专题01 定义新运算 —2022-2023学年六年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义

专题01 定义新运算

    定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、等，这是与四则运算中的“、、、·”不同的。

 新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

【典例分析01】假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4）。

13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26

5*4=（5+4）+（5-4）=10

13*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26

【典例分析02】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△6).

                3△(4△6).

              ＝3△【4×6－（4+6）÷2】

              ＝3△19

              ＝4×19－（3+19）÷2

              ＝76－11

              ＝65

【典例分析03】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。那么7*4=？，210*2=？

7*4=7+77+777+7777=8638

210*2=210+210210=210420

【典例分析04】规定②=1×2×3，③=2×3×4  ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果－=×A，那么A是几？

     A =（  －）÷  

 =（－）×⑦

=－1

=－1

=

【典例分析05】设a⊙b=4a-2b+ab,求x⊙（4⊙1）＝34中的未知数x。

4⊙1＝4×4-2×1+×4×1＝16

X⊙16＝4x－2×16+×x×16

＝12x－32

X ＝5.5

一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）

1．（2分）（2022春•禹城市期中）我们学过+、﹣、×、÷四种运算，现在规定*是一种新的运算，A*B＝3A﹣2B，那么*＝（　　）

5

A． B． C．1 D．

【思路点拨】由题意可得：A*B＝3A﹣2B，根据等式的运算法则可知，A*B等于3与A的乘积减去2与B的乘积，然后根据法则计算出*的值，由此解答即可。

【规范解答】解：由题意可得：

*

＝3×﹣2×

＝﹣

＝

＝1

所以*＝1。

故选：C。

【考点评析】此题考查定义新运算。读懂题意，然后将新运算转化为旧运算即可。

2．（2分）（2018•新都区）规定一种新运算“*”，a*b＝ab＝，例如3*2＝32＝9，那么（）*4＝（　　）

A．2 B． C． D．8

【思路点拨】根据所给出的等式a*b＝ab＝，找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题即可．

【规范解答】解：（）*4

＝（）4

＝

故选：C．

【考点评析】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案．

3．（2分）（2021•拱墅区模拟）已知a△b＝a×b+a+b，则（1△2）△（3△4）等于（　　）

A．24 B．10 C．95 D．119

【思路点拨】根据题意，a△b表示这两个数的乘积再加上这两个数的和，按照定义，先把算式展开，再进行计算，计算时先算括号里的，再算括号外面的。

【规范解答】解：（1△2）△（3△4）

＝（1×2+1+2）△（3×4+3+4）

＝5△19

＝5×19+5+19

＝119

故选：D。

【考点评析】定义新运算的题目，关键是理解题目定义的新运算的含义，然后依葫芦画瓢求解。

4．（2分）（2018•吴江区）若大于等于a小于等于b的所有数记为[a，b]，m在[5，15]内，n在[20，30]内，值在（　　）内。

A．[2，4] B．[，6] C．[5，30] D．[，]

【思路点拨】n取最小值，m取最大值时，最小，n取最大值，m取最小值时，最大；据此求解即可。

【规范解答】解：n取20，m取15时，＝＝，

n取最大值，m取最小值时，＝＝6，

所以记为[，6]

故选：B。

【考点评析】本题主要考查了定义新运算，解题的关键是理解运算的定义。

5．（2分）（2022•汉川市）现规定“*”是一种新的运算，A*B＝3A﹣2B。那么7*6*5的值为（　　）

A．17 B．5 C．210 D．18

【思路点拨】】根据新的运算法则A*B＝3A﹣2B，先求出7*6，再计算下一步即可。

【规范解答】解：7*6

＝3×7﹣2×6

＝21﹣12

＝9

9*5

＝3×9﹣2×5

＝27﹣10

＝17

答：7*6*5的值为17。

故选：A。

【考点评析】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。

二．填空题（共8小题，满分18分）

6．（2分）（2022秋•紫阳县期末）小新发明的新运算“*”。请你先看看，再填空。

【思路点拨】根据题干可知，这种新运算相当于第一个数乘第二个数再加上第一个数除以第二个数，由此即可知道a*b＝a×b+a÷b＝ab+a÷b；则3.6*0.4＝3.6×0.4+3.6÷0.4，算出结果即可。

【规范解答】解：由分析可知：

a*b＝a×b+a÷b＝ab+a÷b

3.6*0.4＝3.6×0.4+3.6÷0.4＝10.44

故答案为：ab+a÷b；10.44。

【考点评析】本题主要考查定义新运算以及小数的乘除法，熟练掌握小数乘除法的计算方法并灵活运用。

7．（2分）（2022秋•繁峙县期末）对于a、b定义新运算：a★b＝a（a﹣b）+1。比如5★2＝5×（5﹣2）+1＝5×3+1＝16。如果4★x＝13，那么x＝　1　。

【思路点拨】根据新的运算法则“a★b＝a（a﹣b）+1”，求出4★x中x的值即可。

【规范解答】解：4★x＝13

4（4﹣x）+1＝13

    4（4﹣x）＝12

             4﹣x＝3

                x＝1

故答案为：1。

【考点评析】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。

8．（2分）（2022秋•平桥区期末）罗马数字里符号“Ⅰ”代表1，符号“Ⅴ”代表5，符号“Ⅹ”代表10，用罗马数字表示数其中的一条规则是：在一个较大的罗马数字的右边记上一个较小的罗马数字，表示较大数加较小数。如Ⅷ，表示“5+1+1+1＝8”。想一想，罗马数字ⅩⅦ表示阿拉伯数字 　17　。

【思路点拨】根据用罗马数字表示数的规则解答即可。

【规范解答】解：罗马数字ⅩⅦ表示阿拉伯数字：10+5+2＝17。

故答案为：17。

【考点评析】解答本题关键是明确罗马数字表示数的方法。

9．（2分）（2021秋•丹凤县期末）如果规定：符号*表示选择两个数中较大的数，#表示选择两个数中较小的数，例如3*8＝8，3#8＝3，则4.5#5.4＝　4.5　，（3.6*15.6）÷（1.2#1.8）＝　13　。

【思路点拨】根据新的运算法则“符号*表示选择两个数中较大的数，#表示选择两个数中较小的数”解答即可。

【规范解答】解：4.5#5.4＝4.5

（3.6*15.6）÷（1.2#1.8）

＝15.6÷1.2

＝13

故答案为：4.5；13。

【考点评析】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。

10．（2分）（2021秋•罗甸县期末）规定“*”号的一种运算法则，a*b＝a2+2b，如2*3＝22+6＝10，那么4*5＝　26　，3*x＝19则，x＝　5　。

【思路点拨】根据新的运算法则：a*b＝a2+2b，代入数据解答即可。

【规范解答】解：4*5

＝42+2×5

＝16+10

＝26

3*x＝19

32+2x＝19

  9+2x＝19

      2x＝10

        x＝5

故答案为：26；5。

【考点评析】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。

11．（4分）（2022•右江区）英国《每日邮报》曾报道，数学奇才普莱什•塔尔沃克在网络上出了道棘手的数学难题，已经有约300万人挑战了这个“智力测验“。塔尔沃克提出的规则是：6+4＝210，8+5＝313，15+3＝1218……

那么（1）9+7＝　216　；

（2）　13　+　7　＝620。

【思路点拨】观察前面三个算式可以发现，和的后两位数是2个加数的和，去掉和的后两位数剩下的数是2个加数之间的差，据此即可解答。

【规范解答】解：根据分析得到的规律填空。

（1）9+7＝16

9﹣7＝2

所以9+7＝216。

（2）因为13+7＝20

13﹣7＝6

所以13+7＝620

故答案为：（1）216；（2）13，7。

【考点评析】根据已知的三个式子找出和与加数之间的关系是解本题的关键。

12．（2分）（2023•红安县模拟）如果A△B表示2×A+B，例如3△4表示2×3+4＝10，那么，8△5＝　21　。

【思路点拨】根据新定义的运算规则A△B表示2×A+B，把已知的数代入求解即可。

【规范解答】解：8△5＝2×8+5＝21

故答案为：21。

【考点评析】本题主要考查定义新的运算，解题的关键是能理解新的定义运算。

13．（2分）（2022秋•揭西县期末）李军设计了一个猜数游戏，如图：

若输入的数是a，则表示输出结果的式子是 　（a﹣2.8）÷1.5　；张平输入一个数，最后的输出结果是2.4，那么张平输入的数是 　6.4　。

【思路点拨】按照计算程序，输入a，减2.8，再除以1.5即可解答；当输出的结果是2.4时，按照计算程序，得出等式：2.4×1.5+2.8，据此求解即可。

【规范解答】解：输入的数是a，则表示输出结果的式子是（a﹣2.8）÷1.5；

张平输入的数是：

2.4×1.5+2.8

＝3.6+2.8

＝6.4

故答案为：（a﹣2.8）÷1.5；6.4。

【考点评析】本题主要考查了定义新运算，解答的关键是正确理解计算程序。

三．计算题（共3小题，满分18分，每小题6分）

14．（6分）（2022秋•龙里县校级月考）仔细观察，再计算。

规定：△3＝×，△4＝×，

求△2+△3的值。（写出计算过程）

【思路点拨】根据规定：△3＝×，△4＝×，可得，△2＝×，△3＝××，然后再进一步计算即可。

【规范解答】解：△2+△3

＝×+××

＝+

＝

【考点评析】根据题意，找准规定的新定义的运算，然后按照这种运算进行解答即可。

15．（6分）（2017•兴义市）定义新运算：

已知：

a3+b3＝（a+b）×（a2﹣ab+b2）

a3﹣b3＝（a﹣b）×（a2+ab+b2）

求：

（1）133+73；

（2）193﹣93

【思路点拨】根据所给出新的两个运算法则，由此利用代入法求出两个式子（1）和（2）的值即可．

【规范解答】解：（1）133+73

＝（13+7）×（132﹣13×7+72）

＝20×{（13﹣7）×13+49}

＝20×（6×13+49）

＝20×（78+49）

＝20×127

＝2540

（2）193﹣93

＝（19﹣9）×（192+19×9+92）

＝10×{（19+9）×19+81}

＝10×（532+81）

＝6130

【考点评析】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案．

16．（6分）（2022•南海区）x，y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y＝mx+ny，x△y＝kxy，其中m，n，k均为自然数，已知1*2＝5，（2*3）△4＝64，求（1△2）*3的值。

【思路点拨】由x*y＝mx+ny，1*2＝5，求出m+2n＝5，因为m，n均为自然数，确定①m＝1，n＝2，②m＝3，n＝1；再根据（2*3）△4＝64，k为自然数，确定k的值；再根据新的运算求出（1△2）*3的值即可。

【规范解答】解：因为x*y＝mx+ny，1*2＝5，其中m，n，k均为自然数

m+2n＝5

①当m＝1，n＝2时：

（2*3）△4

＝（2×1+2×3）△4

＝8△4

＝k×8×4

＝32k

32k＝64

    k＝2

②当m＝3，n＝1时：

（2*3）△4

＝（3×2+1×3）△4

＝9△4

＝k×9×4

＝36k

36k＝64

    k＝1（不符合题意）

所以m＝1，n＝2，k＝2

（1△2）*3

＝（2×1×2）*3

＝4*3

＝1×4+2×3

＝10

【考点评析】本题主要考查新定义，解题的关键是确定m，n，k的值。

四．解答题（共10小题，满分54分）

17．（6分）（2020春•东台市期中）如果*3＝××，*4＝×××。

那么请你探究：*3＝

*4﹣*4＝（写出计算过程）

【思路点拨】根据*3＝××，*4＝×××，可得从*符号前面的数开始，分子不变，分母是连续的自然数，*后面的数是表示几个这样的数相乘，然后再进一步计算即可。

【规范解答】解：*3＝××＝＝

*4﹣*4

＝×××﹣×××

＝×××（﹣）

＝×

＝

【考点评析】根据规定，找准规定的定义的运算，然后按照这种运算进行解答即可。

18．（6分）（2021•彭水县）图1中的每相邻两条线间，有从上至下的几条横线（即“桥”），这样就构成了“天梯”。规定，运算符号“+、﹣、×、÷”在“天梯”的竖线与横线上运动，它们在运动过程中按自上而下，且逢“桥”必过的规则进行，最后运动到竖线下方的“〇”中，将a、b、c、d、e连接起来，构成一个算式。例如，“+”号根据规则就应该沿箭头方向运动，最后向下进入“〇”中，其余3个运算符号分别按规则运动到“〇”中后，就得到算式a÷b×c﹣d+e。

（1）根据图2所示的“天梯”写出算式，并计算当a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，e＝5，时所写算式的值：

（2）在图2添加1条虚线，使图2中最后结果的“﹣”、“+”位置互换。

【思路点拨】（1）根据题意确定出图2所示的“天梯”表示的算式，把a，b，c，d，e代入计算即可求出值；

【规范解答】解：（1）由题意得：a×b﹣c÷d+e，

1×2﹣3÷4+5

＝2﹣+5

＝

（2）加的横线见图2中的虚线部分，该横线应该在第二栏的第二座“桥”附近，可以添加在第二座“桥”的上方或下方，但不能超过第二座“桥”相邻的其他“桥”，这样就可以使图2中最后结果的“一”、“十”位置互换。

如图：

【考点评析】本题注意考查定义新运算，关键是根据图示找到运算的顺序。

19．（5分）（2021秋•如皋市期中）（1）棱长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置。当重叠到3层时，共有 　10　个正方体，它的表面积是 　36　平方厘米。当重叠到5层时，共有 　35　个正方体。

（2）规定：△3＝××，△4＝×××，则：△4+△3＝　　。（请写出计算过程）

【思路点拨】（1）一层时有1个，二层时有1+3＝4（个），三层时有（1+3+6）＝10个，可得四层时有（1+3+6+10）＝16个，五层时有（1+3+6+10+15）＝35个；表面积与面有关，分别数出左面、上面、前面有多少个面，把这每三个面的面积算出来，然后相加的和再乘2即可。

（2）△前面的这个数和等号后面的第一个数相同，△后面的这个数代表的是等号后面的乘数的个数，且分子比分母都小1，由此解答即可。

【规范解答】解：（1）1+3+6＝10（个）

表面积：右面＝左面：1×1＝1（平方厘米），1×6＝6（平方厘米）

上面＝下面：1×1＝1（平方厘米），1×6＝6（平方厘米）

前面＝后面：1×1＝1（平方厘米），1×6＝6（平方厘米）

表面积：6×2+6×2+6×2

＝12+12+12

＝36（平方厘米）

五层时有：1+3+6+10+15＝35（个）；

（2）△4

＝×××

＝

△3

＝××

＝

所以：△4+△3

＝+

＝

故答案为：10，36，35；。

【考点评析】此题考查立体图形和定义新运算。注意理解新运算符号所代表的的含义。

20．（5分）（2020•双峰县）找规律，写得数。

⊙+∮＝91；≌+∮＝63；≌+⊙＝46；⊙＝　37　，∮＝　54　，≌＝　9　。

【思路点拨】由题意可得：分别把三个等式编号①、②、③，然后再根据等式的性质，左边+左边＝右边+右边，即可求出⊙+∮+≌的总和是多少，然后再用总和减去另外两个数的和，即可求出剩下的那个数是多少，由此解答即可。

【规范解答】解：⊙+∮＝91......①

≌+∮＝63......②

≌+⊙＝46......③

①+②+③得：

⊙+∮+≌+∮+≌+⊙＝91+63+46

2（⊙+∮+≌）＝200

⊙+∮+≌＝200÷2

⊙+∮+≌＝100

所以：≌＝（⊙+∮+≌）﹣（⊙+∮）

＝100﹣91

＝9

∮＝（⊙+∮+≌）﹣（≌+⊙）

＝100﹣46

＝54

⊙＝（⊙+∮+≌）﹣（≌+∮）

＝100﹣63

＝37

故答案为：37，54，9。

【考点评析】此题考查学生对等式性质的应用。熟练掌握等式的性质即可。

21．（5分）（2019•长沙）定义一种新运算；aξb＝3a+5ab+kb，其中a和b为任意两个不为0的数，k为常数，比如：2ξ7＝3×2+5×2×7+7k。

（1）如果5ξ2＝73，8ξ5与5ξ8的值相等吗？请说明理由。

（2）当k取什么值时，对于任何不同的a和b，都有aξb与bξa相等，即新运算“ξ”符合交换律？

【思路点拨】（1）先根据5ξ2＝73，求出k的值，然后分别求8ξ5与5ξ8的值，进行比较，即可得出结论。

（2）根据计算法则，计算当aξb＝bξa时，求k的值即可。

【规范解答】解：（1）5ξ2

＝3×5+5×5×2+k×2

＝15+50+2k

＝65+2k

65+2k＝73

     2k＝8

       k＝4

8ξ5

＝3×8+5×8×5+4×5

＝24+200+20

＝244

5ξ8

＝3×5+5×5×8+4×8

＝15+200+32

＝247

244≠247

答：8ξ5与5ξ8的值不相等。

（2）aξb＝bξa

3a+5ab+kb＝3b+5ab+ka

        3a﹣3b＝ka﹣kb

   3（a﹣b）＝k（a﹣b）

              k＝3

答：k＝3时，任何不同的a和b，都有aξb与bξa相等。

【考点评析】解答此题的关键是，根据所给出的等式找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题。

22．（5分）（2019•重庆）对于实数x、y，定义一种新的运算*，x*y＝ax+by，其中a、b为常数，等式的右边是通常的加法与乘法运算，已知3*2＝7，2*3＝8，则1*1是多少？

【思路点拨】根据新运算的规则，3*2＝3a+2b＝7，2*3＝2a+3b＝8，1*1＝a+b，则3*2+2*3＝3a+2b+2a+3b＝5a+5b＝5（a+b）＝7+8＝15，以此计算．

【规范解答】解：根据新运算的规则，

3*2＝3a+2b

2*3＝2a+3b

将两个式子相加，

3*2+2*3

＝3a+2b+2a+3b

＝5a+5b

＝5（a+b）

已知3*2＝7，2*3＝8，

所以，5（a+b）＝7+8＝15，

等式两边同时除以5，

a+b＝3

所以，1*1＝a+b＝3．

答：1*1＝3．

【考点评析】本题主要考查了定义新运算，将已知条件代入新运算，通过等量代换来求结果，是本题解题的关键．

23．（5分）（2022•岷县模拟）定义新运算：若a△b＝5a+3b，当x△10＝40时，x△的值是多少？

【思路点拨】根据a△b＝5a+3b，求出x△10，再根据x△10＝40，解方程求出x的值，再根据新定义求x△的值即可。

【规范解答】解：因为a△b＝5a+3b，

所以x△10＝5x+3×10

又因为x△10＝40，可得：

5x+3×10＝40

          5x＝10

            x＝2

x△＝2△＝5×2+3×＝10+1＝11

答：x△的值是11。

【考点评析】解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，先求出x的值。

24．（5分）（2022•苍南县模拟）小军在玩一种计算游戏，游戏的规则是＝ad﹣bc，例如：＝4×6﹣3×5。那么＝　6.8　；的结果是最小的质数，那么x＝　5　。

【思路点拨】＝ad﹣bc，用第一个数和第四个数相乘的积减去第二个数和第三个数相乘的积，由此求解。

【规范解答】解：

＝3.2×2.5﹣1.5×0.8

＝8﹣1.2

＝6.8

＝1.2×5﹣0.8x＝6﹣0.8x

6﹣0.8x＝2

   0.8x＝6﹣2

   0.8x＝4

        x＝5

故答案为：6.8；5。

【考点评析】解决本题先理解新运算的含义，把新运算变成四则运算，再根据四则运算的计算方法或者方程进行求解。

25．（6分）（2021秋•菏泽月考）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），按收方由密文→明文（解密），已知加密规则为明文a，b，c对应的密文a+1，2b+4，3c+9，例如明文1，2，3对应的密文为2，8，18，如果接收的密文7，18，15，则解密得到的明文是什么？

【思路点拨】已知加密规定为：明文a、b、c，对应的密文是a+1，2b+4，3c+9，由此得解。

【规范解答】解：已知加密规定为：明文a、b、c，对应的密文是a+1，2b+4，3c+9，

如果接收方收到的密文是7、18、15，

7﹣1＝6

（18﹣4）÷2＝7

（15﹣9）÷3＝2

答：解密得到的明文a、b、c分别为6、7、2。

【考点评析】这类问题先根据给出编码找出明文与密文的对应关系，再根据这个关系解答。

26．（6分）（2019•长沙）定义一种新运算：a*b＝3a+5ab+kb，其中a和b为任意两个不为0的数，k为常数．

比如：2*7＝3×2+5×2×7+7k

（1）如果5*2＝7*3，8*5与5*8的值相等吗？请说明理由

（2）当k取什么值时，对于任何不同的a和b，都有a*b与b*a，即新运算“*”符合交换律？

【思路点拨】（1）根据定义一种新运算，以及5*2＝7*3，求出k的值，然后，分别求8*5和5*8的值，进行比较即可得出结论；

（2）根据a*b与b*a符合交换律，也就是a*b＝b*a，这时求k值即可．

【规范解答】解：（1）5*2

＝3×5+5×5×2+2k

＝15+50+2k

＝65+2k

7*3

＝3×7+5×7×3+3k

＝21+105+3k

＝126+3k

因为，5*2＝7*3

所以，65+2k＝126+3k

          3k﹣2k＝65﹣126

                 k＝﹣61

那么，

8*5

＝3×8+5×8×5+5×（﹣61）

＝24+200﹣305

＝﹣81

5*8

＝3×5+5×5×8+8×（﹣61）

＝15+200﹣488

＝﹣273

所以，如果5*2＝7*3，8*5与5*8的值不相等．

（2）因为a*b＝3a+5ab+kb

b*a＝3b+5ab+ka

a*b与b*a，即新运算“*”符合交换律，

那么a*b＝b*a，即

3a+5ab+kb＝3b+5ab+ka

       3a+kb＝3b+ka

        ka﹣kb＝3a﹣3b

   k（a﹣b）＝3（a﹣b）

              k＝3

所以，当k＝3时，对于任何不同的a和b，都有a*b与b*a，即新运算“*”符合交换律．

【考点评析】定义新运算关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题