专题25 不定方程 —2022-2023学年六年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义

专题25 不定方程

当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：

x＝2.4    x＝2.7    x＝3.06    x＝3.6

 y＝1      y＝1.5   y＝2.1      y＝3

   如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。

   解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。

   对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。

【典例分析01】求3x+4y＝23的自然数解。

     先将原方程变形，y＝。可列表试验求解：

所以方程3x+4y＝23的自然数解为

                                 X=1       x=5

                                 Y=5       y=2

 【典例分析02】求下列方程组的正整数解

5x+7y+3z＝25

3x－y－6z＝2

这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。

5x+7y+3z＝25     ①

3x－y－6z＝2     ②

由①×2+②，得13x+13y＝52

                X+y＝4       ③

把③式变形，得y＝4－x。

因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.

   当x＝1时，y＝3

   当x＝2时，y＝2

   当x＝3时，y＝1

  把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。

                                  x＝2，y＝2时，z也无正整数解。

                                  x＝3时，y＝1时，z＝1.

所以，原方程组的正整数解为  x＝1

                            y＝1

                            z＝1

【典例分析03】一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？

   两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。

   设大盒子有x个，小盒子有y个，则

   12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）

        y＝（99－12y）÷5

经检验，符合条件的解有： x＝2            x＝7

                             y＝15           y＝3

      所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。

【典例分析04】买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？

设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。根据题意得：

       4x+3y+2×（30－x－y）＝82

                           x＝10－

由式子可知：y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：

【典例分析05】某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？

   设一等奖有x人，二等奖有y人，三等奖有z人。则

        6x+3y+2z＝22     ①

        9x+4y+z＝22      ②

由②×2－①，得12x+5y＝22

                    y ＝                         x＝1

x只能取1。Y＝2，代入①得z＝5，原方程的解为  y＝2

                                                         z＝5

所以，一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。

一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）

1．（2分）（2022•永济市）有一些6厘米和7厘米长的小棒，从中取出一些接在一起不能得到的长度（　　）

A．29厘米 B．30厘米 C．31厘米

2．（2分）（2020秋•乌兰察布期末）一个28人的旅游团到租车公司租车。小汽车限坐4人，商务车限坐6人，如果每辆车都坐满，那么旅游团要租（　　）

A．5辆小汽车和2辆商务车 B．4辆小汽车和2辆商务车 

C．3辆小汽车和3辆商务车

3．（2分）（2020秋•雨花区校级期中）用一辆载质量2吨和一辆质量3吨的卡车运沙石，如果每次每辆车都装满，怎样可以恰好运完8吨？（　　）

A．载质量2吨的车运4次 

B．载质量2吨的车运1次，载质量3吨的车运2次 

C．A或B都行

4．（2分）（2013•宝山区模拟）已知与都是方程y＝kx+b的解，则k与b的值为（　　）

A．，b＝﹣4 B．，b＝4 C．，b＝4 D．，b＝﹣4

5．（2分）（2021秋•莱阳市期末）超市有4支装和6支装不同包装的碳素笔，小明想买36支，有（　　）种不同的买法。

A．3 B．4 C．5

二．填空题（共7小题，满分14分，每小题2分）

6．（2分）（2021秋•即墨区期末）学校组织学生去实践基地。五年级有360人，大客车每辆坐45人，小客车每辆坐30人，恰好没有空位，有 　   　种不同的安排方法。

7．（2分）（2022秋•莱山区期末）31人住旅馆，有3人间和2人间若干。如果每间房都要住满，有 　   　种不同的安排方案。

8．（2分）（2022•高淳区）某蛋糕店采用发放号牌的方式销售蛋糕，同一批次只发放4个号牌（每人限领1个号牌），每个号牌最多购买3盒蛋糕、最少购买1盒蛋糕（每盒里有3个蛋糕）。要保证同一批次的人都能买到所需要的蛋糕，蛋糕店每批次至少要准备 　   　个蛋糕。

9．（2分）（2022秋•潍坊期末）一种巧克力有4块装和6块装两种包装方式，要购买这种巧克力26块，有 　   　种不同的买法。

10．（2分）（2021秋•滨城区期末）元旦联欢会需要购买48米长的彩带装饰教室。现有4米一根和6米一根的彩带两种，共有 　   　种不同的买法。如果4米的买3根，6米的就应该买 　   　根。

11．（2分）（2021秋•涿鹿县校级期末）王老师要买56支钢笔做奖品，同样的钢笔有4支装和6只装两种不同的包装，王老师共有 　   　种不同买法。

12．（2分）（2021秋•栖霞市期末）29人住旅馆，有3人间和2人间若干，每间房住满，有 　   　种不同的安排。

三．应用题（共16小题，满分76分）

13．（4分）（2021•和平区）用载重5吨和3吨的大小卡车往城市运39吨蔬菜。大卡车和小卡车各用几辆正好一次运完？

14．（4分）（2019秋•顺庆区期末）学校有26位老师周末开轿车下乡扶贫，轿车准载人数有7座和5座两款．如果每辆车都坐满，7座和5座的车各需要几辆？

15．（4分）（2022秋•长沙县期末）参加青少年冬令营的43名同学入住宾馆，宾馆有三人间和两人间（不能空床）。怎样给同学们安排房间最合适？请你写出至少两种方案。

16．（4分）（2022秋•东城区期末）20人去公园划船。每条大船限坐5人，每条小船限坐3人。一共有几种租船方案？请你在表格中填一填、算一算。

如果每条船都坐满，没有空位，有 　   　种租船方案。

17．（5分）（2021秋•萧山区期末）一堆重45吨的沙子，安排两种载质量的货车运送。大车每次运9吨，小车每次运6吨。如果每次运沙的车子都装满，怎样安排恰好运完？（写出所有符合条件的方案）

18．（5分）（2021•宁波模拟）学校要安排66名新生住宿，小房间可以住4人，大房间可以住7人，分别需要多少间大、小房间，才能正好将66名新生安排住下？

19．（5分）（2019春•上海月考）单位职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带了一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工？

20．（5分）（2021秋•青云谱区期末）有50人去划船，大船每条可坐6人，小船每条可坐4人。如果每条船都坐满，可以怎样租船？（写出一种符合条件的方案即可）

21．（5分）（2020秋•吴兴区期末）两种盒子都可以用来装牛奶。如果要把28瓶牛奶都装到盒子中，而且每盒都装满，可以怎样装？（写出所有符合要求的装法）

22．（5分）（2021秋•合阳县期中）15名同学组织国庆节放假期间去游乐园划船。游乐园有大小两种船型，大船限坐5人，小船限坐3人。如果每条船都坐满，可以怎样租船？

23．（5分）（2019秋•涧西区期末）你玩过抱团游戏吗？游戏规则：可6人抱一堆，也可4人抱一堆．

如果有38人，怎样抱团刚好一人也不剩下．请用自己的方式找出所有可能的方案，做到不重复、不遗漏．

24．（5分）（2022•沈阳模拟）如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子。动点P、Q同时从点A出发，点P沿A～B～C～D方向以每秒2cm的速度运动，到点D停止；点Q沿A～D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止。P、Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋连接，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm2。

（1）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x的值。

（2）求当x＝时y的值。

（3）在橡皮筋从触及钉子到运动停止的过程中，直接写出∠POQ为直角时x的数值。

25．（5分）（2021秋•威宁县期末）一次夏令营活动有21位学生参加，请你安排住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），有多少种不同的安排？（填表并找出答案）

答：一共有 　   　种不同的安排。

26．（5分）（2019秋•开福区校级期中）一个12人的考察团要入住华丰酒店，酒店有2人间和3人间可供选择，如果每间房都需要住满，可以怎样定房？

27．（5分）（2017秋•海安县校级期末）工程队用载重量分别为3吨和5吨的两种卡车给工地送黄沙．一共运送了26吨，两种车各送了几次？

28．（5分）（2015秋•株洲期末）有48人去旅游，如果每车都坐满，可以怎样租车？（至少写出三种租车方案）