专题25 抽屉原理 2022-2023学年三年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

2022-2023学年小学三年级思维拓展举一反三精编讲义

专题25 抽屉原理

专题简析：

把12个苹果放到11个抽屉中去，那么，至少有一个抽屉中放有两个苹果，这个事实的正确性是非常明显的。把它进一步推广，就可以得到数学里重要的抽屉原理。

用抽屉原理解决问题，小朋友一定要注意哪些是“抽屉”，哪些是“苹果”，并且要应用所学的数学知识制造抽屉，巧妙地加以应用，这样看上去十分复杂，甚至无从下手的题目才能顺利地解答。

【典例分析01】 敬老院买来许多苹果、橘子和梨，每位老人任意选两个，那么，至少应有几位老人才能保证必有两位或两位以上老人所选的水果相同？

【思路引导】根据抽屉原理，要保证必有两个或两个以上的苹果放在同一抽屉中，苹果总数至少要比抽屉数多1。这里，我们可以马敬老院老人人数看作抽屉原理中的苹果数，关键是看抽屉数了。

因为三种水果任选两个的搭配有：苹果——苹果；苹果——橘子；苹果——梨；橘子——橘子；橘子——梨；梨——梨共6种，所以，既然有6个抽屉，必须至少有7个苹果才能保证两个或两个以上的苹果放在同一抽屉里，即至少要7位老人。

【典例分析02】 幼儿园大班有41个小朋友，老师至少拿几件玩具随便分给大家，才能保证至少有一个小朋友能得两件玩具？

【思路引导】41个小朋友相当于41个抽屉，玩具的件数相当于苹果。根据抽屉原理，玩具的件数应比41多1，所以至少要拿42件玩具。

【典例分析03】 盒子里混装着5个白色球和4个红色球，要想保证一次能拿出两个同颜色的球，至少要拿出多少个球？

【思路引导】如果每次拿2个球会有三种情况：（1）一个白球，一个红球；（2）两个白球；（3）两个红球。不能保证一次能拿出两个同颜色的球。

如果每次拿3个球会有四种情况：（1）一个白球，两个红球；（2）一个红球，两个白球；（3）三个白球；（4）三个红球。这样每次都能保证拿出两个同颜色的球，所以至少要拿出3个球。

【典例分析024 一个布袋里装有红、黄、蓝袜子各5只，问一次至少取出多少只，才能保证每种颜色至少有一只？

【思路引导】我们从最不利的情况着手，如果先取5只全是红的，那么只了再取5只；如果5只又全是黄的，这时，再取1只一定是蓝的了，这样取5×2＋1=11只才能保证每种颜色至少有1只。

【典例分析025  三（2）班有50个同学，在学雷锋活动中，每人单独做了些好事，他们共做好事155件。问：是否有人单独做了4件或4件以上的好事？

【思路引导】根据条件可知：三（2）班有50个同学，假如每个同学做3件好事，那就做了3×50=150件好事，而他们做的好事是155件，就多做了155－150=5件，所以完全可能有一个同学做了4件或4件以上好事。

一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）

1．（2分）有16个苹果，每3 个放一盘，至少要（　　）个盘子．

A．4 B．5 C．6 D．7

【思路引导】求至少可以装几盘，即求16里面含有几个3，用除法解答即可．

【规范解答】解：16÷3＝5（个）…1个

5+1＝6（个）

答：至少要6个盘子．

故选：C．

【考点评析】此题考查了有余数的除法，应明确当有余数时，应再多准备一个盘子，才能都装上．

2．（2分）李老师对一些同学进行才艺小调查，调查的结果是：会吹竖笛的有22人，会拉小提琴的有8人，其中既会吹竖笛又会拉小提琴的有4人。被调查的同学至少会其中一种乐器，李老师调查了（　　）名同学。

A．26 B．37 C．42

【思路引导】会吹竖笛的人数加会拉小提琴的人数，再减去两种都会的人数，即等于李老师调查的学生数，据此即可解答。

【规范解答】解：22+8﹣4

＝30﹣4

＝26（名）

答：李老师调查了26名同学。

故选：A。

【考点评析】熟练掌握集合问题解题方法是解答本题的关键。

3．（2分）袋子里装有材质相同的灰色乒乓球5个，黄色乒乓球4个，至少拿出几个乒乓球才能保证两种颜色的球都有．（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

【思路引导】从最不利情况考虑，灰色乒乓球5个，只有把它都取出，再拿出一个来一定能保证两种颜色的球都有；据此解答．

【规范解答】解：5+1＝6（个）

答：至少拿出6个乒乓球才能保证两种颜色的球都有．

故选：C．

【考点评析】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“抽屉原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件．”解答．

4．（2分）有六名同学围坐一圈，张老师手中有65张彩色图片，如果她依次每人每次发一张，直到发完手中所有彩色图片。这时会有（　　）名学生拿到的彩色图片多于10张。

A．5 B．6 C．10 D．不确定

【思路引导】根据题意，她依次每人每次发一张，当平均每人分得10张时（最坏的情况就是没有人多于10张），剩余的5张依次分给5名同学，据此解答。

【规范解答】解：65÷6＝10（张）……5（张）

答：这时会有5名学生拿到的彩色图片多于10张。

故选：A。

【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用。

5．（2分）把红、黄、白三种颜色的球各4个，放在一个盒子里，至少取出（　　）个球，可以保证取到4个颜色相同的球．

A．8 B．9 C．10 D．11

【思路引导】因有三种颜色的球，所以最差情况是取3次各取到一种颜色的球，所以要取把3个同一颜色球的最差机会是取（4﹣1）×3＝9次，再取1次，不论取的是什么颜色的球，都可以保证取到4个颜色相同的球．据此解答．

【规范解答】解：（4﹣1）×3+1，

＝3×3+1，

＝9+1，

＝10（个）．

答：至少取出10个球，可以保证取到4个颜色相同的球．

故选：C．

【考点评析】本题的关键是先求出保证几次取到3个颜色相同的球，再根据抽屉原理，求出取到4个相同颜色球的个数．

6．（2分）把红、黄、蓝、白四种颜色的球各6个放到一个袋子里，一次至少要取（　　）个球，才可以保证取到两个颜色相同的球．

A．7 B．6 C．5

【思路引导】要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答，最不利的情况：至少取5个球．红、黄、蓝、白，四种颜色，一次拿四个，如果拿到四种颜色，4+1＝5；由此解答即可．

【规范解答】解：4+1＝5（个）

答：一次至少要取5个球，才可以保证取到两个颜色相同的球；

故选：C．

【考点评析】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答．

二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分）

7．（2分）7本书放进3个抽屉中．无论怎么放，总有一个抽屉至少放进 　3　本．

【思路引导】把7本书放进3个抽屉中，7÷3＝2本…1本，即平均每个抽屉放入2本后，还余一本书没有放入，即有一个抽屉里至少要放进2+1＝3本书．

【规范解答】解：7÷3＝2（本）…1（本），

2+1＝3（本）．

答：总有一个抽屉至少会放进3本书；

故答案为：3．

【考点评析】把多于m×n个元素放入n个抽屉中，那么，一定有一个抽屉里至少有（m+1）个或者（m+1）个以上的元素．

8．（2分）在一副扑克牌中（大小王已被抽出），至少拿出　9　张，才能保证某一种花色的牌至少有3张．

【思路引导】每副扑克中共有4种花色（除了大小王），每种花色共有13张，最坏的情况：每种花色抽2张，一共抽出2×4＝8张，此时再任意抽出一张，就能保证某一种花色的牌至少有3张，所以一共拿出2×4+1＝9张．

【规范解答】解：2×4+1

＝8+1

＝9（张）

答：至少拿出9张，才能保证某一种花色的牌至少有3张．

故答案为：9．

【考点评析】完成本题要在了解扑克牌花色结构的基础上完成，根据最坏原理进行分析是完成本题的关键．

9．（2分）一个袋子里装着红、黄、白3种不同颜色的球各10个，从中摸出8个球，至少有　3　个球的颜色是相同的．

【思路引导】把红黄白三种颜色看做3个抽屉，取出8个球，考虑最差情况：8个球平均分给3个抽屉：8÷3＝2…1，所以一定有2+1＝3个球的颜色相同．

【规范解答】解：8÷3＝2…1，

2+1＝3（个），

答：至少有 3个球的颜色是相同的．

故答案为：3．

【考点评析】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用，这里要注意考虑最差情况．

10．（2分）二（一）班有14位女同学，都是同一年出生的，至少有　2　位同学的出生在同一个月里．

【思路引导】一年共有12个月，将这12个月当成12个抽屉，14÷12＝1名…2名，即平均每月有1名学生过生日，还余2名学生，所以至有1+1＝2名学生在同一个月里出生．

【规范解答】解：14÷12＝1（名）…2名，

1+1＝2（名）；

答：至少有2名学生在同一个月里出生．

故答案为：2．

【考点评析】此为典型的抽屉问题，在此类问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况下）．

11．（2分）一只袋里混合放着黑、白围棋子各5颗，它们的大小形状完全相同．如果不用眼睛看，要保证一次摸出两种不同颜色的棋子，至少要摸　6　颗棋子．

【思路引导】把黑、白两种颜色看做2个抽屉，利用抽屉原理，考虑最差情况可知：摸出5颗棋子，都是同一种的颜色，那么再任意摸出1颗棋子，一定可以保证有两种不同颜色的棋子．

【规范解答】解：根据分析可得，

5+1＝6（颗），

答：要保证一次摸出两种不同颜色的棋子，至少要摸 6颗棋子．

故答案为：6．

【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用．

12．（2分）布袋中装有红、黄、蓝、绿四种颜色的小球各4个，为保证一次能取出两个颜色相同的小球，一次至少要摸出　5　个小球．

【思路引导】由题意可知，袋中有红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，要保证有两个球是同色球，最差情况是一次摸出的4个球中，红、黄、蓝、绿颜色各一个，此时只要再任意摸出一个即摸出5个球，就能保证有两个球是同色球．

【规范解答】解：4+1＝5（个），

答：一次至少摸出5个，才能保证有两个球是同色球．

故答案为：5．

【考点评析】根据抽屉原理中的最差情况进行分析是完成本题的关键．

13．（2分）盒子里有5个黄玻璃球，2个白玻璃球，3个红玻璃球，至少摸出　8　个才能确保摸到的有红玻璃球．

【思路引导】考虑最坏情况：把5个黄玻璃球，2个白玻璃球，都摸出来，这时只剩下了红玻璃球，则再摸出一个一定是红球，据此即可解答．

【规范解答】解：5+2+1＝8（个）

答：至少摸出 8个才能确保摸到的有红玻璃球．

故答案为：8．

【考点评析】此考查抽屉原理，要注意考虑最差情况．

14．（2分）口袋里装有38个大小重量相同而颜色不同的小球．分别是红球12个，黄球13个，白球7个，黑球6个．如果闭上眼睛从口袋里取球，至少取出　17　个才能保证其中有5个小球是颜色相同的．

【思路引导】建立抽屉：把红、黄、白、黑四种颜色看做是4个抽屉，要保证有5个球颜色相同，可以考虑最差情况：每种颜色的球都摸出了4个球，都没有5个小球是颜色相同的，然后再任意摸出1个，就能保证其中有5个小球是颜色相同的．

【规范解答】解：4×4+1

＝16+1

＝17（个）

答：至少取出 17个才能保证其中有5个小球是颜色相同的．

故答案为：17．

【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的方法的灵活应用，此题要考虑最差情况．

15．（2分）有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里，为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子，一次至少取　4　颗．

【思路引导】将三种不同颜色看作3个抽屉，为保证一次取到2颗相同颜色的珠子，根据抽屉原理，取得物体个数至少应比抽屉数多1．

【规范解答】解：3+1＝4（颗）

答：为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子，一次至少取4．

故答案为：4．

【考点评析】此题应明确把颜色数看作“抽屉”，把取出的珠子数看作“物体个数”，根据抽屉原理，即可得出结论．

三．解答题（共12小题，满分70分）

16．（5分）某地区从1992年1月1日到6月30日，共出生婴儿729人．这些婴儿中，至少有几人是同一天出生的？

【思路引导】通过分析题意可知：要求至少有几个人是同一天出生的，先求出从1992年1月1日到6月30日共有多少天，首先判断1992是平年还是闰年，根据能被4整除的年份是闰年，不能被4整除的年份是平年．用年份除以4，有余数就是平年，没有余数就是闰年，可知1992年是闰年；将182天当做抽屉，729÷182＝4人…1人，即平均每天有4个是同一天出生，还余1人，根据抽屉原理可知，至少有4+1＝5个人是同一天出生．

【规范解答】解：1992÷4＝498

1992年是闰年，2月有29天

31+29+31+30+31+30＝182（天）

729÷182＝4…1

4+1＝5（人）

答：至少有5人是同一天出生的．

【考点评析】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是：应明确天数数即抽屉；学生数即物体个数；把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体．

17．（5分）附加题：书箱里混装着3本故事和5本科技书，要保证一次一定能拿出2本故事书，最多要拿出多少本书？

【思路引导】书箱里只放着3本故事书和5本科技书共有两种书，要保证一次拿出两本故事书，最差情况是拿出的书中都是科技书，则此时再任意拿两本，即可保证拿出两本同样故事书，即最多要拿出5+2＝7本同样的书．

【规范解答】解：5+2＝7（本）

答：最多要拿出7本书．

【考点评析】此题考查抽屉原理，考虑最差情况的出现是解决问题的关键．

18．（6分）笔筒里有3支红笔和2支黑笔，如果蒙上眼睛摸一次，至少拿出几支笔才能保证有1支红笔？

【思路引导】把红笔和黑笔看做是两个抽屉，5只笔看做是5个元素，根据抽屉原理解决问题．

【规范解答】解：把红笔和黑笔看做是两个抽屉，5只铅笔看做是5个元素，

考虑最差情况：摸出2支全是黑笔，那么再任意摸出一支就是红笔，

2+1＝3（支），

答：一次必须摸出3支铅笔才能保证至少有一支红笔．

【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决问题的灵活应用，这里要注意考虑最差情况．

19．（6分）口袋里有红色、绿色和蓝色棋子各15个，请你闭上眼睛往外拿，每次只能拿一个棋子，至少要拿几次才能保证拿出来的棋子中有3个是同一种颜色？

【思路引导】根据题意知道口袋里是三种颜色的球，考虑最差情况：前6次摸出的是红、绿、蓝各2个，但第7次一定能摸出一个和前三次中的两个相同的颜色，由此即可得出答案．

【规范解答】解：考虑最差情况：前6次摸出的是红、绿、蓝各2个，但第7次一定能摸出一个和前三次中的两个相同的颜色，

6+1＝7（次），

答：至少拿7次才能保证其中有3个棋子同一颜色．

【考点评析】解答此题的关键是，根据题意知道三种颜色的球，要保证摸出三个颜色相同的球，考虑最差情况：每种颜色都摸出2个，再多一次即可．

20．（6分）小巧所在小组共有14名同学，至少有两个同学的出生月份是同一个月份的，这句话你认为对不对？为什么？

【思路引导】一年有12个月，那么把这12个月看做12个抽屉，要求至少有多少名同学在同一个月过生日，可以考虑最差情况：14名尽量平均分配在12个抽屉中，利用抽屉原理即可解答．

【规范解答】解：建立抽屉：一年有12个月分别看做12个抽屉，

14÷12＝1…2，

1+1＝2（人）；

答：至少有2名同学在同一个月过生日，原题说法正确．

【考点评析】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可．

21．（6分）将98个苹果任意放到9个抽屉里去，至少有一个抽屉里的苹果数不会少于几？

【思路引导】把98个苹果放进9个抽屉，98÷9＝10（个）…8（个），即每平均每个抽屉放9个苹果后，还余8个，余下的8个无论放到哪些抽屉里，总有一个抽屉里都至少会有10+1＝11个苹果．

【规范解答】解：98÷9＝10（个）…8（个），

10+1＝11（个）．

答：至少有一个抽屉里的苹果数不会少于11．

【考点评析】在此类抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况下）．

22．（6分）抽屉中杂乱地放着10只红袜子和10只绿袜子，它们除颜色不同外，其他都一样．室内一片漆黑，而你想取出2只颜色相同的袜子，请问最少要从抽屉中取出几只袜子，才能保证有2只颜色相同的袜子？

【思路引导】只要求取出2只颜色相同从而能配成颜色相同的一双袜子，如果取出的头2只袜子不能配成颜色相同的一双，那么第3只肯定能与头两只袜子中的一只配成颜色相同的一双，因此正确的答案是3只袜子．

【规范解答】解：由题意，先取出2只，存在两种情况：

①颜色相同，从而能配成颜色相同的一双袜子，

②颜色不同，不能配成颜色相同的一双，

再取第3只，因为只有两种颜色，

所以肯定能与头两只袜子中的一只配成颜色相同的一双，

因此正确的答案是3只袜子．

答：至少要从抽屉中取出3只袜子，才能保证有2只颜色相同的袜子．

【考点评析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是根据题意先由从抽屉中取出2只讨论得出正确选项．

23．（6分）买彩蛋

怀特夫人领着她的一对双胞胎女儿来到彩蛋出售机前．大女儿凯特说：“妈妈，我要彩蛋．”二女儿简妮说：“妈妈，我也要，我要和凯特拿一样颜色的．”彩蛋出售机里面只有4个红色和6个黄色的彩蛋，说不准下一个是什么颜色．

红黄两种彩蛋均为一元钱一个，怀特夫人要想确保女儿得到两个同种颜色的彩蛋，至少需要花多少钱呢？

如果两个女儿都想得到黄色的彩蛋，预计怀特夫人要花多少钱？

将你的答案写下来，并简要说说自己的想法．

【思路引导】（1）因为彩蛋出售机里面只有4个红色和6个黄色的彩蛋，要使女儿得到两个同种颜色的彩蛋，考虑最差情况：先摸出2个，一个是红色一个是黄色，此时再任意摸出1个，即可得到2个颜色相同的彩蛋，即摸出3个，所以最少花费3元；

（2）若两个女儿都想得到黄色的彩蛋，考虑最差情况：摸出4个全是红色，则此时剩下的全是红色，所以再摸出2个即可得出2个黄色的彩蛋，即摸出6个才能保证2个是黄色的，所以至少需要花6元．

【规范解答】解：（1）2+1＝3（个）

3×1＝3（元）

答：至少摸出3个彩蛋才能保证两个女儿得到的彩蛋颜色相同，至少花费3元．

（2）4+2＝6（个）

6×1＝6（元）

答：至少摸出3个彩蛋才能保证两个女儿得到的彩蛋颜色都是黄色，至少花费6元．

【考点评析】此题考查了抽屉原理的实际应用，要注意考虑最差情况．

24．（6分）袋子中有红、黄、兰三种颜色的球各若干，最少摸出几个球才能保证其中一定有四个球的颜色相同？

【思路引导】由题意可知，盒子里装有红、黄、兰三种颜色的球，要保证至少有四个球的颜色相同，最坏的情况是每种颜色各取出3个，即取出9个中，3个红色，3个黄色的，3个兰球，此时只要再任取一个，即取出3×3+1＝10个就能保证至少有四个球的颜色相同．

【规范解答】解：3×3+1＝10（个）

答：至少摸出10个才能保证有四个球的颜色相同．

【考点评析】据抽屉原理中的最坏情况进行分析是完成本题的关键．

25．（6分）抽屉里放着红、绿、黄三种颜色的球各3只．一次至少摸出多少只才能保证每种颜色至少有一只？

【思路引导】抽屉里放着红、绿、黄三种颜色的球各3只，最差的情况是，取出6只球中，只有2中颜色的，如红色的和黄色的，此时袋中只剩下3个绿色的球，只要再任取一只，就能保证取出的每种颜色至少有一只，即至少要取3+3+1＝7只．

【规范解答】解：3+3+1＝7（只）；

答：一次至少摸出7只才能保证每种颜色至少有一只．

【考点评析】此题考查了抽屉原理解决实际问题的灵活应用，这里要考虑最差情况．

26．（6分）一个袋子里红、橙、黄三种颜色的球，每人任意摸2个，那么至少有几个人才能保证有两个或两个以上的人所选的小球相同？

【思路引导】可能出现的情况有（红，红），（橙，橙），（黄，黄），（红，橙），（红，黄），（橙，黄）共六种情况；把这六种情况看作6个“抽屉”，根据抽屉原理，得出所以至少7个人．

【规范解答】解：每人任意摸2个，有6种组合，所以，

6+1＝7（人）；

答：至少有7个人才能保证有两个或两个以上的人所选的小球相同．

【考点评析】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可．

27．（6分）一个袋子里红、橙、黄三种颜色的球，每人任意摸2个，那么至少有几个人才能保证有两个或两个以上的人所选的小球相同．

【思路引导】可能出现的情况有（红，红），（橙，橙），（黄，黄），（红，橙），（红，黄），（橙，黄）共六种情况；把这六种情况看作6个“抽屉”，根据抽屉原理，得出所以至少7个人．

【规范解答】解：6+1＝7（人）；

答：至少有7个人才能保证有两个或两个以上的人所选的小球相同．

【考点评析】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可