2023年广东省中考数学第一轮复习卷：12图形的对称

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2023年广东省中考数学第一轮复习卷：12图形的对称
一．选择题（共12小题）
1．（2022•香洲区校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝10．点E是CD边上一点．连接BE，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处，则下列说法中错误的是（　　）

A．∠BFE＝90° B．AF＝53 C．∠AFB＝30° D．DE＝EC
2．（2022•龙湖区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝4，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．45 D．10
3．（2022•龙岗区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上一动点，将△CBE沿直线CE折叠，点B落在点F处，连接DF交CE的延长线于点H，连接BH．下列四个结论：①BH＝FH；②∠CHD＝45°；③DF：AH=2；④∠AHD＝∠BHC；其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
4．（2022•三水区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，点P（5，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣5，2） B．（﹣5，﹣2） C．（5，﹣2） D．（5，2）
5．（2022•清城区一模）在平面直角坐标系中，点A（x2+2x，1）与点B（﹣3，1）关于y轴对称，则x的值为（　　）
A．1 B．3或1 C．﹣3或1 D．3或﹣1
6．（2022•东莞市校级一模）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点M，N分别是AD，BC的中点，连接MN，现将△ADE沿AE所在的直线折叠，使得点D的对应点D′在线段MN上．以下四个结论：
①∠AD′M＝30°；
②△ADG≌△ABH；
③连接DD′，则△ADD′是等边三角形；
④若正方形面积为12，则GH＝46−62．
其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022•新会区模拟）已知点A（a﹣1，2021）与点B（2022，b﹣1）关于y轴对称，则（a+b）2022＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2021 D．2022
8．（2022•天河区二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，线段PQ在斜边AC上运动，且PQ＝2．连接BP，BQ．则△BPQ周长的最小值是（　　）

A．62+2 B．219+2 C．8 D．45+2
9．（2022•福田区二模）平面直角坐标系xOy中，点A（﹣5，2）关于x轴对称的点B的坐标是（　　）
A．（﹣5，﹣2） B．（﹣5，2） C．（5，﹣2） D．（5，2）
10．（2022•南海区校级三模）如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（　　）

A．4 B．5 C．13 D．15
11．（2022•汕尾二模）如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点M处．折痕为AP；再将△PCM，△ADM分别沿PM，AM折叠，此时点C，D落在AP上的同一点N处．下面结论中正确的个数为（　　）
①M是CD的中点；②AD∥BC；③∠DAM+∠CPM＝90°；④当AD＝CP时，ABCD=32．

A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2022•东莞市一模）如图，矩形ABCD中，E在AC上运动，EF⊥AB，AB＝2，BC＝23，求BF+BE的最小值（　　）

A．22 B．32 C．3 D．23
二．填空题（共9小题）
13．（2022•蓬江区一模）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABD沿BD折叠后，点A恰好落在AD的延长线上的点E处．若∠C＝60°，BC＝4，则△ABE的周长为 　 　．

14．（2022•惠阳区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为 　 　．

15．（2022•揭西县模拟）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+32PD的最小值等于 　 　．

16．（2022•东莞市校级二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则DP+12AP的最小值为 　 　．

17．（2022•梅州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，将Rt△ABC沿MN折叠，使点A落在BC边上的点D处，若AM＝2，则tan∠CND的值为 　 　．

18．（2022•紫金县二模）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠ABC＝120°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，连接BE，则EF的长为 　 　．

19．（2022•东莞市模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB且交BC于点D，AC＝12．BC＝5．若M、N分别是AD、AC上的动点，则CM+MN的最小值为 　 　．
20．（2021•广州）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 　 　．

21．（2021•深圳）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，将△CDE沿DE折叠，得到△FDE，连接BF，CF，∠BFC＝90°，若EF∥AB，AB＝43，EF＝10，则AE的长为 　 　．

三．解答题（共10小题）
22．（2022•珠海校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过点F作EF⊥AD于点E，将△AEF翻折得到△GEF，点G在线段AD上，连接CG，若∠FGC＝90°，延长GF交AB于点H，连接CH．
（1）求证：△CDG∽△GAH；
（2）求tan∠GHC的值．

23．（2022•东莞市校级一模）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E，F分别是边AD，BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点G处，点D落在点H处，若EH与CB的延长线交于点P．
（1）求证：PH＝PB；
（2）若∠PEA＝45°，求AE的长度．

24．（2022•东莞市校级一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，CD＝3．点E为AD的中点．连接CE，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，CE交BD于点G，交BA的延长线于点M，延长CF交AB于点N，
（1）求DG的长；
（2）求MN的长．

25．（2022•龙岗区校级模拟）图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形边长为1，点A、B均在格点上．只用直尺，分别按照下列要求画图．
（1）在图1中，画一个△ABC，使它的面积为3，且点C在格点上；
（2）在图2中，画∠ADB，使得∠ADB＝45°，且点D在格点上；
（3）在图3中，画一个锐角△ABE，使它是轴对称图形，且点E在格点上．


26．（2022•香洲区校级一模）如图，E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，将△ABF沿BF折叠，点A落在点Q处，连接FQ并延长，交DC于G点．
（1）求证：CE＝BF；
（2）若AB＝4，求GF的值．

27．（2022•禅城区校级二模）矩形ABCD中，BC＝6，点E是线段AB上一动点．点F在线段AD上，沿EF折叠，使A落在CD边上的G处，且DG＝3．
（1）尺规作图：作出折痕EF，保留作图痕迹，不用写作法；
（2）求AE的长．

28．（2022•龙岗区模拟）把一张矩形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，使点A落在点E处，点C落在点F处（E，F两点均在BD上），折痕分别为BH，DG．
（1）求证：△BHE≌△DGF；
（2）若AB＝6，BC＝8，求线段FG的长．

29．（2022•龙岗区模拟）在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC如图所示．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出将△ABC向下平移6个单位长度后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；
（3）求△ABC的面积．

30．（2021•广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．

31．（2021•深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；
（2）求四边形ABCD的面积．


2023年广东省中考数学第一轮复习卷：12图形的对称
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2022•香洲区校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝10．点E是CD边上一点．连接BE，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处，则下列说法中错误的是（　　）

A．∠BFE＝90° B．AF＝53 C．∠AFB＝30° D．DE＝EC
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，
∴由折叠得EF＝EC，∠BFE＝∠C＝90°，
故A正确；
∵DE⊥DF，
∴EF＞DE，
∵EF＝CE，
∴EC＞DE，
故D错误，
∵AB2+AF2＝BF2，AB＝5，BF＝BC＝10，
∴52+AF2＝102，
∴AF＝53，
故B正确；
∵tan∠AFB=ABAF=553=33，
∴∠AFB＝30°，
故C正确，
故选：D．
2．（2022•龙湖区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝4，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．45 D．10
【解答】解：∵EF＝4，点G为EF的中点，
∴DG＝2，
∴G是以D为圆心，以2为半径的圆弧上的点，
作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，
此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；
∵AB＝4，AD＝6，
∴AA′＝8，
∴A′D=A'A2+AD2=82+62=10，
∴A′G＝A′D﹣DG＝10﹣2＝8，
∴PA+PG的最小值为8，
故选：B．

3．（2022•龙岗区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上一动点，将△CBE沿直线CE折叠，点B落在点F处，连接DF交CE的延长线于点H，连接BH．下列四个结论：①BH＝FH；②∠CHD＝45°；③DF：AH=2；④∠AHD＝∠BHC；其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【解答】解：如图，连接BF交HC于点O，过点A作AN⊥DH交DH于点N，过点C作CM⊥DH，交DH于点M，

∵将△CBE沿直线CE折叠，点B落在点F处，
∴CE是BF的垂直平分线，
∵连接DF交CE的延长线于点H，
∴HF＝HB，故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，
由翻折可知：CF＝CB，∠BCE＝∠FCE，
∴CD＝CF，
∴△CDF为等腰三角形，
∵CM⊥DH，
∴∠FCM＝∠MCD=12∠DCF，
∵∠BCE＝∠FCE=12∠BCF，
∴∠MCH＝∠FCM+∠FCE=12（∠DCF+∠BCF）=12×90°＝45°，
∵∠CMH＝90°，
∴∠CHD＝45°，故②正确；
∵∠ADN+∠MDC＝90°，∠DCM+∠MDC＝90°，
∴∠ADN＝∠DCM，
在△AND和△DMC中，
∠ADN=∠DCM∠AND=∠CMD=90°AD=DC，
∴△AND≌△DMC（AAS），
∴DN＝MC，
∵△HMC为等腰直角三角形，
∴HM＝MC，
∴HM＝ND，
∴HN＝MD，
∵AN＝MD，
∴HN＝AN，
∵∠ANH＝90，
∴∠AHN＝45°＝∠FHC＝∠BHC，
∴∠AHD＝∠BHC，故④正确；
∵sin∠AHN=ANAH=sin45°=22，DF＝2DM＝2AN，
∴DFAH=2×22=2，故③正确，
综上所述：正确的有①②③④，
故选：D．
4．（2022•三水区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，点P（5，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣5，2） B．（﹣5，﹣2） C．（5，﹣2） D．（5，2）
【解答】解：∵关于y轴对称，
∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点P（5，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣5，﹣2），
故选：B．
5．（2022•清城区一模）在平面直角坐标系中，点A（x2+2x，1）与点B（﹣3，1）关于y轴对称，则x的值为（　　）
A．1 B．3或1 C．﹣3或1 D．3或﹣1
【解答】解：∵点A（x2+2x，1）与点B（﹣3，1）关于y轴对称，
∴x2+2x﹣3＝0，
∴x＝﹣3或1，
故选：C．
6．（2022•东莞市校级一模）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点M，N分别是AD，BC的中点，连接MN，现将△ADE沿AE所在的直线折叠，使得点D的对应点D′在线段MN上．以下四个结论：
①∠AD′M＝30°；
②△ADG≌△ABH；
③连接DD′，则△ADD′是等边三角形；
④若正方形面积为12，则GH＝46−62．
其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵点M是AD的中点，
∴AM=12AD，
∵将△ADE沿AE所在的直线折叠，使得点D的对应点D′在线段MN上，
∴AD′＝AD＝2AM，∠DAE＝∠EAD′，
∵MN∥DC，
∴∠AMN＝∠ADC＝90°，
∴∠AD′M＝30°，故①正确；
∴∠DAD′＝60°，
∴∠DAE＝∠EAD′＝30°，
∴∠BAD′＝∠DAE＝30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，ADB＝∠ABD＝45°，
∴△ADG≌△ABH（ASA），故②正确；
∵∠DAD′＝60°，AD＝AD′，
∴△ADD′是等边三角形，故③正确；
过H作HP⊥AB于P，过G作GQ⊥AB于Q，
则PB＝PH，PA=3PH，
∵AB2＝12，
∴AB＝23，
∴PH+3PH＝23，
∴PH＝3−3，
∴AH＝2PH＝6﹣23，BH=2PH＝32−6，
∵△ADG≌△ABH，
∴AG＝AH＝2PH＝6﹣23，
∴QG=32AG＝33−3，
∴BG=2GQ＝36−32，
∴GH＝BG﹣BH＝46−62，故④正确，
故选：D．

7．（2022•新会区模拟）已知点A（a﹣1，2021）与点B（2022，b﹣1）关于y轴对称，则（a+b）2022＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2021 D．2022
【解答】解：∵点A（a﹣1，2021）与点B（2022，b﹣1）关于y轴对称，
∴a﹣1＝﹣2022，b﹣1＝2021，
∴a＝1﹣2022＝﹣2021，b＝1+2021＝2022，
则（a+b）2022＝12022＝1．
故选：A．
8．（2022•天河区二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，线段PQ在斜边AC上运动，且PQ＝2．连接BP，BQ．则△BPQ周长的最小值是（　　）

A．62+2 B．219+2 C．8 D．45+2
【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点D，连接AD、CD，过点D作DE∥AC，连接BE交AC于点P，取PQ＝2，连接DQ，BD.
∵AB＝6，
∴BD＝62，
∵DE∥PQ，DE＝PQ，
∵四边形PQDE为平行四边形，
∴PE＝DQ＝BQ，
∵B，P，E三点共线，
∴此时△BPQ的周长＝BP+BQ+PQ＝BE+2最小．
∵BD⊥AC，
∴BD⊥DE，即∠BDE＝90°，
∴BE=(62)2+22=219
∴△BPQ周长的最小值为：219+2，
故选：B．

9．（2022•福田区二模）平面直角坐标系xOy中，点A（﹣5，2）关于x轴对称的点B的坐标是（　　）
A．（﹣5，﹣2） B．（﹣5，2） C．（5，﹣2） D．（5，2）
【解答】解：关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，
故在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣5，2）关于x轴对称的点B的坐标是（﹣5，﹣2）．
故选：A．
10．（2022•南海区校级三模）如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（　　）

A．4 B．5 C．13 D．15
【解答】解：如图，过点A作AG⊥CD，

∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD沿AE翻折，
∴AB＝AD，AB＝AF，∠ABE＝∠D，
∴AD＝AF，
∴三角形ADF为等腰三角形，
∵AG⊥DF，
∴点G为DF中点，
∵点F为CD中点，
∴AD＝CD＝4DG，
设DG＝a，则AD＝4a，
在Rt△ADG中，AD2＝AG2+DG2，
∴（4a）2＝AG2+a2，
∴AG=15a，
∴tan∠ABE＝tanD=AGDG=15，
故选：D．
11．（2022•汕尾二模）如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点M处．折痕为AP；再将△PCM，△ADM分别沿PM，AM折叠，此时点C，D落在AP上的同一点N处．下面结论中正确的个数为（　　）
①M是CD的中点；②AD∥BC；③∠DAM+∠CPM＝90°；④当AD＝CP时，ABCD=32．

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵将△PCM，△ADM分别沿PM，AM折叠，
∴DM＝MN＝CM，∠D＝∠ANM，∠C＝∠PNM，∠DAM＝∠PAM，∠CPM＝∠APM，
∴点M是CD的中点，
∵∠ANM+∠PNM＝180°，
∴∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠DAP+∠CPA＝180°，
∴∠DAM+∠CPM＝90°，
∴∠MAP＝∠APM＝90°，
∴∠AMP＝90°，
由折叠的性质可得：AD＝AN，CP＝PN，∠B＝∠AMP＝90°，∠APB＝∠APM＝∠CPM＝60°，
∵AD＝CP，AD∥CP，
∴四边形ADCP是平行四边形，
∴AP＝CD，
∴BACD=ABAP=sin∠APB=32，
故选D．
12．（2022•东莞市一模）如图，矩形ABCD中，E在AC上运动，EF⊥AB，AB＝2，BC＝23，求BF+BE的最小值（　　）

A．22 B．32 C．3 D．23
【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′H⊥BC于H，交AC于E'，
则BE'+E'H＝B'H即为BF+BE的最小值，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，BC＝23，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴OB=3，
∴BB'＝2OB＝23，
∵∠B'＝∠DAC＝30°，
∴BH=3，
∴B'H＝3．
故选：C．
二．填空题（共9小题）
13．（2022•蓬江区一模）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABD沿BD折叠后，点A恰好落在AD的延长线上的点E处．若∠C＝60°，BC＝4，则△ABE的周长为 　24　．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝60°，
∵将△ABD沿BD折叠后，点A恰好落在AD的延长线上的点E处，
∴BD垂直平分AE．
∴AD＝DE＝4，BA＝BE，
∴∠E＝∠A＝60°，AE＝8，
∴等腰△ABE为等边三角形．
∴△ABE的周长为8×3＝24．
故答案为：24．
14．（2022•惠阳区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为 　33　．

【解答】解：作CG⊥AD于G，并延长交AB于H，连接HF交AD于E，
∵AD平分∠CAB，
∴C，H关于AD对称，
则此时，则此时，CE+EF的值最小，CE+EF的最小值＝FH，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝6．AB＝12，
∴sinB=ACAB=12，
∴∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD平分∠ACB，
∴AC＝AH=12AB，
∵点F是AC的中点，
∴FH=12BC，
∵BC=AB2−AC2=122−62=63，
∴FH＝33．
故答案为：33．

15．（2022•揭西县模拟）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+32PD的最小值等于 　33　．

【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，

∵AB∥CD，
∴∠EDP＝∠DAB＝60°，
∴sin∠EDP=EPDP=32，
∴EP=32PD，
∴PB+32PD＝PB+PE，
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，
∵sinA=BEAB=32，
∴BE＝33，
故答案为：33．
16．（2022•东莞市校级二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则DP+12AP的最小值为 　22　．

【解答】解：如图，在AB的下方作∠BAM＝∠CAB，过点P作PT⊥AM于点T，过点D作DJ⊥AM于点M．

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC＝∠CAB=12∠DAB＝15°，
∴∠PAT＝30°，∠DAJ＝45°，
∵PT⊥AM，
∴PT=12PA，
∴DP+12PA＝DP+PT≥DJ，
∵DJ＝AD•sin45°＝22，
∴DP+12PA≥22，
∴DP+12PA的最小值为22，
故答案为：22．
17．（2022•梅州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，将Rt△ABC沿MN折叠，使点A落在BC边上的点D处，若AM＝2，则tan∠CND的值为 　33　．

【解答】解：由翻折的性质知，∠MDN＝∠A，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵∠BDN＝∠BDM+∠MDN＝∠C+∠CND，
∴∠CND＝∠MDB，
∵AM＝MD＝2，
∴BM＝AB﹣AM＝1，
∴BD=MD2−BM2=3，
∴tan∠CND＝tan∠MDB=BMBD=33，
故答案为：33．
18．（2022•紫金县二模）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠ABC＝120°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，连接BE，则EF的长为 　72　．

【解答】解：如图，连接BD，

∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，
∴AB＝4＝BC＝CD，∠A＝60°＝∠C，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是CD中点，
∴DE＝2＝CE，BE⊥CD，∠EBC＝30°，
∴BE=3CE＝23，
∵CD∥AB，
∴∠ABE＝∠CEB＝90°，
由折叠可得AF＝EF，
∵EF2＝BE2+BF2，
∴EF2＝12+（4﹣EF）2，
∴EF=72．
故答案为：72．
19．（2022•东莞市模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB且交BC于点D，AC＝12．BC＝5．若M、N分别是AD、AC上的动点，则CM+MN的最小值为 　6013　．
【解答】解：如图，在AB上取点N'，使AN＝AN'，连接MN'，

∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵AM＝AM，
∴△NAM≌△N'AM（SAS），
∴MN＝MN'，
∴当C、M、N'共线，且CN'⊥AB时，CM+MN最小，
作CH⊥AB于H，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝13，
利用面积法得，CH=AC×BCAB=5×1213=6013，
∴CM+MN的最小值为6013，
故答案为：6013．
20．（2021•广州）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 　33°　．

【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝38°，
∵B′D∥AC，
∴∠ADB′＝∠A＝38°，
∵点B关于直线CD的对称点为B′，
∴∠CDB′＝∠CDB=12（38°+180°）＝109°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣38°﹣109°＝33°．
故答案为33°．
21．（2021•深圳）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，将△CDE沿DE折叠，得到△FDE，连接BF，CF，∠BFC＝90°，若EF∥AB，AB＝43，EF＝10，则AE的长为 　10﹣43　．

【解答】解：方法一、如图，延长ED交FC于G，延长BA，DE交于点M，

∵将△CDE沿DE折叠，得到△FDE，
∴EF＝EC，DF＝DC，∠FED＝∠CED，
∴EG⊥CF，
又∵∠BFC＝90°，
∴BF∥EG，
∵AB∥EF，
∴四边形BFEM是平行四边形，
∴BM＝EF＝10，
∴AM＝BM﹣AB＝10﹣43，
∵AB∥EF，
∴∠M＝∠FED，
∴∠M＝∠CED＝∠AEM，
∴AE＝AM＝10﹣43，
方法二、延长CA和FB相交于点H，

∵折叠，
∴EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF，
又∵∠BFC＝90°，
∴∠H＝∠EFH，
∴EF＝EC＝HE＝10，
∵AB∥EF，
∴∠ABH＝∠EFH＝∠H，
∴AB＝AH＝43，
∴AE＝HE﹣AH＝10﹣43．
故答案为：10﹣43．
三．解答题（共10小题）
22．（2022•珠海校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过点F作EF⊥AD于点E，将△AEF翻折得到△GEF，点G在线段AD上，连接CG，若∠FGC＝90°，延长GF交AB于点H，连接CH．
（1）求证：△CDG∽△GAH；
（2）求tan∠GHC的值．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠GAH＝90°，
∴∠DCG+∠DGC＝90°，
∵∠FGC＝90°，
∴∠AGH+∠DGC＝90°，
∴∠DCG＝∠AGH，
∴△CDG∽△GAH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，
由翻折的性质得：∠EGF＝∠EAF，
∴∠AGH＝∠DAC＝∠DCG，
∴tan∠DCG＝tan∠AGH＝tan∠DAC，
∴DGCD=AHAG=CDAD=24=12，
∴DG=12CD=12×2＝1，
∴AG＝AD﹣DG＝4﹣1＝3，
∵△CDG∽△GAH，
∴CGGH=CDAG，
∴tan∠GHC=CGGH=CDAG=23．
23．（2022•东莞市校级一模）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E，F分别是边AD，BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点G处，点D落在点H处，若EH与CB的延长线交于点P．
（1）求证：PH＝PB；
（2）若∠PEA＝45°，求AE的长度．

【解答】（1）证明：由折叠的性质可知：DE＝EH，∠DEF＝∠PFE，
在矩形ABCD中，
∵AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴EH＝BF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠PFE，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴PE＝PF，
∴PE﹣EH＝PF﹣BF，
∴PH＝PB；
（2）解：如图，设PE交AB于点Q，

设AE＝CF＝x，
则DE＝BF＝8﹣x，
∵∠PEA＝45°，∠A＝∠ABC＝∠ABP﹣90°，
∴∠AEQ＝∠AQE＝∠PQB＝∠QPB＝45°，
∴△AEQ和△BPQ都是等腰直角三角形，
∴BQ＝PB＝5﹣x，
由勾股定理得，EQ=2x，PQ=2（5﹣x），
∵PE＝PF，
∴PQ+EQ＝PB+BF，
∴2（5﹣x）+2x＝5﹣x+8﹣x，
解得：x=13−522，
∴AE的长度为13−522．
24．（2022•东莞市校级一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，CD＝3．点E为AD的中点．连接CE，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，CE交BD于点G，交BA的延长线于点M，延长CF交AB于点N，
（1）求DG的长；
（2）求MN的长．

【解答】解：（1）∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，AB∥CD，
∴△AEB∽△DEC，
∴AEDE=AMCD，
∴AM＝CD＝AB，
∴BM＝2CD，
∵AB＝3，AD＝4，
∴BD=AB2+AD2=5，
∵AB∥CD，
∴△DGC∽△BGM，
∴DCBM=DGBG=12，
∴DG=53；
（2）∵将△CDE沿CE折叠得到△CFE，
∴∠DCM＝∠MCN，
∵AB∥CD，
∴∠M＝∠DCM＝∠NCM，
∴MN＝CN，
∵CN2＝BC2+BN2，
∴MN2＝16+（6﹣MN）2，
∴12MN＝52，
∴MN=133．
25．（2022•龙岗区校级模拟）图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形边长为1，点A、B均在格点上．只用直尺，分别按照下列要求画图．
（1）在图1中，画一个△ABC，使它的面积为3，且点C在格点上；
（2）在图2中，画∠ADB，使得∠ADB＝45°，且点D在格点上；
（3）在图3中，画一个锐角△ABE，使它是轴对称图形，且点E在格点上．


【解答】解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）；
（2）如图2中，∠ADB即为所求；
（3）如图3中，△ABE即为所求．

26．（2022•香洲区校级一模）如图，E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，将△ABF沿BF折叠，点A落在点Q处，连接FQ并延长，交DC于G点．
（1）求证：CE＝BF；
（2）若AB＝4，求GF的值．

【解答】（1）证明：∵E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，
∴BE＝AF=12AB=12AD，∠A＝∠ABC＝90°，
在△ABF和△CBE中，
AB=BC∠A=∠CBE=90°BE=AF，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴BF＝CE；
（2）解：如图，连接BG，

由折叠可知：AB＝BQ，∠BQF＝∠A＝90°，
∴BC＝BQ，∠BQG＝∠BCG＝90°，
在Rt△BQG和Rt△BCG中，
BG=BGBQ=BC，
∴Rt△BQG≌Rt△BCG（HL），
∴QG＝CG，
∵AD＝DC＝4，AF＝FQ＝FD＝2，
设CG＝x，则DG＝DC﹣CG＝4﹣x，FG＝FQ+QG＝AF+CG＝2+x，
在Rt△DFG中，根据勾股定理得：
DF2+DG2＝FG2，
∴22+（4﹣x）2＝（2+x）2，
∴x=43，
∴QG＝CG=43，
∴GF＝FQ+QG＝2+43=103．
27．（2022•禅城区校级二模）矩形ABCD中，BC＝6，点E是线段AB上一动点．点F在线段AD上，沿EF折叠，使A落在CD边上的G处，且DG＝3．
（1）尺规作图：作出折痕EF，保留作图痕迹，不用写作法；
（2）求AE的长．

【解答】解：（1）如图，折痕EF为所求．

（2）过点E作EH⊥CD于点H．

∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AD＝BC＝EH＝6．
由折叠可知∠FGE＝∠A＝90°，FG＝AF，
在Rt△DFG中，DG＝3，
设DF＝x，则FG＝AF＝6﹣x，
由勾股定理可得（6﹣x）2＝x2+32，
解得x=94，
即DF=94，
∵∠DGF+∠EGH＝90°，
∠DGF+∠DFG＝90°，
∴∠DFG＝∠EGH，
∵∠D＝∠EHG＝90°，
∴△DFG∽△HGE，
则DFGH=DGHE=36=12，
∴GH＝2DF=92，
∴AE＝DH＝DG+GH=152．
28．（2022•龙岗区模拟）把一张矩形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，使点A落在点E处，点C落在点F处（E，F两点均在BD上），折痕分别为BH，DG．
（1）求证：△BHE≌△DGF；
（2）若AB＝6，BC＝8，求线段FG的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
由折叠的性质得：AB＝EB，∠A＝∠BEH＝90°，∠EBH=12∠ABD，CD＝FD，∠C＝∠DFG＝90°，∠FDG=12∠BDC，
∴∠BEH＝∠DFG，EB＝FD，∠EBH＝∠FDG，
在△BEH和△DFG中，
∠BEH=∠DFGBE=DF∠EBH=∠FDG，
∴△BEH≌△DFG（ASA）；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8．
∴BD=BC2+CD2=62+82=10，
由（1）知：FD＝CD＝6，
∴BF＝BD﹣FD＝10﹣6＝4，
设FG＝x，
由折叠的性质，得CG＝FG＝x，
∴BG＝BC﹣CG＝8﹣x，
在Rt△BGF中，BG2＝BF2+FG2，即（8﹣x）2＝42+x2，
解得x＝3，
即FG＝3．
29．（2022•龙岗区模拟）在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC如图所示．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出将△ABC向下平移6个单位长度后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；
（3）求△ABC的面积．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（4，5）；

（2）如图，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（﹣4，﹣1）；
（3）由图可知S△ABC＝4×3﹣3×2×12−1×2×12−2×4×12=4．
30．（2021•广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．

【解答】解：延长BF交CD于H，连接EH．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠D＝∠DAB＝90°，AD＝CD＝AB＝1，
∴AC=AD2+CD2=12+12=2，
由翻折的性质可知，AE＝EF，∠EAB＝∠EFB＝90°，∠AEB＝∠FEB，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE＝EF，
∵∠D＝∠EFH＝90°，
在Rt△EHD和Rt△EHF中，
EH=EHED=EF，
∴Rt△EHD≌Rt△EHF（HL），
∴∠DEH＝∠FEH，
∵∠DEF+∠AEF＝180°，
∴2∠DEH+2∠AEB＝180°，
∴∠DEH+∠AEB＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠DEH＝∠ABE，
∴△EDH∽△BAE，
∴EDAB=DHEA=12，
∴DH=14，CH=34，
∵CH∥AB，
∴CGGA=CHAB=34，
∴CG=37AC=327．

31．（2021•深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；
（2）求四边形ABCD的面积．

【解答】解：（1）如图所示，四边形A'B'C'D'即为所求；

（2）四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD=12×4×1+12×4×3＝8．