专题23 同余定理 —2022-2023学年六年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义

专题23 同余定理

同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的：

两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。记作：a≡b（mod　ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod　5）。

同余的性质比较多，主要有以下一些：

性质（1）：对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod　5），19≡4（mod　5），32+19≡2+4≡1（mod　5）

性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。

性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。

应用同余性质的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。

【典例分析01】求1992×59除以7的余数。

应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。1992除以7余4，59除以7余3。根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。

因为1992×59≡4×3≡5（mod 7）

所以1992×59除以7的余数是5。

【典例分析02】已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？

一星期有7天，要求2010年的国庆节是星期几，就要求从2001年到2010年的国庆节的总天数被7除的余数就行了。但在甲酸中，如果我们能充分利用同余性质，就可以不必算出这个总天数。

2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“366×2+365×7”天。因为366×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7）

              答：2010年的国庆节是星期五。

【典例分析03】求2001的2003次方除以13的余数。

2001除以13余12，即2001≡12（mod 13）。根据同余性质（4），可知2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是一个很大的值，要求它的余数比较困难。这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。经试验可知12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1。所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod 13），即12的2002次方≡1（mod 13），而12的2003次方≡12的2002次方×12。根据同余性质（2）可知12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13）

因为：2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13）

12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1

12的2003次方≡12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13）

所以2001的2003次方除以13的余数是12。

【典例分析04】自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，m最大是多少？

自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，换句话说就是16520≡14903≡14177（mod m）。根据同余性质（3），这三个饿数同余，那么它们的差就能被m整除。要求m最大是多少，就是求它们差的最大公约数是多少？

因为16520—14903=1617=3×7的平方×11

16520—14177=2343=3×11×71

     14903—14177=726=2×3×11的平方

M是这些差的公约数，m最大是3×11=33。

【典例分析05】某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是几？

我们可从较大的除数开始尝试。首先考虑与1模8同余的数，9≡1（mod 8），但9输以7余数不是5，所以某数不是9。17≡1（mod 8），17除以7的余数也不是5。25≡1（mod 8），25除以7的余数也不是5。33≡1（mod 8），33除以7的余数正好是5，而且33除以6余数正好是3，所以这个数最小是33。上面的方法实际是一种列举法，也可以简化为下面的格式：

被8除余1的数有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，……其中被7除余5的数有：33，89，……这些数中被6除余3的数最小是33。

一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）

1．（2分）一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（　　）

A．78 B．88 C．98 D．90

2．（2分）一堆彩色玻璃球，二个二个一数余1个，三个三个一数余1个，五个五个一数也余1个，则这一堆玻璃球至少有（　　）个．

A．11 B．16 C．21 D．31

3．（2分）一筐桔子6个人平均分余1个，7个人平均分也余1个，这筐桔子至少有（　　）个．

A．13 B．21 C．8 D．43

4．（2分）一箱桃子有40多个，如果把这箱桃子每8个装一盒，还剩5个；如果每10个装一盒，也剩余5个，这箱桃子有（　　）个。

A．40 B．45 C．48

5．（2分）某数分别被2、3、5除，都余1，那么这个数最小是（　　）

A．11 B．16 C．31

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

6．（2分）某个大于1的整数除33、45得到的余数相同，那么这个整数最大可能是　   　。

7．（2分）一个大于1的整数分别除167，352，574得到相同的余数，则这个整数为　   　．

8．（2分）用某数分别去除数560、906和1252，所得余数都相同，则这个数是　   　．

9．（2分）22003与20032的和除以7的余数是　   　．

10．（2分）用一个数分别去除32、47、62都余2，这个数最大是　   　．

11．（2分）442，297，210分别除以某个大于1的自然数，能得到相同的余数，则该自然数是 　   　。

12．（2分）一排士兵（不超过12人）报数，1、2、1、2……地报数，排尾的人报1；1、2、3、1、2、3……地报数，排尾的人报2；1、2、3、4、1、2、3、4……地报数，排尾的人报3。有 　   　名士兵。

13．（2分）如果33、27与21分别除以同一个数，余数都是3，那么这个除数最大的是　   　．

三．应用题（共15小题，满分74分）

14．（4分）不满千人的士兵等分为4队，每队排成14人或12人一排都余8人，后来改为8人一排则无剩余．求一共有多少人？

15．（5分）某个大于1的整数除41、11得到的余数相等，那么这个整数可能是几？

16．（5分）一堆苹果不少于10个，三个三个的数，四个四个的数，五个五个的数都多两个，这堆苹果最少有多少个？

17．（5分）有一个数，它比30小，比20大，如果平均分成4份还余2，如果平均分成6份就余4，这个数是多少？

18．（5分）用151、197、238分别除以同一个整数，所得3个余数的和是31，这个整数是几？

19．（5分）如果13511、13903、14589这3个自然数除以一个自然数，所得的余数相同，那么这个自然数最大是多少？

20．（5分）在小于1000的自然数中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然数是几？

21．（5分）用自然数a去除498、450、414，得到相同的余数，a最大是多少？

22．（5分）有一袋苹果，数量在100﹣200之间，每2个一盘余1个，每3个一盘余1个，每5个一盘也余1个，这袋苹果至少多少个？

23．（5分）求被5除余2，被6除余5，在100至200之间所有这样的数．

24．（5分）一堆桃子，2个一堆剩1个，3个一堆剩1个，4个一堆剩1个，这堆桃子至少有多少个？

25．（5分）有一个两位数，被14除余2，被21除余2，被12除余2，这个两位数是多少？

26．（5分）有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数．

27．（5分）有一些糖果，不足60块．平均分给7个小朋友或8个小朋友，都剩下1块，这些糖果有多少块？

28．（5分）有一个不等于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？