解法二：乙管先开2小时，比甲管多排2×1.25＝2.5立方米；
所以甲管用了2.5÷（1.25﹣1）＝10小时；
甲管10小时放水量丙管需要10×1÷1.5＝小时，即6小时40分；
所以丙管打开的时刻是9时20分．
答：丙管打开的时刻是9时20分．
【考点评析】本题主要是通过它们排水的比求出排相同所用时间的比进行解答的．
25．（5分）（2021•宁波模拟）我们规定两人轮流做一个工程是指，第一个人先做一个小时，第二个人做一个小时，然后再由第一个人做一个小时，然后又由第二个人做一个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？
【思路点拨】依题意可知，两次做每人所花时间为：甲乙轮流做一个工程，甲工作了5小时，乙工作了4.8小时；乙甲轮流工作时，乙工作了5小时，甲工作了4.6小时．由此可知甲工作0.4小时相当于乙工作 0.2小时，推出甲工作5小时相当于乙工作2.5小时，故求出乙单独做此工程需要的时间，解决问题．
【规范解答】解：甲乙轮流做一个工程，甲工作了5小时，乙工作了4.8小时；乙甲轮流工作时，乙工作了5小时，甲工作了4.6小时．
所以甲做0.4小时完成的工程等于乙做0.2小时，乙的效率是甲的0.4÷0.2＝2（倍），
甲做5小时完成的任务乙只要2.5小时就能完成．
所以乙单独完成这个工程要：2.5+4.8＝7.3（小时）．
答：乙单独做这个工程需要7.3小时．
【考点评析】此工程问题有一定难度，认真分析后，求出甲乙工作效率之间的倍数关系是解答的关键．
26．（5分）（2021秋•长安区期末）某项工程，甲单独完成需要8天，乙单独完成需要10天，丙单独完成需要20天，若甲先做2天，剩下的由乙、丙合作，那么完成这项工程共用了多少天？
【思路点拨】已知甲单独做需要8天完成，乙单独做需要10天完成，丙单独完成需要20天，则甲一天完成，乙一天完成，丙一天完成，现在有甲先做2天，则剩下这项工程的（1﹣×2），再根据工作时间＝工作量÷工作效率进行解答即可。
【规范解答】解：（1﹣×2）÷（+）+2
＝÷+2
＝5+2
＝7（天）
答：完成这项工程共用了7天。
【考点评析】本题主要考查了学生对工作时间、工作量和工作效率之间数量关系的掌握情况。
27．（5分）（2022•长治模拟）甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时。丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？
【思路点拨】把一池水的水量看作单位“1”，5小时甲乙两水管共注水（+）×5＝，离注满还有1﹣＝，这时打开两管，则注满水池需要的时间为÷（+﹣）；据此求解即可。
【规范解答】解：[1﹣（+）×5]÷（+﹣）
＝[1﹣]÷
＝÷
＝35（小时）
答：水池注满还是要35小时。
【考点评析】本题主要考查了工程问题，此类问题需要掌握工作效率、工作时间和工作总量之间的基本关系：工作总量÷工作效率＝工作时间。
28．（5分）（2022•重庆）有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮流做。原计划按甲、乙、丙次序轮流做，恰好整数天完成。如果按乙、丙、甲次序轮做，比原计划多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知甲单独做13天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
【思路点拨】据题意可知，按甲、乙、丙次序轮做，恰好整天完工，其余两个方案都不是整天完工，那么甲乙丙的方案，一定是甲或乙结尾，不可能是丙结束，丙结束就是整数周期．所以按两种情况分析：第一种情况是甲结束，甲＝乙+丙×＝丙+甲×，丙＝×甲，乙＝×甲，这样丙、乙的工作效率就相同了，据题意，三队的工作效率各不相同，从而排除第一种情况；第二种情况，乙结束，甲+乙＝乙+丙+甲×＝丙+甲+乙×，丙＝甲×＝乙×，丙＝甲×，乙＝甲×，所以三个工程队合作的时间是13÷（1++）＝（天）。
【规范解答】解：根据条件可从如下两种情况进等分析：
第一种情况是按甲、乙、丙次序轮做，甲结束：
甲＝乙+丙×＝丙+甲×，丙＝×甲，乙＝×甲，
这样丙、乙的工作效率就相同了，据题意，三队的工作效率各不相同，从而排除第一种情况；
第二种情况是按甲、乙、丙次序轮做，乙结束：
甲+乙＝乙+丙+甲×＝丙+甲+乙×，丙＝甲×＝乙×，丙＝甲×，乙＝甲×，
所以三个工程队合作的时间是13÷（1++）＝（天）。
答：那么这项工程由甲、乙、丙三个队合作要天完成。
【考点评析】完成本题要据所给条件分两种情况以甲为1进行认真的分析，从而得出另两个队的工作效率