专题10 面积计算（组合图形的面积） —2022-2023学年六年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义

专题10 面积计算（组合图形的面积）

对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。

【典例分析01】如图20－1所示，求图中阴影部分的面积。

【思路导航】解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图20－2），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米

            【3.14×102×－10×（10÷2）】×2＝107（平方厘米）

                        答：阴影部分的面积是107平方厘米。

解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。

            （20÷2）2×－（20÷2）2×＝107（平方厘米）

                       答：阴影部分的面积是107平方厘米。

【典例分析02】如图20－6所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

【思路导航】解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。如图20－7所示。

              3.14×62×－（6×4－3.14×42×）＝16.82（平方厘米）

解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。

              3.14×42×+3.14×62×－4×6＝16.28（平方厘米）

                    答：阴影部分的面积是16.82平方厘米。

【典例分析03】正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。

【思路导航】解法一：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如图20－13所示），再用正方形的面积减去全部空白部分。

             空白部分的一半：10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米）

             阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米）

解法二：把图中8个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图20－14所示），而8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。

              （10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）

                       答：阴影部分的面积是57平方厘米。

【典例分析04】在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。

【思路导航】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可以看出，AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图20－18所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。

既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）

阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）

                       答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。

【典例分析05】扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。

【思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径未知，又无法求出，所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图20－23所示），从图中可以看出，新正方形的面积是30×2＝60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。这样虽然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。

             3.14×（30×2）×－30＝17.1（平方厘米）

                            答：阴影部分的面积是17.1平方厘米。

一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）

1．（2分）（2022秋•龙州县期末）如图所示，长方形与平行四边形有一部分重叠，比较涂色部分的面积，S甲（　　）S乙。

A．大于 B．小于 C．等于

2．（2分）（2022秋•天镇县期末）如图，甲、乙是两个完全一样的平行四边形，甲、乙两图中的阴影部分的面积相比较，（　　）

A．甲阴影＝乙阴影 B．甲阴影＞乙阴影 

C．甲阴影＜乙阴影 D．无法比较

3．（2分）（2022秋•怀柔区期末）如图，甲、乙、丙三位同学用相同的正方形卡纸剪图形，甲剪了一个最大的扇形，乙剪了一个最大的圆，丙剪了四个最大的圆，三个人剩下的卡纸（　　）

A．甲最多 B．乙最多 C．丙最多 D．一样多

4．（2分）（2022秋•顺德区期末）如图，在半径为4m的圆形荒地中建造一个正方形的水池，并在水池的四周铺上草坪，草坪的面积是水池面积的（　　）

A． B． C．57% D．53%

5．（2分）（2022秋•金湾区期末）下面两个图形中阴影部分都是扇形，它们的半径都相等，比较它们阴影部分的面积，（　　）

A．周长与面积都相等 B．周长不相等，面积相等 

C．周长相等，面积不相等 D．周长与面积都不相等

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

6．（2分）（2022秋•邹平市期末）如图，A点是正方形一条边上的中点，则梯形面积是三角形面积的 　   　倍。

7．（2分）（2022秋•河东区期末）图中，半圆的直径是4cm，求图中阴影部分的面积是 　   　cm2。

8．（2分）（2022秋•武汉期末）在一个长方形中有两个大小相同的圆（如图），涂色部分的面积是8m2，则一个圆的面积是 　   　m2。

9．（2分）（2022秋•即墨区期末）如图中正方形的边长是4厘米，阴影部分的面积是 　   　平方厘米。

10．（2分）（2022秋•延庆区期末）图中阴影部分的周长是 　   　厘米，面积是 　   　平方厘米（π取3.14）。

11．（2分）（2022秋•沈阳期末）右图阴影部分的面积是 　   　。

12．（2分）（2022秋•道县期末）如图：等边三角形的边长是6cm，则涂色部分的面积是 　   　平方厘米，空白部分的周长是 　   　厘米。

13．（2分）（2021秋•南开区期末）中国建筑中经常能见到“外方内圆”的设计。图中正方形两个顶点的连线长6dm。圆与正方形之间的部分（即阴影部分）是 　   　dm2。

三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）

14．（2分）（2022秋•万州区期末）如图中每个小方格的面积是1cm2，图中多边形的面积是18cm2。 　   　（判断对错）

15．（2分）（2021秋•郧阳区期末）如图，梯形中两个涂色三角形甲、乙面积是相等的。 　   　（判断对错）

16．（2分）（2021秋•简阳市 月考）当一个正方形、一个长方形和一个圆的周长相等时，圆的面积最小。 　   　（判断对错）

17．（2分）（2021秋•铁西区期末）如图，正六边形内接于圆，如果大圆的面积为12.56平方厘米，那么，图中阴影部分面积是6.28平方厘米。 　   　（判断对错）

18．（2分）（2020秋•隆德县期末）如图中，阴影A和阴影B的面积相比较A＝B。 　   　（判断对错）

四．计算题（共3小题，满分15分，每小题5分）

19．（5分）（2022秋•驻马店期末）求阴影部分的面积（单位：cm）。

20．（5分）（2022•冷水滩区）求阴影部分面积。（单位：cm）

21．（5分）（2022•永济市）求如图中阴影部分的面积（单位：厘米）

五．应用题（共8小题，满分49分）

22．（6分）（2022秋•武昌区期末）在一张直径是10厘米的圆中剪下一个最大的正方形（如图所示），剩下阴影部分的面积

是多少平方厘米？

23．（6分）（2021秋•平昌县期末）小红家想靠墙建一个鸡舍，已知每只鸡占地面积相同。小红和妈妈分别作了半圆和正方形鸡舍的设计（如图），请你通过计算，判断出谁设计的鸡舍养的鸡多？（得数保留整数）

24．（6分）（2021秋•连江县期末）求阴影部分的面积。（图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米）。

25．（6分）（2022春•侯马市期末）如图，王叔叔用9.42米长的篱笆靠墙围了一个最大的养鸡场，这个养鸡场的面积是多少平方米？如果每只鸡占地0.2平方米，这个养鸡场最多可以养多少只鸡？（根据实际情况，结果保留整数）

26．（6分）（2022春•福鼎市期中）某开发区大标语牌上要画出如下图所示的三种标点符号：句号、逗号、问号。已知大圆半径相同，都为R；小圆半径也相同，都为r；而且R：r＝2：1.如果都是均匀用料，画哪个标点符号的油漆用得最多？

27．（6分）（2023•巴州区）图中三角形的面积是90cm2，求阴影部分的面积。

28．（6分）（2022秋•英山县期末）计算阴影面积

（1）

（2）

29．（7分）（2022秋•唐河县期末）如图是由两个相同的半圆叠拼而成的。已知△ABC是一个等腰直角三角形，AB＝BC＝10dm。图中涂色部分的面积是多少平方分米？