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浙江省丽水市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
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这是一份浙江省丽水市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共35页。试卷主要包含了的函数图象如图，的图象上，的图象上，且x2﹣x1＝3，进行如下操作，并进行猜想和证明等内容，欢迎下载使用。
浙江省丽水市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一次函数的应用（共2小题）
1．（2023•丽水）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）求方案二y关于x的函数表达式；
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
2．（2022•丽水）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图．
（1）求出a的值；
（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？
二．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
3．（2023•丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）求证：b2+4a＝0．
三．二次函数综合题（共2小题）
4．（2022•丽水）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．
①求这个二次函数的表达式；
②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；
（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
5．（2021•丽水）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．
四．四边形综合题（共2小题）
6．（2023•丽水）某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和证明．
（1）用三角板分别取AB，AC的中点D，E，连结DE，画AF⊥DE于点F；
（2）用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示意图；
（3）请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由．
7．（2021•丽水）如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．
（1）当AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC时，
①求证：AE＝AF；
②连结BD，EF，若，求的值；
（2）当∠EAF＝∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若AB＝4，AC＝2，则当CE为何值时，△AMN是等腰三角形．
五．圆的综合题（共2小题）
8．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．
（1）求证：AD∥HC；
（2）若＝2，求tan∠FAG的值；
（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．
①若OF＝，求BC的长；
②若AH＝，求△ANB的周长；
③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．
9．（2022•丽水）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD．点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．
（1）求证：∠CAG＝∠AGC；
（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若＝，求的值；
（3）当点E在射线AB上，AB＝2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长．
六．比例线段（共1小题）
10．（2023•丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
七．解直角三角形的应用（共1小题）
11．（2023•丽水）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A﹣D﹣C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11m，CD＝4m，求管道A﹣D﹣C的总长．
八．用样本估计总体（共1小题）
12．（2023•丽水）为全面提升中小学生体质健康水平，我市开展了儿童青少年“正脊行动”．人民医院专家组随机抽取某校各年级部分学生进行了脊柱健康状况筛查．根据筛查情况，李老师绘制了两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生脊柱健康情况统计表
类别
检查结果
人数
A
正常
170
B
轻度侧弯
C
中度侧弯
7
D
重度侧弯
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）该校共有学生1600人，请估算脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数；
（3）为保护学生脊柱健康，请结合上述统计数据，提出一条合理的建议．
九．扇形统计图（共1小题）
13．（2021•丽水）在创建“浙江省健康促进学校”的过程中，某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生视力情况统计表
类别
检查结果
人数
A
正常
88
B
轻度近视
▲
C
中度近视
59
D
重度近视
▲
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）该校共有学生约1800人，请估算该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数；
（3）请结合上述统计数据，为该校做好近视防控，促进学生健康发展提出一条合理的建议．
浙江省丽水市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共2小题）
1．（2023•丽水）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）求方案二y关于x的函数表达式；
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
【答案】（1）30；
（2）y＝20x+600；
（3）若销售量x的取值范围为0＜x＜30，则选择方案二，若销售量x＝30，则选择两个方案都可以，若销售量x的取值范围为x＞30，则选择方案一．
【解答】解：（1）观察图象得：
方案一与方案二相交于点（30，1200），
∴员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）设方案二的函数图象解析式为y＝kx+b，
将点（0，600）、点（30，1200）代入解析式中：
，
解得：，
即方案二y关于x的函数表达式：y＝20x+600；
（3）由两方案的图象交点（30，1200）可知：
若销售量x的取值范围为0＜x＜30，则选择方案二，
若销售量x＝30，则选择两个方案都可以，
若销售量x的取值范围为x＞30，则选择方案一．
2．（2022•丽水）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图．
（1）求出a的值；
（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？
【答案】（1）1.5（h）；
（2）s＝100t﹣150（1.5≤t≤4.8）；
（3）轿车比货车早1.2h到达乙地．
【解答】解：（1）∵货车的速度是60km/h，
∴a＝＝1.5（h）；
（2）由图象可得点（1.5，0），（3，150），
设直线的表达式为s＝kt+b，把（1.5，0），（3，150）代入得：
，
解得，
∴s＝100t﹣150（1.5≤t≤4.8）；
（3）由图象可得货车走完全程需要+0.5＝6（h），
∴货车到达乙地需6h，
∵s＝100t﹣150，s＝330，
解得t＝4.8，
∴两车相差时间为6﹣4.8＝1.2（h），
∴货车还需要1.2h才能到达，
即轿车比货车早1.2h到达乙地．
二．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
3．（2023•丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）求证：b2+4a＝0．
【答案】（1）a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）﹣4＜n＜﹣2；
（3）证明见解答过程．
【解答】（1）解：当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），
∴，
∴解得，
∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）解：∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，
∴由图象的对称性得n＝2m，
∴m＝，
∵﹣2＜m＜﹣1，
∴﹣2＜＜﹣1，
∴﹣4＜n＜﹣2；
（3）证明：∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝m，
∴﹣＝m，
∴b＝﹣2am，
把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
①×3+②得：12am2+12＝0，
∴am2+1＝0，
∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
三．二次函数综合题（共2小题）
4．（2022•丽水）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．
①求这个二次函数的表达式；
②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；
（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
【答案】（1）①y＝2（x﹣2）2﹣1；
②
（2）＜a≤．
【解答】解：（1）①∵二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）经过（3，1），
∴1＝a﹣1，
∴a＝2，
∴二次函数的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣1；
②∵y1＝y2，
∴M，N关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线x＝2，且x2﹣x1＝3，
∴x1＝，x2＝，
当x＝时，y1＝2×（﹣2）2﹣1＝，
∴当y1＝y2时，顶点到MN的距离＝+1＝；
（2）若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，
∴x1+3＞2，
∴x1＞﹣1，
∵x2﹣x1＝3，
∴x1≤，
∴﹣1＜x1≤，
∵函数的最大值为y1＝a（x1﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，
∴y1﹣（﹣1）＝1，
∴a＝，
∴≤（x1﹣2）2＜9，
∴＜a≤．
若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1＜2，
∵x1≥，
∴≤x1＜2，
∵函数的最大值为y2＝a（x2﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，
∴y2﹣（﹣1）＝1，
∴a＝，
∵≤x1＜2，
∴≤x1+1＜3，
∴≤（x1+1）2＜9，
∴＜a≤．
综上所述，＜a≤．
5．（2021•丽水）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5）和点B（5，0），
∴，
解得：，
∴b，c的值分别为﹣4，﹣5．
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+n（k≠0），
把A（0，﹣5），B（5，0）的坐标分别代入表达式，得，
解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣5．
由（1）得，抛物线L的对称轴是直线x＝2，
当x＝2时，y＝x﹣5＝﹣3，
∴点M的坐标是（2，﹣3）；
②设抛物线L1的表达式为y＝（x﹣2+m）2﹣9，
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标是（2，m2﹣9），
∵点P的横坐标为﹣1，
∴P点的坐标是（﹣1，m2﹣6m），
设PE交抛物线L1于另一点Q，
∵抛物线L1的对称轴是直线x＝2﹣m，PE∥x轴，
∴根据抛物线的对称性，点Q的坐标是（5﹣2m，m2﹣6m），
（Ⅰ）如图1，当点N在点M及下方，即0＜m＜时，
∴PQ＝5﹣2m﹣（﹣1）＝6﹣2m，MN＝﹣3﹣（m2﹣9）＝6﹣m2，
由平移的性质得，QE＝m，
∴PE＝6﹣2m+m＝6﹣m，
∵PE+MN＝10，
∴6﹣m+6﹣m2＝10，
解得，m1＝﹣2（舍去），m2＝1，
（Ⅱ）如图2，当点N在点M及上方，点Q在点P及右侧，
即＜m＜3时，
PE＝6﹣m，MN＝m2﹣6，
∵PE+MN＝10，
∴6﹣m+m2﹣6＝10，
解得，m1＝（舍去），m2＝（舍去）．
（Ⅲ）如图3，当点N在M上方，点Q在点P左侧，
即m＞3时，PE＝m，MN＝m2﹣6，
∵PE+MN＝10，
∴m+m2﹣6＝10，
解得，m1＝（舍去），m2＝，
综合以上可得m的值是1或．
四．四边形综合题（共2小题）
6．（2023•丽水）某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和证明．
（1）用三角板分别取AB，AC的中点D，E，连结DE，画AF⊥DE于点F；
（2）用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示意图；
（3）请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）四边形MBCN为矩形，理由见解析过程．
【解答】解：（1）
；
（2）如图，
；
（3）
矩形，理由如下：
∵∠MDB+∠BDE＝180°，∠DEC+∠NEC＝180°，
∴点M、D、E、N在一条直线上，
∵点D、点E分别是AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，，
∵MD+EN＝DE，
∴MN＝MD+DE+EN＝BC，MN∥BC，
∴四边形MBCN为平行四边形，
由题意可得：△MDB≌△FAD，△AFE≌△CNE，
∴∠N＝∠AFE，
∵AF⊥DE，
∴∠AFE＝90°，
∴∠N＝90°，
∴四边形MBCN为矩形．
7．（2021•丽水）如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．
（1）当AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC时，
①求证：AE＝AF；
②连结BD，EF，若，求的值；
（2）当∠EAF＝∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若AB＝4，AC＝2，则当CE为何值时，△AMN是等腰三角形．
【答案】（1）①证明见解析；②；
（2）或2或．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠ABE+∠BAE＝∠EAF+∠DAF＝90°，
∵∠EAF＝∠ABC，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF；
②解：连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝DC，AC⊥BD，
由①知，△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，
∴CE＝CF，
∵AE＝AF，
∴AC⊥EF，
∴EF∥BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴＝＝，
设EC＝2a，则AB＝BC＝5a，BE＝3a，
∴AE＝＝＝4a，
∵＝，∠EAF＝∠ABC，
∴△AEF∽△BAC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴＝＝×＝；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠BAD，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAM，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠ANC，
∴∠ANC＝∠CAM，
同理：∠AMC＝∠NAC，
∴△MAC∽△ANC，
∴＝，
△AMN是等腰三角形有三种情况：
①当AM＝AN时，如图2所示：
∵∠ANC＝∠CAM，AM＝AN，∠AMC＝∠NAC，
∴△ANC≌△MAC（ASA），
∴CN＝AC＝2，
∵AB∥CN，
∴△CEN∽△BEA，
∴＝＝＝，
∵BC＝AB＝4，
∴CE＝BC＝；
②当NA＝NM时，如图3所示：
则∠NMA＝∠NAM，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠NMA＝∠NAM＝∠BAC＝∠BCA，
∴△ANM∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CN＝2AC＝4＝AB，
∴△CEN≌△BEA（AAS），
∴CE＝BE＝BC＝2；
③当MA＝MN时，如图4所示：
则∠MNA＝∠MAN＝∠BAC＝∠BCA，
∴△AMN∽△ABC，
∴＝＝＝2，
∴CN＝AC＝1，
∵△CEN∽△BEA，
∴＝＝，
∴CE＝BC＝；
综上所述，当CE为或2或时，△AMN是等腰三角形．
五．圆的综合题（共2小题）
8．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．
（1）求证：AD∥HC；
（2）若＝2，求tan∠FAG的值；
（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．
①若OF＝，求BC的长；
②若AH＝，求△ANB的周长；
③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．
【答案】（1）证明见解答．
（2）tan∠FAG的值为．
（3）①BC的长为．
②△ANB的周长为．
③△BHC的面积为．
【解答】（1）证明：∵点C，D是的三等分点，
∴．
由CE是⊙O的直径可得CE⊥AD，
∵HC是⊙O的切线，
∴HC⊥CE，
∴AD∥HC．
（2）解：如图1，连接AO，
∵，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠AGC＝∠AGF＝90°，
∴△CAG≌△FAG（ASA），
∴CG＝FG，
设CG＝a，则FG＝a，
∵，
∴OG＝2a，AO＝CO＝3a．
在Rt△AOG中，AO2＝AG2+OG2，
∴（3a）2＝AG2+（2a）2，
∴，
∴．
答：tan∠FAG的值为．
（3）解：①如图1，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵CE⊥AD，
∴AD＝2AG＝，
∵，
∴，
∴．
答：BC的长为．
②如图2，连接CD，
∵AD∥HC，FG＝CG，
∴AH＝AF，
∵∠HCF＝90°，
∴，
设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，
由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝AC2﹣CG2，
即25﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，
解得x＝1，
∴AG＝3，AD＝6，
∵，
∴∠DAC＝∠BCD，
∵∠CDN＝∠ADC，
∴△CDN∽△ADC，
∴，
∴，
∵∠BAD＝∠DAC，∠ABN＝∠ADC，
∴△ANB∽△ACD，
∴＝．
答：△ANB的周长为．
③如图3，过点O作OM⊥AB于点M，则，
设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，OF＝5﹣2x，
由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝25﹣（5﹣x）2，
AF2＝AG2+FG2＝10x﹣x2+x2＝10x，
∵AD∥HC，FG＝CG，
∴，
∴，
∴，
∵∠AGF＝∠OMF＝90°，∠AFG＝∠OFM，
∴△AFG∽△OFM，
∴，
∴AF•FM＝OF•GF，
∴AF•AM＝AF•（AF+FM）＝AF2+AF•FM＝AF2+OF•GF＝22，
可得方程10x+x（5﹣2x）＝22，
解得x1＝2，x2＝5.5（舍去），
∴CG＝FG＝2，
∴OG＝3，
∴AG＝4，
∴，
∴S△CHA＝8，
∵AD∥HC，
∴∠CAD＝∠ACH，
∵，
∴∠B＝∠CAD，
∴∠B＝∠ACH，
∵∠H＝∠H，
∴△CHA∽△BHC，
∴．
答：△BHC的面积为．
9．（2022•丽水）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD．点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．
（1）求证：∠CAG＝∠AGC；
（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若＝，求的值；
（3）当点E在射线AB上，AB＝2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）；
（3）2﹣或2+或或．
【解答】（1）证明：∵AH是⊙O的切线，
∴AH⊥AB，
∴∠GAB＝90°，
∵A，E关于CD对称，AB⊥CD，
∴点E在AB上，CE＝CA，
∴∠CEA＝∠CAE，
∵∠CAE+∠CAG＝90°，∠AEC+∠AGC＝90°，
∴∠CAG＝∠AGC；
（2）解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴＝，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ECD，
∴∠ADC＝∠ECD，
∴CF∥AD，
∴＝，
∵CE＝AC＝AD，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝；
（3）解：如图1中，当OC∥AF时，连接OC，OF．设∠AGF＝α，则∠CAG＝∠ACD＝∠DCF＝∠AFG＝α，
∵OC∥AF，
∴∠OCF＝∠AFC＝α，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC＝3α，
∵∠OAG＝90°，
∴4α＝90°，
∴α＝22.5°，
∵OC＝OF，OA＝OF，
∴∠OFC＝∠OCF＝∠AFC＝22.5°，
∴∠OFA＝∠OAF＝45°，
∴AF＝OF＝OC，
∵OC∥AF，
∴＝＝，
∵OA＝1，
∴AE＝×1＝2﹣．
如图2中，当OC∥AF时，连接OC，AD，设CD交AE点M．
设∠OAC＝α，
∵OC∥AF，
∴∠FAC＝∠OCA＝α，
∴∠COE＝∠FAE＝2α，
∵∠AFG＝∠D，∠AGF＝∠D，
∴∠AGC＝∠AFG＝∠AEC+∠FAE＝3α，
∵∠AGC+∠AEC＝90°，
∴4α＝90°，
∴α＝22.5°，2α＝45°，
∴△COM是等腰直角三角形，
∴OC＝OM，
∴OM＝，AM＝+1，
∴AE＝2AM＝2+；
如图3中，当AC∥OF时，连接OC，OF．
设∠AGF＝α，
∵∠ACF＝∠ACD+∠DCF＝2α，
∵AC∥OF，
∴∠CFO＝∠ACF＝2α，
∴∠CAO＝∠ACO＝4α，
∵∠AOC+∠OAC+∠ACO＝180°，
∴10α＝180°，
∴α＝18°，
∴∠COE＝∠ECO＝∠CFO＝36°，
∴△OCE∽△FCO，
∴OC2＝CE×CF，
∴1＝CE（CE+1），
∴CE＝AC＝OE＝，
∴AE＝OA﹣OE＝．
如图4中，当AC∥OF时，连接OC，OF，BF．
设∠FAO＝α，
∵AC∥OF，
∴∠CAF＝∠OFA＝α，
∴∠COF＝∠BOF＝2α，
∵AC＝CE，
∴∠AEC＝∠CAE＝∠EFB，
∴BF＝BE，
由△OCF≌△OBF，
∴CF＝BF＝BE，
∵∠BEF＝∠COF，
∴△COF∽△CEO，
∴OC2＝CE•CF，
∴BE＝CF＝，
∴AE＝AB+BE＝．
综上所述，满足条件的AE的长为2﹣或2+或或，
六．比例线段（共1小题）
10．（2023•丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
【答案】2．
【解答】解：当＝2时，＝＝，理由如下：
∵＝2，
∴a＝2c，
∴＝，
∴b＝c，
∴＝＝，＝＝，
∴＝＝．
故答案为：2．
七．解直角三角形的应用（共1小题）
11．（2023•丽水）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A﹣D﹣C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11m，CD＝4m，求管道A﹣D﹣C的总长．
【答案】18m．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，
∴BE＝CD＝4m，
∴AE＝AB﹣BE＝11﹣4＝7（m），
∵∠A＝60°，
∴cosA＝＝cos60°＝，
∴AD＝2AE＝2×7＝14（m），
∴AD+CD＝14+4＝18（m），
即管道A﹣D﹣C的总长为18m．
八．用样本估计总体（共1小题）
12．（2023•丽水）为全面提升中小学生体质健康水平，我市开展了儿童青少年“正脊行动”．人民医院专家组随机抽取某校各年级部分学生进行了脊柱健康状况筛查．根据筛查情况，李老师绘制了两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生脊柱健康情况统计表
类别
检查结果
人数
A
正常
170
B
轻度侧弯
20
C
中度侧弯
7
D
重度侧弯
3
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）该校共有学生1600人，请估算脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数；
（3）为保护学生脊柱健康，请结合上述统计数据，提出一条合理的建议．
【答案】（1）200人，20，3；
（2）80人；
（3）见解答．
【解答】解：（1）抽取的学生总人数是：170÷85%＝200（人），
200×10%＝20（人），
200×（1﹣10%﹣85%）﹣7
＝200×5%﹣7
＝10﹣7
＝13（人）．
类别
检查结果
人数
A
正常
170
B
轻度侧弯
20
C
中度侧弯
7
D
重度侧弯
3
答：所抽取的学生总人数为200人．
故答案为：20，3；
（2）由扇形统计图可得，脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数为：
1600×（1﹣10%﹣85%）
＝1600×5%
＝80（人）．
答：估计脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数是80人；
（3）答案不唯一，例如：该校学生脊柱侧弯人数占15%，说明该校学生脊柱侧弯情况较为严重，建议学校要每天组织学生做护脊操等．
九．扇形统计图（共1小题）
13．（2021•丽水）在创建“浙江省健康促进学校”的过程中，某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生视力情况统计表
类别
检查结果
人数
A
正常
88
B
轻度近视
▲
C
中度近视
59
D
重度近视
▲
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）该校共有学生约1800人，请估算该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数；
（3）请结合上述统计数据，为该校做好近视防控，促进学生健康发展提出一条合理的建议．
【答案】（1）所抽取的学生总人数200人；（2）在该校1800人学生中，估计近视程度为中度和重度的总人数是810人；（3）见解答．
【解答】解：（1）抽取的学生总人数是：88÷44%＝200（人），
答：所抽取的学生总人数为200人；
（2）由扇形统计图可得，近视程度为中度和重度的总人数为：
1800×（1﹣11%﹣44%）＝1800×45%＝810（人）．
答：在该校1800人学生中，估计近视程度为中度和重度的总人数是810人；
（3）答案不唯一，例如：该校学生近视程度为中度及以上占45%，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
浙江省丽水市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一次函数的应用（共2小题）
1．（2023•丽水）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）求方案二y关于x的函数表达式；
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
2．（2022•丽水）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图．
（1）求出a的值；
（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？
二．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
3．（2023•丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）求证：b2+4a＝0．
三．二次函数综合题（共2小题）
4．（2022•丽水）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．
①求这个二次函数的表达式；
②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；
（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
5．（2021•丽水）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．
四．四边形综合题（共2小题）
6．（2023•丽水）某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和证明．
（1）用三角板分别取AB，AC的中点D，E，连结DE，画AF⊥DE于点F；
（2）用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示意图；
（3）请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由．
7．（2021•丽水）如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．
（1）当AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC时，
①求证：AE＝AF；
②连结BD，EF，若，求的值；
（2）当∠EAF＝∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若AB＝4，AC＝2，则当CE为何值时，△AMN是等腰三角形．
五．圆的综合题（共2小题）
8．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．
（1）求证：AD∥HC；
（2）若＝2，求tan∠FAG的值；
（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．
①若OF＝，求BC的长；
②若AH＝，求△ANB的周长；
③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．
9．（2022•丽水）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD．点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．
（1）求证：∠CAG＝∠AGC；
（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若＝，求的值；
（3）当点E在射线AB上，AB＝2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长．
六．比例线段（共1小题）
10．（2023•丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
七．解直角三角形的应用（共1小题）
11．（2023•丽水）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A﹣D﹣C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11m，CD＝4m，求管道A﹣D﹣C的总长．
八．用样本估计总体（共1小题）
12．（2023•丽水）为全面提升中小学生体质健康水平，我市开展了儿童青少年“正脊行动”．人民医院专家组随机抽取某校各年级部分学生进行了脊柱健康状况筛查．根据筛查情况，李老师绘制了两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生脊柱健康情况统计表
类别
检查结果
人数
A
正常
170
B
轻度侧弯
C
中度侧弯
7
D
重度侧弯
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）该校共有学生1600人，请估算脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数；
（3）为保护学生脊柱健康，请结合上述统计数据，提出一条合理的建议．
九．扇形统计图（共1小题）
13．（2021•丽水）在创建“浙江省健康促进学校”的过程中，某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生视力情况统计表
类别
检查结果
人数
A
正常
88
B
轻度近视
▲
C
中度近视
59
D
重度近视
▲
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）该校共有学生约1800人，请估算该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数；
（3）请结合上述统计数据，为该校做好近视防控，促进学生健康发展提出一条合理的建议．
浙江省丽水市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共2小题）
1．（2023•丽水）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）求方案二y关于x的函数表达式；
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
【答案】（1）30；
（2）y＝20x+600；
（3）若销售量x的取值范围为0＜x＜30，则选择方案二，若销售量x＝30，则选择两个方案都可以，若销售量x的取值范围为x＞30，则选择方案一．
【解答】解：（1）观察图象得：
方案一与方案二相交于点（30，1200），
∴员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）设方案二的函数图象解析式为y＝kx+b，
将点（0，600）、点（30，1200）代入解析式中：
，
解得：，
即方案二y关于x的函数表达式：y＝20x+600；
（3）由两方案的图象交点（30，1200）可知：
若销售量x的取值范围为0＜x＜30，则选择方案二，
若销售量x＝30，则选择两个方案都可以，
若销售量x的取值范围为x＞30，则选择方案一．
2．（2022•丽水）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图．
（1）求出a的值；
（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？
【答案】（1）1.5（h）；
（2）s＝100t﹣150（1.5≤t≤4.8）；
（3）轿车比货车早1.2h到达乙地．
【解答】解：（1）∵货车的速度是60km/h，
∴a＝＝1.5（h）；
（2）由图象可得点（1.5，0），（3，150），
设直线的表达式为s＝kt+b，把（1.5，0），（3，150）代入得：
，
解得，
∴s＝100t﹣150（1.5≤t≤4.8）；
（3）由图象可得货车走完全程需要+0.5＝6（h），
∴货车到达乙地需6h，
∵s＝100t﹣150，s＝330，
解得t＝4.8，
∴两车相差时间为6﹣4.8＝1.2（h），
∴货车还需要1.2h才能到达，
即轿车比货车早1.2h到达乙地．
二．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
3．（2023•丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）求证：b2+4a＝0．
【答案】（1）a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）﹣4＜n＜﹣2；
（3）证明见解答过程．
【解答】（1）解：当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），
∴，
∴解得，
∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）解：∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，
∴由图象的对称性得n＝2m，
∴m＝，
∵﹣2＜m＜﹣1，
∴﹣2＜＜﹣1，
∴﹣4＜n＜﹣2；
（3）证明：∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝m，
∴﹣＝m，
∴b＝﹣2am，
把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
①×3+②得：12am2+12＝0，
∴am2+1＝0，
∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
三．二次函数综合题（共2小题）
4．（2022•丽水）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．
①求这个二次函数的表达式；
②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；
（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
【答案】（1）①y＝2（x﹣2）2﹣1；
②
（2）＜a≤．
【解答】解：（1）①∵二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）经过（3，1），
∴1＝a﹣1，
∴a＝2，
∴二次函数的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣1；
②∵y1＝y2，
∴M，N关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线x＝2，且x2﹣x1＝3，
∴x1＝，x2＝，
当x＝时，y1＝2×（﹣2）2﹣1＝，
∴当y1＝y2时，顶点到MN的距离＝+1＝；
（2）若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，
∴x1+3＞2，
∴x1＞﹣1，
∵x2﹣x1＝3，
∴x1≤，
∴﹣1＜x1≤，
∵函数的最大值为y1＝a（x1﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，
∴y1﹣（﹣1）＝1，
∴a＝，
∴≤（x1﹣2）2＜9，
∴＜a≤．
若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1＜2，
∵x1≥，
∴≤x1＜2，
∵函数的最大值为y2＝a（x2﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，
∴y2﹣（﹣1）＝1，
∴a＝，
∵≤x1＜2，
∴≤x1+1＜3，
∴≤（x1+1）2＜9，
∴＜a≤．
综上所述，＜a≤．
5．（2021•丽水）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5）和点B（5，0），
∴，
解得：，
∴b，c的值分别为﹣4，﹣5．
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+n（k≠0），
把A（0，﹣5），B（5，0）的坐标分别代入表达式，得，
解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣5．
由（1）得，抛物线L的对称轴是直线x＝2，
当x＝2时，y＝x﹣5＝﹣3，
∴点M的坐标是（2，﹣3）；
②设抛物线L1的表达式为y＝（x﹣2+m）2﹣9，
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标是（2，m2﹣9），
∵点P的横坐标为﹣1，
∴P点的坐标是（﹣1，m2﹣6m），
设PE交抛物线L1于另一点Q，
∵抛物线L1的对称轴是直线x＝2﹣m，PE∥x轴，
∴根据抛物线的对称性，点Q的坐标是（5﹣2m，m2﹣6m），
（Ⅰ）如图1，当点N在点M及下方，即0＜m＜时，
∴PQ＝5﹣2m﹣（﹣1）＝6﹣2m，MN＝﹣3﹣（m2﹣9）＝6﹣m2，
由平移的性质得，QE＝m，
∴PE＝6﹣2m+m＝6﹣m，
∵PE+MN＝10，
∴6﹣m+6﹣m2＝10，
解得，m1＝﹣2（舍去），m2＝1，
（Ⅱ）如图2，当点N在点M及上方，点Q在点P及右侧，
即＜m＜3时，
PE＝6﹣m，MN＝m2﹣6，
∵PE+MN＝10，
∴6﹣m+m2﹣6＝10，
解得，m1＝（舍去），m2＝（舍去）．
（Ⅲ）如图3，当点N在M上方，点Q在点P左侧，
即m＞3时，PE＝m，MN＝m2﹣6，
∵PE+MN＝10，
∴m+m2﹣6＝10，
解得，m1＝（舍去），m2＝，
综合以上可得m的值是1或．
四．四边形综合题（共2小题）
6．（2023•丽水）某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和证明．
（1）用三角板分别取AB，AC的中点D，E，连结DE，画AF⊥DE于点F；
（2）用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示意图；
（3）请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）四边形MBCN为矩形，理由见解析过程．
【解答】解：（1）
；
（2）如图，
；
（3）
矩形，理由如下：
∵∠MDB+∠BDE＝180°，∠DEC+∠NEC＝180°，
∴点M、D、E、N在一条直线上，
∵点D、点E分别是AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，，
∵MD+EN＝DE，
∴MN＝MD+DE+EN＝BC，MN∥BC，
∴四边形MBCN为平行四边形，
由题意可得：△MDB≌△FAD，△AFE≌△CNE，
∴∠N＝∠AFE，
∵AF⊥DE，
∴∠AFE＝90°，
∴∠N＝90°，
∴四边形MBCN为矩形．
7．（2021•丽水）如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．
（1）当AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC时，
①求证：AE＝AF；
②连结BD，EF，若，求的值；
（2）当∠EAF＝∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若AB＝4，AC＝2，则当CE为何值时，△AMN是等腰三角形．
【答案】（1）①证明见解析；②；
（2）或2或．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠ABE+∠BAE＝∠EAF+∠DAF＝90°，
∵∠EAF＝∠ABC，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF；
②解：连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝DC，AC⊥BD，
由①知，△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，
∴CE＝CF，
∵AE＝AF，
∴AC⊥EF，
∴EF∥BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴＝＝，
设EC＝2a，则AB＝BC＝5a，BE＝3a，
∴AE＝＝＝4a，
∵＝，∠EAF＝∠ABC，
∴△AEF∽△BAC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴＝＝×＝；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠BAD，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAM，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠ANC，
∴∠ANC＝∠CAM，
同理：∠AMC＝∠NAC，
∴△MAC∽△ANC，
∴＝，
△AMN是等腰三角形有三种情况：
①当AM＝AN时，如图2所示：
∵∠ANC＝∠CAM，AM＝AN，∠AMC＝∠NAC，
∴△ANC≌△MAC（ASA），
∴CN＝AC＝2，
∵AB∥CN，
∴△CEN∽△BEA，
∴＝＝＝，
∵BC＝AB＝4，
∴CE＝BC＝；
②当NA＝NM时，如图3所示：
则∠NMA＝∠NAM，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠NMA＝∠NAM＝∠BAC＝∠BCA，
∴△ANM∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CN＝2AC＝4＝AB，
∴△CEN≌△BEA（AAS），
∴CE＝BE＝BC＝2；
③当MA＝MN时，如图4所示：
则∠MNA＝∠MAN＝∠BAC＝∠BCA，
∴△AMN∽△ABC，
∴＝＝＝2，
∴CN＝AC＝1，
∵△CEN∽△BEA，
∴＝＝，
∴CE＝BC＝；
综上所述，当CE为或2或时，△AMN是等腰三角形．
五．圆的综合题（共2小题）
8．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．
（1）求证：AD∥HC；
（2）若＝2，求tan∠FAG的值；
（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．
①若OF＝，求BC的长；
②若AH＝，求△ANB的周长；
③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．
【答案】（1）证明见解答．
（2）tan∠FAG的值为．
（3）①BC的长为．
②△ANB的周长为．
③△BHC的面积为．
【解答】（1）证明：∵点C，D是的三等分点，
∴．
由CE是⊙O的直径可得CE⊥AD，
∵HC是⊙O的切线，
∴HC⊥CE，
∴AD∥HC．
（2）解：如图1，连接AO，
∵，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠AGC＝∠AGF＝90°，
∴△CAG≌△FAG（ASA），
∴CG＝FG，
设CG＝a，则FG＝a，
∵，
∴OG＝2a，AO＝CO＝3a．
在Rt△AOG中，AO2＝AG2+OG2，
∴（3a）2＝AG2+（2a）2，
∴，
∴．
答：tan∠FAG的值为．
（3）解：①如图1，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵CE⊥AD，
∴AD＝2AG＝，
∵，
∴，
∴．
答：BC的长为．
②如图2，连接CD，
∵AD∥HC，FG＝CG，
∴AH＝AF，
∵∠HCF＝90°，
∴，
设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，
由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝AC2﹣CG2，
即25﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，
解得x＝1，
∴AG＝3，AD＝6，
∵，
∴∠DAC＝∠BCD，
∵∠CDN＝∠ADC，
∴△CDN∽△ADC，
∴，
∴，
∵∠BAD＝∠DAC，∠ABN＝∠ADC，
∴△ANB∽△ACD，
∴＝．
答：△ANB的周长为．
③如图3，过点O作OM⊥AB于点M，则，
设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，OF＝5﹣2x，
由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝25﹣（5﹣x）2，
AF2＝AG2+FG2＝10x﹣x2+x2＝10x，
∵AD∥HC，FG＝CG，
∴，
∴，
∴，
∵∠AGF＝∠OMF＝90°，∠AFG＝∠OFM，
∴△AFG∽△OFM，
∴，
∴AF•FM＝OF•GF，
∴AF•AM＝AF•（AF+FM）＝AF2+AF•FM＝AF2+OF•GF＝22，
可得方程10x+x（5﹣2x）＝22，
解得x1＝2，x2＝5.5（舍去），
∴CG＝FG＝2，
∴OG＝3，
∴AG＝4，
∴，
∴S△CHA＝8，
∵AD∥HC，
∴∠CAD＝∠ACH，
∵，
∴∠B＝∠CAD，
∴∠B＝∠ACH，
∵∠H＝∠H，
∴△CHA∽△BHC，
∴．
答：△BHC的面积为．
9．（2022•丽水）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD．点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．
（1）求证：∠CAG＝∠AGC；
（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若＝，求的值；
（3）当点E在射线AB上，AB＝2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）；
（3）2﹣或2+或或．
【解答】（1）证明：∵AH是⊙O的切线，
∴AH⊥AB，
∴∠GAB＝90°，
∵A，E关于CD对称，AB⊥CD，
∴点E在AB上，CE＝CA，
∴∠CEA＝∠CAE，
∵∠CAE+∠CAG＝90°，∠AEC+∠AGC＝90°，
∴∠CAG＝∠AGC；
（2）解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴＝，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ECD，
∴∠ADC＝∠ECD，
∴CF∥AD，
∴＝，
∵CE＝AC＝AD，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝；
（3）解：如图1中，当OC∥AF时，连接OC，OF．设∠AGF＝α，则∠CAG＝∠ACD＝∠DCF＝∠AFG＝α，
∵OC∥AF，
∴∠OCF＝∠AFC＝α，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC＝3α，
∵∠OAG＝90°，
∴4α＝90°，
∴α＝22.5°，
∵OC＝OF，OA＝OF，
∴∠OFC＝∠OCF＝∠AFC＝22.5°，
∴∠OFA＝∠OAF＝45°，
∴AF＝OF＝OC，
∵OC∥AF，
∴＝＝，
∵OA＝1，
∴AE＝×1＝2﹣．
如图2中，当OC∥AF时，连接OC，AD，设CD交AE点M．
设∠OAC＝α，
∵OC∥AF，
∴∠FAC＝∠OCA＝α，
∴∠COE＝∠FAE＝2α，
∵∠AFG＝∠D，∠AGF＝∠D，
∴∠AGC＝∠AFG＝∠AEC+∠FAE＝3α，
∵∠AGC+∠AEC＝90°，
∴4α＝90°，
∴α＝22.5°，2α＝45°，
∴△COM是等腰直角三角形，
∴OC＝OM，
∴OM＝，AM＝+1，
∴AE＝2AM＝2+；
如图3中，当AC∥OF时，连接OC，OF．
设∠AGF＝α，
∵∠ACF＝∠ACD+∠DCF＝2α，
∵AC∥OF，
∴∠CFO＝∠ACF＝2α，
∴∠CAO＝∠ACO＝4α，
∵∠AOC+∠OAC+∠ACO＝180°，
∴10α＝180°，
∴α＝18°，
∴∠COE＝∠ECO＝∠CFO＝36°，
∴△OCE∽△FCO，
∴OC2＝CE×CF，
∴1＝CE（CE+1），
∴CE＝AC＝OE＝，
∴AE＝OA﹣OE＝．
如图4中，当AC∥OF时，连接OC，OF，BF．
设∠FAO＝α，
∵AC∥OF，
∴∠CAF＝∠OFA＝α，
∴∠COF＝∠BOF＝2α，
∵AC＝CE，
∴∠AEC＝∠CAE＝∠EFB，
∴BF＝BE，
由△OCF≌△OBF，
∴CF＝BF＝BE，
∵∠BEF＝∠COF，
∴△COF∽△CEO，
∴OC2＝CE•CF，
∴BE＝CF＝，
∴AE＝AB+BE＝．
综上所述，满足条件的AE的长为2﹣或2+或或，
六．比例线段（共1小题）
10．（2023•丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
【答案】2．
【解答】解：当＝2时，＝＝，理由如下：
∵＝2，
∴a＝2c，
∴＝，
∴b＝c，
∴＝＝，＝＝，
∴＝＝．
故答案为：2．
七．解直角三角形的应用（共1小题）
11．（2023•丽水）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A﹣D﹣C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11m，CD＝4m，求管道A﹣D﹣C的总长．
【答案】18m．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，
∴BE＝CD＝4m，
∴AE＝AB﹣BE＝11﹣4＝7（m），
∵∠A＝60°，
∴cosA＝＝cos60°＝，
∴AD＝2AE＝2×7＝14（m），
∴AD+CD＝14+4＝18（m），
即管道A﹣D﹣C的总长为18m．
八．用样本估计总体（共1小题）
12．（2023•丽水）为全面提升中小学生体质健康水平，我市开展了儿童青少年“正脊行动”．人民医院专家组随机抽取某校各年级部分学生进行了脊柱健康状况筛查．根据筛查情况，李老师绘制了两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生脊柱健康情况统计表
类别
检查结果
人数
A
正常
170
B
轻度侧弯
20
C
中度侧弯
7
D
重度侧弯
3
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）该校共有学生1600人，请估算脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数；
（3）为保护学生脊柱健康，请结合上述统计数据，提出一条合理的建议．
【答案】（1）200人，20，3；
（2）80人；
（3）见解答．
【解答】解：（1）抽取的学生总人数是：170÷85%＝200（人），
200×10%＝20（人），
200×（1﹣10%﹣85%）﹣7
＝200×5%﹣7
＝10﹣7
＝13（人）．
类别
检查结果
人数
A
正常
170
B
轻度侧弯
20
C
中度侧弯
7
D
重度侧弯
3
答：所抽取的学生总人数为200人．
故答案为：20，3；
（2）由扇形统计图可得，脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数为：
1600×（1﹣10%﹣85%）
＝1600×5%
＝80（人）．
答：估计脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数是80人；
（3）答案不唯一，例如：该校学生脊柱侧弯人数占15%，说明该校学生脊柱侧弯情况较为严重，建议学校要每天组织学生做护脊操等．
九．扇形统计图（共1小题）
13．（2021•丽水）在创建“浙江省健康促进学校”的过程中，某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生视力情况统计表
类别
检查结果
人数
A
正常
88
B
轻度近视
▲
C
中度近视
59
D
重度近视
▲
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）该校共有学生约1800人，请估算该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数；
（3）请结合上述统计数据，为该校做好近视防控，促进学生健康发展提出一条合理的建议．
【答案】（1）所抽取的学生总人数200人；（2）在该校1800人学生中，估计近视程度为中度和重度的总人数是810人；（3）见解答．
【解答】解：（1）抽取的学生总人数是：88÷44%＝200（人），
答：所抽取的学生总人数为200人；
（2）由扇形统计图可得，近视程度为中度和重度的总人数为：
1800×（1﹣11%﹣44%）＝1800×45%＝810（人）．
答：在该校1800人学生中，估计近视程度为中度和重度的总人数是810人；
（3）答案不唯一，例如：该校学生近视程度为中度及以上占45%，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
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