2023年广东省中考数学第一轮复习卷：8二次函数

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2023年广东省中考数学第一轮复习卷：8二次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2022•龙湖区校级三模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（2，0），对称轴是直线x＝﹣1，下列说法正确的是（　　）

A．abc＞0 B．b+2a＝0 C．9a﹣3b+c＜0 D．6a+c＝0
2．（2022•韶关模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于点C，点（m﹣5，n）与点（3﹣m，n）也在该抛物线上．下列结论：①点B的坐标为（1，0）；②方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根；③54a+c＜0；④当x＝﹣t2﹣2时，y≥c．正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022•台山市校级一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对称轴是直线l，则以下说法：①a﹣b+c＝0；②4a+b＝0；③abc＞0；④16a+5b+2c＞0，其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022•新兴县校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，m），（3，m）两点，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②抛物线在x＝1处取得最值；③无论m取何值，均满足3a+c＝m；④若（x0，y0）为该抛物线上的点，当x＜﹣1时，y0＜m一定成立．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022•珠海校级三模）把抛物线：y＝2（x﹣3）2+4向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线的函数解析式是（　　）
A．y＝2x2+5 B．y＝（x﹣1）2+5
C．y＝2（x﹣5）2+3 D．y＝2（x﹣1）2+5
6．（2022•新会区校级三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，对称轴x＝1，分析下列五个结论：①3a+c＞0；②若﹣1＜x＜2，则ax2+bx+c＞0；③（a+c）2＜b2④a+3b+9c＞0⑤a2m2+abm≤a（a+b）（m为实数）其中正确的结论有（　　）

A．①③④⑤ B．④⑤ C．①②③④ D．③④
7．（2022•云安区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③a+b＞am2+bm（m为任意实数）；④若点Q（m，n）是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大时，m＝1，n＝a+b+c，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022•湛江模拟）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+1的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
9．（2022•武江区校级一模）如图，为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b＝0；③a+b+c＞0；④b2﹣4ac＜0，其中正确有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022•广州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（　　）

A．a＜0
B．c＞0
C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小
D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
二．填空题（共8小题）
11．（2022•武江区校级一模）若直线y＝3x+m经过第一、三、四象限，则二次函数y＝（x﹣m）2+1的图象顶点必在第 　 　象限．
12．（2022•珠海校级三模）已知函数y=12(1≤x≤3)(x−5)2+8(x≥3)的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有交点，则k的取值范围是 　 　．

13．（2022•珠海校级三模）在坐标平面内，已知抛物线y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m一定经过一定点P，则P点的坐标是 　 　．
14．（2022•新兴县校级模拟）若抛物线M：y＝x2﹣（3m﹣3）x﹣3与抛物线M′：y＝x2+10x+2n+5关于y轴对称，则m+n＝　 　．
15．（2022•珠海校级三模）将抛物线y＝x2﹣2向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式为 　 　．
16．（2022•蓬江区一模）如图，平行于x轴的直线C分别交抛物线y1=x24(x≥0)与y2=x29(x≥0)于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于y1点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则BCDE=　 　．

17．（2022•香洲区校级三模）二次函数y＝ax2﹣3ax+c（a＜0，a，c均为常数）的图象经过A（﹣2，y1）、B（2，y2）、C（0，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　．
18．（2022•东莞市校级一模）如图，抛物线y＝﹣x2+x+6交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，点D是线段AC的中点，点P是线段AB上一个动点，△APD沿DP折叠得△A'PD，则线段A'B的最小值是 　 　．

三．解答题（共12小题）
19．（2022•台山市校级一模）如图，抛物线y＝ax2+x+6的图象与直线y＝kx+b有唯一交点A（﹣1，4）．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的交点分别为点M、N，抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PA+PM的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．
（3）直线y＝kx+b与x轴交于点B，点Q是x轴上一动点，请你写出使△QAB是等腰三角形的所有点Q的横坐标．

20．（2022•香洲区校级三模）直线y=−12x+1与x，y轴分别交于点A，B，抛物线的解析式为y＝2x2﹣4ax+2a2+a．
（1）求出点A，B的坐标，用a表示抛物线的对称轴；
（2）若函数y＝2x2﹣4ax+2a2+a在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）取a＝﹣1，将线段AB平移得到线段A'B'，若抛物线y＝2x2﹣4ax+2a2+a与线段A'B'有两个交点，求直线A'B'与y轴交点的纵坐标的取值范围．
21．（2022•龙湖区校级三模）如图，抛物线y=−12x2+bx+2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）若点A的坐标为（﹣1，0）．
①求抛物线的表达式；
②点P在第一象限的抛物线上运动，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为以PF为腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
（2）抛物线y=−12x2+bx+2的顶点在某个y关于x的函数图象上运动，请直接写出该函数的解析式．

22．（2022•香洲区校级三模）某商场销售北京冬奥会吉祥物冰墩墩，成本价为80元/个，经市场调查发现，在一段时间内，销售量y（个）与销售单价x（80≤x≤120）（元/个）之间满足一次函数关系，当销售单价为100元时，销售量为160个；当销售单价为110元时，销售量为140个．
（1）求销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；
（2）设冰墩墩在某段时间内平均每天的销售利润为w（元），求该商场平均每天获得的最大利润．
23．（2022•珠海校级三模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C、D，BC=32CD．
（1）求b，c的值；
（2）求直线BD的函数解析式．

24．（2022•云安区模拟）云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，郁南县某商场同时购进A，B两种类型的头盔，已知购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元．
（1）A，B两类头盔每个的进价各是多少元？
（2）在销售中，该商场发现A类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设A类头盔每个x元（50≤x≤100），y表示该商家每月销售A类头盔的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
25．（2022•天河区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标．

26．（2022•茂南区二模）如图，某养猪户想用29米长的围栏设计一个矩形的养猪圈，其中猪圈一边靠墙MN，另外三边用围栏围住，在BC边开个门（宽度为1米），MN的长度为15m．
（1）为了让围成的猪圈（矩形ABCD）面积达到112m2，请你帮忙计算一下猪圈的长与宽分别是多少？
（2）当猪圈的长与宽分别是多少时，猪圈的面积达到最大？

27．（2022•湛江模拟）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱．某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件80元销售，一个月能售出100件；销售单价每降1元，月销售量就增加5件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：
（1）设每件玩具的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件．直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该商店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该商店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定吉祥物玩具的销售单价？
28．（2022•广州）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在4m5≤x≤4m5+1的图象的最高点的坐标．
29．（2022•深圳）二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
y＝2x2
y＝2（x﹣3）2+6
（0，0）
（3，m）
（1，2）
（4，8）
（2，8）
（5，14）
（﹣1，2）
（2，8）
（﹣2，8）
（1，14）
（1）m的值为 　 　；
（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y=−12x2+5与y=12x2的交点坐标；
（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1　 　x2．（填不等号）

30．（2022•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．


2023年广东省中考数学第一轮复习卷：8二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022•龙湖区校级三模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（2，0），对称轴是直线x＝﹣1，下列说法正确的是（　　）

A．abc＞0 B．b+2a＝0 C．9a﹣3b+c＜0 D．6a+c＝0
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，选项A错误．
∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b＝2a，b＞0，
∴2a﹣b＝0，选项B错误．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过（2，0），
∴抛物线经过（﹣4，0），
∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，选项C正确．
∵∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
∵b＝2a，
∴8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∴6a+c＝6﹣8a＝﹣2a＜0
∴选项D错误．
故选：C．
2．（2022•韶关模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于点C，点（m﹣5，n）与点（3﹣m，n）也在该抛物线上．下列结论：①点B的坐标为（1，0）；②方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根；③54a+c＜0；④当x＝﹣t2﹣2时，y≥c．正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵点（m﹣5，n）与点（3﹣m，n）也在该抛物线上，
∴该抛物线的对称轴为：x=m−5+3−m2=−1，
∵A（﹣3，0），
∴B（1，0），
故①选项符合题意；
根据图象可知，抛物线y＝ax2+bx+c与y＝2有两个交点，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根，
故②选项符合题意；
将A，B点坐标代入抛物线解析式，得9a−3b+c=0a+b+c=0，
得b=2ac=−3a，
∴54a+c=54a﹣3a=−74a，
∵a＞0，
∴−74a＜0，
即54a+c＜0，
故③选项符合题意；
∵x＝﹣t2﹣2≤﹣2，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴当x＝﹣2时和x＝0时函数值相等，
当x＝0时，y＝c，
∴当x＝﹣2时，y＝c，
∴当x＝﹣t2﹣2时，y≥c，
故④选项符合题意；
故正确的有①②③④，
故选：D．
3．（2022•台山市校级一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对称轴是直线l，则以下说法：①a﹣b+c＝0；②4a+b＝0；③abc＞0；④16a+5b+2c＞0，其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：有图象知，抛物线过点（5，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴−b2a=2，
∴4a+b＝0，
故②正确；
由图象知，抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵4a+b＝0，
∴b＞0，
而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故③错误；
∵4a+b＝0，
∴b＝﹣4a，
∵a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴16a+5b+2c＝16a﹣20a﹣10a＝﹣14a＞0，
故④正确．
故选：C．
4．（2022•新兴县校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，m），（3，m）两点，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②抛物线在x＝1处取得最值；③无论m取何值，均满足3a+c＝m；④若（x0，y0）为该抛物线上的点，当x＜﹣1时，y0＜m一定成立．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：当m＝0时，抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∵m的值不确定，
∴b2﹣4ac＞0不一定成立，
故①错误；
∵抛物线过（﹣1，m），（3，m）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1+32=1，
∴当x＝1时，抛物线取得最值，
故②正确；
∵（﹣l，m），（3，m）两点均在抛物线上，
∴a−b+c=m9a+3b+c=m，
解得3a+c＝m，
故无论m取何值，均满足3a+c＝m，
故③正确；
当a＞0时，抛物线开口向上，
∴在直线x＝1的左侧，y随x的增大而减小，
∴当x0＜﹣1时，y0＞m；
当a＜0时，抛物线开口向下，
∴在直线x＝1的左侧，y随x的增大而增大，
当x0＜﹣1时，此时y0＜m，
故④错误．
故选B．
5．（2022•珠海校级三模）把抛物线：y＝2（x﹣3）2+4向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线的函数解析式是（　　）
A．y＝2x2+5 B．y＝（x﹣1）2+5
C．y＝2（x﹣5）2+3 D．y＝2（x﹣1）2+5
【解答】解：y＝2（x﹣3）2+4向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线的函数解析式是：y＝2（x﹣3+2）2+4+1．即y＝（x﹣1）2+5．
故选：B．
6．（2022•新会区校级三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，对称轴x＝1，分析下列五个结论：①3a+c＞0；②若﹣1＜x＜2，则ax2+bx+c＞0；③（a+c）2＜b2④a+3b+9c＞0⑤a2m2+abm≤a（a+b）（m为实数）其中正确的结论有（　　）

A．①③④⑤ B．④⑤ C．①②③④ D．③④
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∵x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴0＜x＜2，ax2+bx+c＞0，所以②错误；
∵x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0；x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，
∴（a+c）2﹣b2＜0，即（a+c）2＜b2所以③正确；
∵x=13时，y＞0，即19a+13b+c＞0，
∴a+3b+9c＞0，所以④正确；
∵x＝1时，y有最大值，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
而a＜0，
∴a2m2+abm≥a2+ab，所以⑥错误．
故选：D．
7．（2022•云安区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③a+b＞am2+bm（m为任意实数）；④若点Q（m，n）是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大时，m＝1，n＝a+b+c，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），
∴对称轴为直线x=−2+42=1，
∴−b2a=1，
∴2a＝﹣b，
∴2a+b＝0，故①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴x＝1，开口向下，
∴x＝1时，y有最大值，最大值＝a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
∴a+b≥am2+bm（m为任意实数），故③错误，不符合题意；
④∵C（0，c），
设直线BC的解析式为y＝kx+t，
∴t=c4k+t=0，
解得t=ck=−c4，
∴y=−c4x+c，
将点A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax+c，
∴c＝﹣8a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣8a，
过点Q作QN∥y轴交BC于点P，
∵Q（m，n），
∴P（m，2am﹣8a），
∴PQ＝n﹣2am+8a，
∴S△QBC=12×4×（n﹣2am+8a）＝2（n﹣2am+8a），
∵n＝am2﹣2am﹣8a，
∴S△QBC＝2（am2﹣4am）＝2a（m﹣2）2﹣8a，
∴当m＝2时，△QBC的面积最大，
故④不正确，不符合题意；
故选：A．

8．（2022•湛江模拟）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+1的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+1
＝1+1
＝2，
故选：D．
9．（2022•武江区校级一模）如图，为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b＝0；③a+b+c＞0；④b2﹣4ac＜0，其中正确有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，①错误；
抛物线的对称轴是直线x=−1+32=1，即−b2a=1，
∴2a+b＝0，②正确；
当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，④错误，
故选：B．
10．（2022•广州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（　　）

A．a＜0
B．c＞0
C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小
D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
【解答】解：∵图象开口向上，
∴a＞0，故A不正确；
∵图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0，故B不正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
故C正确，D不正确；
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．（2022•武江区校级一模）若直线y＝3x+m经过第一、三、四象限，则二次函数y＝（x﹣m）2+1的图象顶点必在第 　二　象限．
【解答】解：∵直线y＝3x+m经过第一、三、四象限，
∴m＜0，
∵二次函数y＝（x﹣m）2+1的图象顶点坐标为（m，1），
∴二次函数y＝（x﹣m）2+1的图象顶点在第二象限，
故答案为：二．
12．（2022•珠海校级三模）已知函数y=12(1≤x≤3)(x−5)2+8(x≥3)的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有交点，则k的取值范围是 　2≤k≤15　．

【解答】解：当直线经过点（1，12）时，12＝k﹣3，
解得k＝15；
当直线与抛物线只有一个交点时，（x﹣5）2+8＝kx﹣3，
整理，得x2﹣（10+k）x+36＝0，
∴10+k＝±12，
解得k＝2或k＝﹣22（舍去），
∴k的最大值是15，最小值是2，
∴k的取值范围为：2≤k≤15．
故答案为：2≤k≤15．
13．（2022•珠海校级三模）在坐标平面内，已知抛物线y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m一定经过一定点P，则P点的坐标是 　（﹣1，0）　．
【解答】解：y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m，
∵无论m取何值，该抛物线总经过一定点，
∴x＝﹣1，y＝0，
∴定点为（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）．
14．（2022•新兴县校级模拟）若抛物线M：y＝x2﹣（3m﹣3）x﹣3与抛物线M′：y＝x2+10x+2n+5关于y轴对称，则m+n＝　13　．
【解答】解：∵抛物线M：y＝x2﹣（3m﹣3）x﹣3与抛物线M′：y＝x2+10x+2n+5关于y轴对称，
∴y＝（﹣x）2﹣（3m﹣3）（﹣x）﹣3＝x2+10x+2n+5，
∴x2+（3m﹣3）x﹣3＝x2+10x+2n+5，
∴3m﹣3＝10，2n+5＝﹣3，
∴m=133，n＝﹣4，
∴m+n=133−4=13．
故答案为：13．
15．（2022•珠海校级三模）将抛物线y＝x2﹣2向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式为 　y＝（x+2）2﹣2　．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣2向左平移2个单位长度后得到的抛物线的解析式为：y＝（x+2）2﹣2．
故答案为：y＝（x+2）2﹣2．
16．（2022•蓬江区一模）如图，平行于x轴的直线C分别交抛物线y1=x24(x≥0)与y2=x29(x≥0)于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于y1点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则BCDE=　23　．

【解答】解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则14x2＝a，解得x＝2a，
∴点B（2a，a），
∴x29=a，
则x＝3a，
∴点C（3a，a），
∴BC=a．
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为3a，
∴y1=14×（3a）2=94a，
∴点D的坐标为（3a，94a）．
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为94a，
∴x29=94a，
∴x=92a，
∴点E的坐标为（92a，94a），
∴DE=32a，
∴BCDE=a32a=23．
故答案是：23．

17．（2022•香洲区校级三模）二次函数y＝ax2﹣3ax+c（a＜0，a，c均为常数）的图象经过A（﹣2，y1）、B（2，y2）、C（0，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 　y1＜y3＜y2　．
【解答】解：∵y＝ax2﹣3ax+c（a＜0，a，c均为常数），
∴图象的开口向下，对称轴是直线x=−−3a2a=32，
∴B（2，y2）关于直线x=32的对称点是（1，y2），
∵﹣2＜0＜1＜32，
∴y1＜y3＜y2，
故答案为：y1＜y3＜y2．
18．（2022•东莞市校级一模）如图，抛物线y＝﹣x2+x+6交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，点D是线段AC的中点，点P是线段AB上一个动点，△APD沿DP折叠得△A'PD，则线段A'B的最小值是 　5−10　．

【解答】解：令y＝0，则＝﹣x2+x+6＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0），
∴OA＝2，OB＝3，
令x＝0，则y＝6，
∴C（6，0），
∴OC＝6，
∴AC=22+62=210，
∵D为AC中点，
∴DA＝DC=10，
∵△A'PD由△APD沿DP折叠所得，
∴DA＝DA′，
∴A′在以D为圆心，PA为半径的圆弧上运动，
∴当D，A′，B在同一直线上时，BA′最小，

过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∴AE＝OE＝1，DE＝3，
∴BE＝4，
∴BD=32+42=5，
又∵DA＝DA′=10，
∴BA′＝5−10，
故答案为：5−10．
三．解答题（共12小题）
19．（2022•台山市校级一模）如图，抛物线y＝ax2+x+6的图象与直线y＝kx+b有唯一交点A（﹣1，4）．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的交点分别为点M、N，抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PA+PM的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．
（3）直线y＝kx+b与x轴交于点B，点Q是x轴上一动点，请你写出使△QAB是等腰三角形的所有点Q的横坐标．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，4）代入y＝ax2+x+6，
∴a﹣1+6＝4，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+6，
将点A（﹣1，4）代入y＝kx+b，
∴b﹣k＝4，
∴y＝kx+4+k，
当kx+4+k＝﹣x2+x+6有两个相等实数根时，Δ＝（k﹣1）2﹣4（k﹣2）＝0，
解得k＝3，
∴直线解析式为y＝3x+7；
（2）存在点P，使PA+PM的值最小，理由如下：
当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，
解得x＝3或x＝﹣2，
∴M（﹣2，0），N（3，0），
∵y＝﹣x2+x+6＝﹣（x−12）2+254，
∴抛物线的对称轴为直线x=12，
∵M、N点关于对称轴x=12对称，
∴PM＝PN，
∴PA+PM＝PA+PN≥AN，
∴当A、P、N三点共线时，PA+PM有最小值，
∵AN＝42，
∴PA+PM的最小值为42；
（3）当y＝0时，x=−73，
∴B（−73，0），
设Q（x，0），
∴AB=4103，QA=(x+1)2+16，QB＝|x+73|，
当AB＝AQ时，4103=(x+1)2+16，
解得x=13或x=−73（舍）；
当AB＝BQ时，4103=|x+73|，
解得x=4103−73或x=−4103−73；
当AQ＝BQ时，(x+1)2+16=|x+73|，
解得x=133；
综上所述：Q点横坐标为13或4103−73或−4103−73或133．
20．（2022•香洲区校级三模）直线y=−12x+1与x，y轴分别交于点A，B，抛物线的解析式为y＝2x2﹣4ax+2a2+a．
（1）求出点A，B的坐标，用a表示抛物线的对称轴；
（2）若函数y＝2x2﹣4ax+2a2+a在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）取a＝﹣1，将线段AB平移得到线段A'B'，若抛物线y＝2x2﹣4ax+2a2+a与线段A'B'有两个交点，求直线A'B'与y轴交点的纵坐标的取值范围．
【解答】解：（1）在y=−12x+1中，令x＝0，得y＝1，
∴B（0，1），
令y＝0，得−12x+1＝0，
解得：x＝2，
∴A（2，0），
∵y＝2x2﹣4ax+2a2+a＝2（x﹣a）2+a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝a；
（2）函数y＝2x2﹣4ax+2a2+a在3≤x≤4时有最大值为a+2，
当a≤72时，32﹣16a+2a2+a＝a+2，
解得：a＝3或a＝5（不符合题意，舍去）；
当a＞72时，18﹣12a+2a2+a＝a+2，
解得：a＝4或a＝2（不符合题意，舍去）；
综上所述，a的值为3或4；
（3）当a＝﹣1时，y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1，
∵直线AB的解析式为y=−12x+1，
∴设直线A′B′的解析式为y=−12x+b，
与抛物线解析式联立，得：2x2+4x+1=−12x+b，
整理得：4x2+9x+2﹣2b＝0，
当直线y=−12x+b与抛物线只有一个公共点时，Δ＝81﹣16（2﹣2b）＝0，
解得：b=−4932，
当线段A′B′的两个端点恰好落在抛物线上时，|x1﹣x2|＝2，即（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，
∵x1+x2=−94，x1x2=1−b2，
∴8116−2（1﹣b）＝4，
解得：b=1532，
∴直线A'B'与y轴交点的纵坐标的取值范围为−4932＜b≤1532．
21．（2022•龙湖区校级三模）如图，抛物线y=−12x2+bx+2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）若点A的坐标为（﹣1，0）．
①求抛物线的表达式；
②点P在第一象限的抛物线上运动，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为以PF为腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
（2）抛物线y=−12x2+bx+2的顶点在某个y关于x的函数图象上运动，请直接写出该函数的解析式．

【解答】解：（1）①将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=−12−b+2，
解得：b=32，
即抛物线的表达式为：y=−12x2+32x+2；

②由B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=−12x+2，
设PH与x轴的交点为Q，P（m，−12m2+32m+2），则H（a，−12m+2），
∴PH=−12m2+32m+2）﹣（−12m+2）=−12m2+2m．
若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ＝∠BCO，

∴tan∠APQ＝tan∠BCO＝2，
∴AQ＝2PQ，
即a+1＝2（−12），
解得a＝3或﹣1（舍去），
此时P（3，2），H（3，12）．
∴点F的纵坐标为12（12+2）=54，
∴−12x+2=54，
解得：x=32，
∴点F的坐标为（32，54）；
若PF＝PH，过点F作FM⊥y轴于点M，
∴∠PFH＝∠PHF，
∵∠CFA＝∠PFH，∠QHB＝∠PHF，
∴∠CFA＝∠QHB，
又∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴AB2＝（4+1）2＝25，
AC2＝22+12＝5，
BC2＝22+42＝20，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACF＝∠BQH＝90°，
∴△ACF∽△BQH，
∴CF=12AC=52，
∵FM⊥y轴，
∴FM∥x轴，
∴△CMF∽△COB，
∴MFOB=CFBC，
∴MF4=5225，
∴MF＝1，
∴CM=12，
∴F（1，32）；
综上所述，点F的坐标为（32，54）或（1，32）；

（2）抛物线的对称轴为x＝b，
当x＝b时，y=−12b2+b2+2=12b2+2，
即顶点在y=−12x2+2上运动，
即函数的表达式为：y=−12x2+2．

22．（2022•香洲区校级三模）某商场销售北京冬奥会吉祥物冰墩墩，成本价为80元/个，经市场调查发现，在一段时间内，销售量y（个）与销售单价x（80≤x≤120）（元/个）之间满足一次函数关系，当销售单价为100元时，销售量为160个；当销售单价为110元时，销售量为140个．
（1）求销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；
（2）设冰墩墩在某段时间内平均每天的销售利润为w（元），求该商场平均每天获得的最大利润．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，
由题意得，100k+b=160110k+b=140，
解得：k=−2b=360，
∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣2x+360；
（2）设每天的销售利润为W元，
由题意得，W＝（x﹣80）（﹣2x+360）＝﹣2（x﹣130）2+5000，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＜130时，W随x的增大而增大，
∵80≤x≤120，
∴当x＝120时，W有最大值，最大利润是﹣2×（120﹣130）2+5000＝4800，
答：该礼盒每个售价定为120元时，每天的销售利润最大，最大利润是4800元．
23．（2022•珠海校级三模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C、D，BC=32CD．
（1）求b，c的值；
（2）求直线BD的函数解析式．

【解答】解：（1）∵BO＝3AO＝3，
∴点B（3，0），点A（﹣1，0），
∴抛物线解析式为y＝（x﹣3）（x+1）＝x2﹣2x﹣3，
∴b＝﹣2，c＝﹣3；
（2）如图，过点D作DE⊥AB于E，

∴CO∥DE，
∴BOOE=BCCD，
∵BC=32CD，BO＝3，
∴OE＝2，
∴点D横坐标为﹣2，
∴点D坐标为（﹣2，5），
设直线BD的函数解析式为：y＝kx+m，
由题意可得：3k+b=0−2k+b=5，
解得：k=−1b=3，
∴直线BD的函数解析式为y＝﹣x+3．
24．（2022•云安区模拟）云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，郁南县某商场同时购进A，B两种类型的头盔，已知购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元．
（1）A，B两类头盔每个的进价各是多少元？
（2）在销售中，该商场发现A类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设A类头盔每个x元（50≤x≤100），y表示该商家每月销售A类头盔的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【解答】解：（1）设A类头盔每个的进价是a元，B类头盔每个的进价是b元，
根据题意得：3a+4b=2886a+2b=306，
解得a=36b=45，
答：A类头盔每个的进价是36元，B类头盔每个的进价是45元；
（2）根据题意得：y＝（x﹣36）（100−x−505×10）＝﹣2x2+272x﹣7200＝﹣2（x﹣68）2+2048，
∵﹣2＜0，50≤x≤100，
∴当x＝68时，y有最大值，最大值为2048，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+272x﹣7200，最大利润为2048元．
25．（2022•天河区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标．

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1．
∵点C（0，3）在抛物线上，
∴3＝a（0﹣2）2﹣1．
解得a＝1．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．
（2）如图，作PD垂直于x轴交BC于点D．
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3），
∴点B的坐标为（3，0），则OB＝3．
∵点C（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
设P（x，x2﹣4x+3），D（x，﹣x+3）（0＜x＜3），
∴PD＝﹣x2+3x，
∴S△PBC=12×PD×OB．S△PBC=12(−x2+3x)×3，
整理得S△PBC=−32(x−32)2+278(0＜x＜3)．
∵−32＜0，
∴当x=32时，S△PBC有最大值，则P点坐标为(32，−34)．

26．（2022•茂南区二模）如图，某养猪户想用29米长的围栏设计一个矩形的养猪圈，其中猪圈一边靠墙MN，另外三边用围栏围住，在BC边开个门（宽度为1米），MN的长度为15m．
（1）为了让围成的猪圈（矩形ABCD）面积达到112m2，请你帮忙计算一下猪圈的长与宽分别是多少？
（2）当猪圈的长与宽分别是多少时，猪圈的面积达到最大？

【解答】解：（1）设猪圈的宽x 则长为（30﹣2x ）m，其x＞152，
∴矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝（30﹣2x）x＝112，
解x＝7（不合题意，舍去），x＝8，
∴30﹣2x＝30﹣2×8＝14，
∴猪圈的长为14m，宽为8m．
（2）由（1）可S矩形ABCD＝（30﹣2x）x
＝﹣2x2+30x
＝﹣2（x−152）2+2252，
﹣2＜0，
∴x=152时，矩形的面积最大，
∴30﹣2x＝30﹣2×152=15，
∴猪圈的长为15m，宽152m时，猪圈的面积最大，最大值2252m2．
27．（2022•湛江模拟）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱．某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件80元销售，一个月能售出100件；销售单价每降1元，月销售量就增加5件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：
（1）设每件玩具的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件．直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该商店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该商店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定吉祥物玩具的销售单价？
【解答】解：（1）由题意得：y＝100+5（80﹣x）＝100+400﹣5x＝﹣5x+500，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500；
（2）由题意得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5x2+700x﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500，
∵﹣5＜0，
∴当x＝70时，w有最大值，最大值为4500，
此时80﹣70＝10（元），
答：当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元；
（3）根据题意得：﹣5（x﹣70）2+4500﹣200＝4220，
整理得：（x﹣70）2＝16，
解得x1＝74，x2＝66，
为了让消费者得到最大的实惠，
∴x＝66，
答：吉祥物玩具的销售单价为66元．
28．（2022•广州）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在4m5≤x≤4m5+1的图象的最高点的坐标．
【解答】解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入y＝kx+b，
∴b=7k+b=6，
解得k=−1b=7，
∴y＝﹣x+7；
（2）①∵点P（m，n）在直线l上，
∴n＝﹣m+7，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，
∵抛物线经过点（0，﹣3），
∴am2+7﹣m＝﹣3，
∴a=m−10m2，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴a=m−10m2＜0，
∴m＜10且m≠0；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝m，
∴Q点与Q'关于x＝m对称，
∴Q点的横坐标为m+12，
联立方程组y=−x+7y=a(x−m)2+7−m，
整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，
∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，
∴m+m+12=2m−1a，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，
∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，
解得m＝2或m=−52，
当m＝2时，y＝﹣2（x﹣2）2+5，
此时抛物线的对称轴为直线x＝2，
图象在85≤x≤135上的最高点坐标为（2，5）；
当m=−52时，y＝﹣2（x+52）2+192，
此时抛物线的对称轴为直线x=−52，
图象在﹣2≤x≤﹣1上的最高点坐标为（﹣2，9）；
综上所述：G在4m5≤x≤4m5+1的图象的最高点的坐标为（﹣2，9）或（2，5）．
29．（2022•深圳）二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
y＝2x2
y＝2（x﹣3）2+6
（0，0）
（3，m）
（1，2）
（4，8）
（2，8）
（5，14）
（﹣1，2）
（2，8）
（﹣2，8）
（1，14）
（1）m的值为 　6　；
（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y=−12x2+5与y=12x2的交点坐标；
（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1　＜或＞　x2．（填不等号）

【解答】解：（1）将（0，0）先向上平移6个单位，再向右平移3个单位后对应点的坐标为（3，6），
∴m＝6，
故答案为：6；
（2）平移后的函数图象如图：

联立方程组y=−12x2+5y=12x2，
解得x1=5y1=52，x2=−5y2=52
∴y=−12x2+5与y=12x2的交点坐标为（5，52），（−5，52）；
（3）∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，
当P，Q两点同在对称轴左侧时，若y1＞y2，则x1＜x2，
当P，Q两点同在对称轴右侧时，若y1＞y2，则x1＞x2，
故答案为：＜或＞．
30．（2022•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．

【解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，
∴B（﹣3，0），
∴1+b+c=09−3b+c=0，
解得b=2c=−3，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；

（2）过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，

设P（m，0），则PA＝1﹣m，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∴CF＝4，
∵PQ∥BC，
∴△PQA∽△BCA，
∴QECF=APAB，即QE4=1−m4，
∴QE＝1﹣m，
∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA
=12PA•CF−12PA•QE
=12（1﹣m）×4−12（1﹣m）（1﹣m）
=−12（m+1）2+2，
∵﹣3≤m≤1，
∴当m＝﹣1时 S△CPQ有最大值2，
∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．