2023年广东省中考数学第一轮复习卷：14图形的相似

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2023年广东省中考数学第一轮复习卷：14图形的相似
一．选择题（共13小题）
1．（2022•珠海校级三模）如图，D、E都是△ABC边上的点，且DE∥AC，AE交DC于F，若S△ACF＝36S△DEF，则S△BDE：S△CDE的值是（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
2．（2022•韶关模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，延长AD至点E使得AE＝AB，连接BE交CD于点F，连结并延长AF，交CE于点G．下列结论：①△BAD≌△EBC；②BD＝AF；③BD⊥AG；④若AD＝2DE，则FGCG=12．其中，正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022•海珠区二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，点G在CD边上∠GAE＝∠BAE，AG交BF于点H，连接EH、EG，CH．下列结论：①△AHE≌△BCF；②GE∥BF；③sin∠ABF=255；④14S△GCH＝S△ABH．其中正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2022•中山市三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去，则边AC2022的长为（　　）

A．5×(52)2022 B．2×(52)2021
C．5×22022 D．5×(52)2021
5．（2022•紫金县二模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为（﹣1，3），C点坐标为（﹣2，6），CD=3，则AB的长为（　　）

A．32 B．1+3 C．1 D．45
6．（2022•深圳三模）如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且GCBG=12，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE＝3，则DF的长为（　　）

A．22 B．453 C．92 D．352
7．（2022•盐田区二模）如图，MN是正方形ABCD的对称轴，沿折痕DF，DE折叠，使顶点A，C落在MN上的点G．给出4个结论：①∠BFE＝30°；②△FGM∽△DEG；③tan∠FDC＝2+2；④3S△DCE＝（2+3）S△DAF．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
8．（2022•南山区模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝30，∠BCD＝120°，点E在CD上，且DE＝10，BE交AC于点F，连接DF．现给出以下结论：
①△ABF≌△ADF；
②AF：CF＝3：2；
③S△DEF＝303；
④sin∠AFD=55719
正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
9．（2022•福田区二模）如图，在▱ABCD中，E为AB延长线上一点，F为AD上一点，∠DEF＝∠C．若DE＝4，AF=73，则BC的长是（　　）

A．163 B．92 C．6 D．214
10．（2022•南海区二模）如图，正方形ABCD中，点E是边CD上的动点（不与点C、D重合），以CE为边向右作正方形CEFG，连接AF，点H是AF的中点，连接DH、CH．下列结论：
①△ADH≌△CDH；
②AF平分∠DFE；
③若BC＝4，CG＝3，则AF＝52；
④若CGBC=12，则S△EFIS△DFI=12．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2022•禅城区二模）如图，在▱ABCD中，AE：DE＝2：3，若AE的长为4，△AEF的面积为8，则下列结论：①BC＝10；②AC•BF＝BE•CF；③四边形CDEF的面积为62；④AD与BC之间的距离为14．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
12．（2022•惠州一模）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：
①OG=12AB；
②由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
③S四边形ODGF＝S△ABF；
④S△ACD＝4S△BOG．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
13．（2022•盐田区一模）如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，F在CD上，CF＝2DF，连接AE，AF与对角线BD交于点M，N，连接MF，EN．给出结论：①∠EAF＝45°；②AN⊥EN；③tan∠AMN＝3；④DN：MN：BM=2：5：3．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题（共10小题）
14．（2022•新兴县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E，F分别是AB，CD上的点，EF⊥AC，垂足为点O，连接EC，AF，则EC+AF的最小值为 　 　．

15．（2022•新兴县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，则AB+AC的最大值为 　 　．

16．（2022•惠阳区校级三模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝1.5S△FGH；④AG+DF＝FG；其中正确的是 　 　．（填写正确结论的序号）

17．（2022•茂南区二模）若线段AB＝2，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，则线段BC的长为 　 　．（保留根号）
18．（2022•龙岗区校级模拟）如图，l1，l2分别是反比例函数y=kx和y=−2x在第二象限内的图象，点A在l1上，线段OA交l2于点B，作AC⊥x轴于点C，交l2于点D，连接OD并延长交l1于点E，作EF⊥x轴于点F，若BDAE=23，则k的值是 　 　．

19．（2022•乳源县三模）已知△ABC与△DEF是位似图形且△ABC与△DEF的周长比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为 　 　．
20．（2022•荔湾区校级二模）在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′，若点A的坐标为（2，3），则A′的坐标为 　 　．
21．（2022•中山市三模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为6cm，实像CD的高度为3cm，则小孔O到BC的距离OE为 　 　．

22．（2022•深圳三模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE⊥CD于F，交BC于E，连接BF，若∠BFE＝45°，则CEBE的值为 　 　．

23．（2022•深圳三模）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下四个结论：
①∠CBG＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③2BG2＝BH•HD；④若AB＝4，连接CG，则△ECG的面积最大值为1．你认为其中正确结论的序号是 　 　．（填写序号）

三．解答题（共7小题）
24．（2021•深圳）在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，∠AFE＝90°，连接CE，H为CE中点，连接BH、BF、HF，发现BFBH和∠HBF为定值．
（1）①BFBH=　 　；
②∠HBF＝　 　；
③小明为了证明①②，连接AC交BD于O，连接OH，证明了OHAF和BABO的关系，请你按他的思路证明①②．
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，BDAD=EAFA=k，∠BDA＝∠EAF＝θ（0°＜θ＜90°）．
求①FDHD=　 　；（用k的代数式表示）
②FHHD=　 　．（用k、θ的代数式表示）

25．（2022•珠海校级三模）如图，以△ABC的边AC上一点O作⊙O经过点B、C，交AC于点D．连接BD，作OG∥BD交⊙O于点G，交BC于点E，连接DG交BC于点F．
（1）当∠ABD＝∠C时，求证：AB为⊙O的切线；
（2）若GB＝4，GD＝8，求FD的长；
（3）若sin∠GDB=14，求tan∠BGD的值．

26．（2022•龙湖区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，且AE＝AF．
（1）求证：BD平分∠ABC．
（2）若AF＝3，BF＝5，求BE的长．

27．（2022•天河区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AB＝8．
（1）利用尺规作AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：△ADE∽△ACB，并计算DE的长度．

28．（2022•香洲区校级一模）（1）在网格内画出△OBC以点O为位似中心，且相似比为2的△OB1O1；
（2）如果S△OBC=52，则S△OB1O1=　 　．

29．（2022•蓬江区一模）如图，AB为⊙O的直径，CB⊥AB于点B，连接OC，弦AD∥OC，连接CD，连接BD交OC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）请连接AE并延长交BC于点F，若AB＝10，cos∠ABD=255，求FB的长．

30．（2022•禅城区校级模拟）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则DECF的值为 　 　；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则CEBD的值为 　 　．
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD．
【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝9，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF，求DECF的值．

2023年广东省中考数学第一轮复习卷：14图形的相似
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．（2022•珠海校级三模）如图，D、E都是△ABC边上的点，且DE∥AC，AE交DC于F，若S△ACF＝36S△DEF，则S△BDE：S△CDE的值是（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【解答】解：∵S△ACF＝36S△DEF，
∴S△DEFS△ACF=136，
∵DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴DEAC=16，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴BEBC=DEAC=16，
∴BECE=15，
∵△BDE的边BE和△CDE的边CE上的高相同，
∴S△BDE：S△CDE＝1：5，
故选：C．
2．（2022•韶关模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，延长AD至点E使得AE＝AB，连接BE交CD于点F，连结并延长AF，交CE于点G．下列结论：①△BAD≌△EBC；②BD＝AF；③BD⊥AG；④若AD＝2DE，则FGCG=12．其中，正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD＝∠BCF＝60°，BC＝AD，
∵AE＝AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE，∠BEA＝∠ABE＝60°，
∵BC∥AE，
∴∠CBE＝∠BEA＝60°＝∠BAD，
在△BAD和△EBC中，
AB=BE∠CBE=∠BADAD=BC，
∴△BAD≌△EBC（SAS），故①正确；
∴BD＝CE，
∵∠BCF＝∠CBF＝60°，
∴CF＝BF，
∴△BCF是等边三角形，
∴BC＝BF＝CF，
又∵∠CBE＝∠ABE＝60°，BA＝BE，
∴△ABF≌△EBC（SAS），
∴CE＝AF，
∴AF＝BD，故②正确；
∵△BAD≌△EBC，△ABF≌△EBC，
∴∠ABD＝∠BEC，∠BAF＝∠BEC，
∴∠BAF＝∠ABD，
∵∠BAF与∠ABD不一定为45°，
∴BD与AG不一定垂直，故③不正确；
∵CD∥AB，
∴∠ABD＝∠BDC＝∠BEC＝∠BAF，
∴点E，点E，点C，点B四点共圆，∠DAF＝∠DBF，
∴∠DBF＝∠DCE＝∠DAF，
又∵∠AFD＝∠CFG，
∴△AFD∽△CFG，
∴FGCG=FDAD，
∵BC＝BF＝CF＝AD，AB＝AE＝BE，
∴DE＝DF，
∵AD＝2DE，
∴AD＝2DF，
∴FGCG=12，故④正确；
故选：C．
3．（2022•海珠区二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，点G在CD边上∠GAE＝∠BAE，AG交BF于点H，连接EH、EG，CH．下列结论：①△AHE≌△BCF；②GE∥BF；③sin∠ABF=255；④14S△GCH＝S△ABH．其中正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：如图，设BF与AE的交点为O，

设AB＝4a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴CF＝DF＝2a＝CE＝BE，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，BF＝AE，∠AEB＝∠BFC，
∵∠ABF+∠CBF＝90°＝∠ABF+∠BAE，
∴∠AOB＝90°＝∠AOH，
又∵∠BAE＝∠GAE，AO＝AO，
∴△AOH≌△AOB（ASA），
∴AH＝AB，BE＝EH，∠ABE＝∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠BCF＝90°，AH＝AB＝BC，∠GAE＝∠BAE＝∠BCF，
∴△AHE≌△BCF（AAS），故①正确；
∵AH＝AB，
∴∠AHB＝∠ABH，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CFB，
∴∠CFB＝∠AHB＝∠CHF，
∴FG＝GH，
∵HE＝BE＝CE，
∴∠BHC＝90°，
∴∠GHC＝∠GCH，
∴CG＝GH，
∴FG＝GC＝GH＝a，
又∵CE＝BE，
∴GE∥BF，故②正确；
∵BF=BC2+CF2=16a2+4a2=25a，
∴sin∠ABF＝sin∠BFC=BCBF=4a25a=255，故③正确；
∵∠CHF＝∠BCF＝90°，∠CFH＝∠CFB，
∴△CFH∽△BFC，
∴CFBF=CHBC=FHCF，
∴2a25a=CH4a=FH2a，
∴CH=455a，FH=255a，
∴BH=855a，
∵sin∠ABF=AOAB=255，
∴AO=855a，
∵FG＝GC，
∴S△GCH=12S△FCH=12×12×455a×255a=25a2，
∵S△ABH=12×AO×BH=12×855a×855a=325a2，
∴16S△GCH＝S△ABH＝，故④错误，
故选：B．
4．（2022•中山市三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去，则边AC2022的长为（　　）

A．5×(52)2022 B．2×(52)2021
C．5×22022 D．5×(52)2021
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥DC，
∴AC=AB2+BC2=1+4=5，
∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形ACC1B1，
∴矩形ACC1B1的边长和矩形ABCD的相似比为5：2，
∴矩形ACC1B1的对角线和矩形ABCD的对角线的比5：2，
∵矩形ABCD的对角线为5，
∴矩形AB1C1C的对角线AC1=5×52=52，
依此类推，矩形AB2C2C1的对角线和矩形AB1C1C的对角线的比为5：2，
∴矩形AB2C2C1的对角线AC2=5×(52)2，
∴矩形AB3C3C2的对角线AC3=5×（52）3
按此规律第n个矩形的对角线A∁n=5×（52）n，
∴AC2022的长为5×（52）2022，
故选：A．
5．（2022•紫金县二模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为（﹣1，3），C点坐标为（﹣2，6），CD=3，则AB的长为（　　）

A．32 B．1+3 C．1 D．45
【解答】解：由题意可知：线段AB与线段CD是位似图形，
∵A点坐标为（﹣1，3），C点坐标为（﹣2，6），
∴线段AB与线段CD的位似比为1：2，
∵CD=3，
∴AB=32，
故选：A．
6．（2022•深圳三模）如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且GCBG=12，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE＝3，则DF的长为（　　）

A．22 B．453 C．92 D．352
【解答】解：过点E作EH⊥AD，交DA延长线于H，
∴∠H＝90°，

在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，∠H＝∠BCD，
∵DE⊥DG，
∴∠EDG＝90°，
∴∠2+∠1＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△DEH∽△DGC，
∴EHGC=DHDC，
∵GCBG=12，
∴设GC＝x，则BG＝2x，DC＝BC＝3x，
∴EHGC=DH3x，
∴DH＝3EH，
∵AC是正方形ABCD对角线，
∴∠DAC＝45°，
∵∠EAH＝∠DAC＝45°，
∴∠HEA＝45°，
∴EH＝HA，
∴EH2+HA2＝9，
∴EH＝HA=322，
∴DH=922，
∴AD＝32，
∴GC=2，
∴DG=CD2+CG2=25，
∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴CGAD=GFDF=13，
∴DF＝3GF，
∴DF=352；
故选：D．
7．（2022•盐田区二模）如图，MN是正方形ABCD的对称轴，沿折痕DF，DE折叠，使顶点A，C落在MN上的点G．给出4个结论：①∠BFE＝30°；②△FGM∽△DEG；③tan∠FDC＝2+2；④3S△DCE＝（2+3）S△DAF．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【解答】解：设∠ADF＝α，∠CDE＝β，根据折叠的性质得，∠FDG＝α，∠GDE＝α，
∵四边形ABCD是正方形，则∠ADC＝2α+2β＝90°，
∴α+β＝45°，
设正方形的边长为4α，则AD＝DG＝DC＝4α，
∵MN是正方形ABCD的对称轴，
∴DN＝2α，
∴sin∠DGN=DNDG=12，
∴∠DGN＝30°，
∵∠FGD＝∠A＝90°，
∴∠FGM＝60°，
∴∠BFE＝30°，故①正确；
∴∠AFD＝∠GFD=12（180°﹣∠BFE）＝75°，
∴α＝15°，β＝30°，
∵∠MFG＝∠BFE＝30°＝β＝∠GDE，∠B＝∠DGE＝∠C＝90°，
∴△FGM∽△DEG；故②正确；
设FG＝AF＝x，则FM＝2α﹣x，
在△GFM中，cos∠MFG=FMMG=cos30°=32，
∴2a−xx=32，
解得：x＝4（2−3）α，
即AF＝4（2−3）α，
∵∠FDC＝α+2β＝75°＝∠AFD，
tan∠FDC＝tan∠AFD=ADAF=4a4(2−3)a=2+3≠2+2，故③不正确；
∵∠EDC﹣30°，
∴EC＝DC•tan30°＝4α•33=433α，
∴3S△DCE=3×12×4α×433α＝8α2，
∵AF＝4（2−3）α，AD＝4α，
∴（2+3）S△DAF＝（2+3）×12×AD×AF＝（2+3）×12×4α×4（2−3）α＝8α2，
∴3S△DCE＝（2+3）S△DAF，故④正确，
故①②④正确，
故选：D．
8．（2022•南山区模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝30，∠BCD＝120°，点E在CD上，且DE＝10，BE交AC于点F，连接DF．现给出以下结论：
①△ABF≌△ADF；
②AF：CF＝3：2；
③S△DEF＝303；
④sin∠AFD=55719
正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠BAF＝∠DAF，
∵AF＝AF，
∴△BAF≌△DAF（SAS），故①正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴CE∥AB，
∴△ABF∽△CEF，
∴AFCF=ABCE=3020=32，故②正确；
∵∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴S△ABC=34×AB2=2253，
∴S△BCF=25S△ABC=25×2253=903，
同理可得，△BCF≌△DCF（SAS），
∴S△BCF＝S△DCF，
∵DE＝10，
∴S△DEF=13S△CDF=13×903=303，故③正确；
连接BD交AC于O，

∵AF：CF＝3：2，
设CF＝2x，则AF＝3x，
∴OC=52x，OF=12x，
∵∠ODC＝30°，
∴DO=532x，
∵∠DOC＝90°，
∴DF=OF2+OD2=(12x)2+(53x2)2=19x，
∴sin∠AFD=ODDF=53x219x=55738，故④错误．
故选：A．
9．（2022•福田区二模）如图，在▱ABCD中，E为AB延长线上一点，F为AD上一点，∠DEF＝∠C．若DE＝4，AF=73，则BC的长是（　　）

A．163 B．92 C．6 D．214
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
∵∠DEF＝∠C，
∴∠DEF＝∠A，
∵∠EDF＝∠ADE，
∴△DFE∽△DEA，
∴DEDF=ADDE，
∵DE＝4，AF=73，
∴DF＝AD﹣AF＝AD−73，
∴4AD−73=AD4，
∴42＝（AD一73）•AD，
∴AD=163或AD＝﹣3（舍去），
∴BC的长是163，
故选：A．
10．（2022•南海区二模）如图，正方形ABCD中，点E是边CD上的动点（不与点C、D重合），以CE为边向右作正方形CEFG，连接AF，点H是AF的中点，连接DH、CH．下列结论：
①△ADH≌△CDH；
②AF平分∠DFE；
③若BC＝4，CG＝3，则AF＝52；
④若CGBC=12，则S△EFIS△DFI=12．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：连接AC，CF，如图，

∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，∠DCF＝∠FCG＝45°．
∴∠ACF＝∠ACD+∠FCD＝90°．
∵H是AF的中点，
∴CH=12AF＝AH＝HF．
在△ADH和△CDH中，
AD=CDDH=DHAH=CH，
∴△ADH≌△CDH（SSS）．
∴①的结论正确；
∵AD∥EF，
∴∠DAF＝∠EFA，
若AF平分∠DFE，则必须∠EFA＝∠DFA，即需要∠DAF＝∠DFA，
∵点E是边CD上的动点（不与点C、D重合），
∴DA与FD不一定相等，
∴∠DAF＝∠DFA不一定成立，
∴AF平分∠DFE不一定成立，
∴②的结论不正确；
延长FE交AB于点K，如图，

则GE＝BC＝4，EF＝CG＝3，AB＝BC＝4，GB＝EC＝FG＝3，
∴FG＝EG+EF＝7，AG＝AB﹣BG＝4﹣3＝1，
∴AF=AG2+FG2=50=5 2．
∴③的结论正确；
∵AD∥EF，
∴△ADI∽△FEI．
∴DIEI=ADEF
∵EFAD=CGBC=12，
∴EIDI=12．
∴S△EFIS△DFI=EIDI=12．
∴④的结论正确．
综上所述，①③④的结论正确，
故选：C．
11．（2022•禅城区二模）如图，在▱ABCD中，AE：DE＝2：3，若AE的长为4，△AEF的面积为8，则下列结论：①BC＝10；②AC•BF＝BE•CF；③四边形CDEF的面积为62；④AD与BC之间的距离为14．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AEDE=23，且AE＝4，
∴DE=3AE2=3×42=6，
∴BC＝AD＝AE+DE＝4+6＝10，
故①正确；
∵AE∥CB，
∴△AEF∽△CBF，
∴BFEF=CFAF，
∴BFEF+1=CFAF+1
即：BFBE=CFAC
∴AC•BF＝BE•CF，
故②正确；
∵EFBF=AEBC=410=25，
∴EFBE=27，
∵S△AEFS△ABE=27，且S△AEF＝8，
∴S△ABE=7S△AEF2=7×82=28，
设AD与BC的距离为h，则S△ABE=12×4h＝28，
∴h＝14，
故④正确；
∵S△ACD=12×10×14＝70，S△AEF＝8，
∴S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝70﹣8＝62，
故③正确，
综上所述，①②③④正确，
故选：D．
12．（2022•惠州一模）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：
①OG=12AB；
②由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
③S四边形ODGF＝S△ABF；
④S△ACD＝4S△BOG．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
∠AGB=∠DGE∠BAG=∠EDGAB=DE，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG=12AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴平行四边形ABDE是菱形，故②正确；
∵OA＝OC，AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG∥CD∥AB，OG=12CD，
∴S△ACD＝4S△AOG，
∵S△AOG＝S△BOG，
∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
连接FD，如图：

∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，
∴F到△ABD三边的距离相等，
∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，
∴S四边形ODGF＝S△ABF，故③正确；
正确的是①②③④，
故选：D．
13．（2022•盐田区一模）如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，F在CD上，CF＝2DF，连接AE，AF与对角线BD交于点M，N，连接MF，EN．给出结论：①∠EAF＝45°；②AN⊥EN；③tan∠AMN＝3；④DN：MN：BM=2：5：3．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【解答】解：①将△ADF绕点A顺时针旋转90得△ABG，连接EF，如图，

则G、B、E、C在同一直线上，AG＝AF，∠ABG＝∠ADF＝90°，
设正方形ABCD的边长为a，则EG＝BE+BG＝BE+DF=12a+13a=56a，
∵EF=EC2+CF2=(12a)2+(23a)2=56a，
∴EG＝EF，
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SSS），
∴∠EAG＝∠EAF，
∵∠GAF＝90°，
∴∠EAF＝45°，
故①正确；
②∵∠EAF＝∠DBC＝45°，
∴A、B、E、N四点共圆，
∴∠ANE+∠ABE＝180°，
∵∠ABE＝90°，
∴∠ANE＝90°，
故②正确；
③连接AC与BD交于点O，则OA＝OB＝OD=12BD，AC⊥BD，

∵BC∥AD，
∴△MBE∽△MDA，
∴BMDM=BEAD=12，
∴BM=13BD，
∴OM＝OB﹣BM=12BD−13BD=16BD，
∴tan∠AMN=OAOM=12BD16BD=3，
故③正确；
④∵CD∥AB，
∴△DNF∽△BNA，
∴DNBN=DFAB=13，
∴DN=14BD，
∵BM=13BD，
∴MN＝BD﹣BM﹣DN=512BD，
∴DN：MN：BM＝3：5：4，
故④错误；
故选：A．
二．填空题（共10小题）
14．（2022•新兴县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E，F分别是AB，CD上的点，EF⊥AC，垂足为点O，连接EC，AF，则EC+AF的最小值为 　10　．

【解答】解：分别以EF、EC为边作平行四边形ECHF，连接AH，过点F作FG∥BC交AB于点G，

∵AB＝8，BC＝4，
∴AC=AB2+BC2=82+42=45，
∵∠1＝∠2，
∵∠1+∠BAC＝90°，∠2+∠GFE＝90°，
∴∠BAC＝∠GFE，
∵∠ABC＝∠FGE＝90°，
∴△FGE∽△ABC，
∴FGFE=ABAC，
即4FE=845，
解得：EF＝CH＝25，
∵四边形ECHF是平行四边形，
∴EF∥CH，
∵AC⊥EF，
∴∠ACH＝90°，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：AH=(45)2+(25)2=10≤AF+FH＝AF+EC，
∴EC+FA的最小值为10．
15．（2022•新兴县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，则AB+AC的最大值为 　62　．

【解答】解：延长BA到D，使AD＝AC，连接DC，作△BDC的外接圆⊙O，
∴AB+AC＝DB，
∵∠BAC＝90°，
∴∠D＝45°，
∴当BD是⊙O直径时，BD取得最大值，
即AB+AC取得最大值，
当BD是⊙O直径，∠D＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=2BC＝62，
∴AB+AC的最大值为：62．
故答案为：62．

16．（2022•惠阳区校级三模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝1.5S△FGH；④AG+DF＝FG；其中正确的是 　①③④　．（填写正确结论的序号）

【解答】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，点G在AF上，
将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，
∴∠EBG＝∠EBF+∠FBG=12∠CBF+12∠ABF=12∠ABC＝45°，所以①正确；
在Rt△ABF中，AF=BF2−AB2=102−62=8，
∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，
设AG＝x，则GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，
在Rt△GFH中，
∵GH2+HF2＝GF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴GF＝5，
∴AG+DF＝FG＝5，所以④正确；
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠EFD+∠AFB＝90°，
而∠AFB+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠EFD，
∴△ABF∽△DFE，
∴ABDF=AFDE，
∴DEDF=AFAB=86=43，
而 ABAG=63=2，
∴ABAG≠DEDF，
∴△DEF与△ABG不相似；所以②错误．
∵S△ABG=12×6×3＝9，S△GHF=12×3×4＝6，
∴S△ABG=32S△FGH．所以③正确．
故答案为：①③④．
17．（2022•茂南区二模）若线段AB＝2，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，则线段BC的长为 　5−1　．（保留根号）
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，AB＝2，
∴BC=5−12AB=5−12×2=5−1，
故答案为：5−1．
18．（2022•龙岗区校级模拟）如图，l1，l2分别是反比例函数y=kx和y=−2x在第二象限内的图象，点A在l1上，线段OA交l2于点B，作AC⊥x轴于点C，交l2于点D，连接OD并延长交l1于点E，作EF⊥x轴于点F，若BDAE=23，则k的值是 　−92　．

【解答】解：作BG⊥x轴于点G，

∵点B，D在反比例函数y=−2x上，
∴S△AOC＝S△BOG=|−2|2=1，
∵点A，E在反比例函数y=kx上，
∴S△AOC＝S△EOF=|k|2=−k2，
∵BG∥AC，CD∥EF，
∴△BOG∽△AOC，△COD∽△FOE，
∴OBOA=S△BOGS△AOC=−2k，ODOE=S△DOCS△EOF=−2k，
∴OBOA=ODOE，
∴△BOD∽△AOE，∠BDO＝∠AEO，
∴BD∥AE，
∴BDAE=OBOA=−2k，
∵BDAE=23，
∴−2k=23，
∴k=−92，
故答案为：−92．
19．（2022•乳源县三模）已知△ABC与△DEF是位似图形且△ABC与△DEF的周长比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为 　1：16　．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形且△ABC与△DEF的周长比为1：4，
∴△ABC与△DEF相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的面积比为：1：16．
故答案为：1：16．
20．（2022•荔湾区校级二模）在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′，若点A的坐标为（2，3），则A′的坐标为 　（4，6）或（﹣4，﹣6）　．
【解答】解：以原点为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′，点A的坐标为（2，3），
则A′的坐标为（2×2，3×2）或[2×（﹣2），3×（﹣2）]，即（4，6）或（﹣4，﹣6），
故答案为：（4，6）或（﹣4，﹣6）．
21．（2022•中山市三模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为6cm，实像CD的高度为3cm，则小孔O到BC的距离OE为 　2cm　．

【解答】解：∵OE∥AB，
∴△COE∽△CAB，
∴CECB=OEAB①，
∵OE∥CD，
∴△BOE∽△BDC，
∴BEBC=OECD②，
①+②得CEBC+BEBC=OEAB+OECD，
∴OEAB+OECD=1，
∴1OE=1AB+1CD，
即1OE=16+13，
∴OE＝2cm．
故答案为：2cm．
22．（2022•深圳三模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE⊥CD于F，交BC于E，连接BF，若∠BFE＝45°，则CEBE的值为 　5−12　．

【解答】解：过点B作BG⊥AE交AE的延长线于点G，
∵AE⊥CD，∠BFE＝45°，
∴△BFG为等腰直角三角形，
设BG＝FG＝a，
∵AG⊥DF，AG⊥BG，D为AB边上的中点，
∴DF为△AGB的中位线，
∴DF=12a，AG＝2a，
∴AB=5a，
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴CD=52a，
∴CF=5−12a，
∵CF∥GB，
∴△CFE∽△BGE，
∴CEBE=CFBG=5−12，
故答案为：5−12．

23．（2022•深圳三模）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下四个结论：
①∠CBG＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③2BG2＝BH•HD；④若AB＝4，连接CG，则△ECG的面积最大值为1．你认为其中正确结论的序号是 　①②④　．（填写序号）

【解答】解：①∵四边形ABCD和四边形FBGE都是正方形，
∴∠DBC＝∠EBG＝45°，
∴∠DBC﹣∠EBC＝∠EBG﹣∠EBC，
∴∠DBE＝∠CBG，
∴①符合题意；
②∵四边形ABCD和四边形FBGE都是正方形，
∴△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，
∴ABBD=BFBE=22，∠ABD＝∠FBE＝45°，
∴∠ABF＝∠DBE，
∴△ABF∽△DBE，
∴②符合题意；
③∵∠BEH＝∠EDB＝45°，∠EBH＝∠DBE，
∴△BEH∽△BDEBE，
∴BEBD=BHBE，
∴BE2＝BD•BH，
∵△BEG是等腰直角三角形，
∴BE2＝2BG2，
∴2BG2＝BD•BH，
∴③不符合题意；
④如图，过点G作GI⊥DC交DC的延长线于点I，

设EC＝x，则DE＝4﹣x，
同②可证：△BCG∽△BDE，
∴CGDE=BCBD22，∠BCG＝∠BDE＝45°，
∴CG=22DE=22（4﹣x），△CGI是等腰直角三角形，
∴GI=22CG=22×22（4﹣x）=12（4﹣x），
∴△ECG的面积=12EC•GI
=12x•12（4﹣x）
=−14（x﹣2）2+1，
∵−14＜0，
∴△ECG的面积有最大值，最大值为1，
∴④符合题意；
故答案为：①②④．
三．解答题（共7小题）
24．（2021•深圳）在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，∠AFE＝90°，连接CE，H为CE中点，连接BH、BF、HF，发现BFBH和∠HBF为定值．
（1）①BFBH=　2　；
②∠HBF＝　45°　；
③小明为了证明①②，连接AC交BD于O，连接OH，证明了OHAF和BABO的关系，请你按他的思路证明①②．
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，BDAD=EAFA=k，∠BDA＝∠EAF＝θ（0°＜θ＜90°）．
求①FDHD=　2k　；（用k的代数式表示）
②FHHD=　k2−4kcosθ+4k　．（用k、θ的代数式表示）

【解答】解：①2；②45°；
③由正方形的性质得：ABBO=2，O为AC的中点，
又∵H为CE的中点，
∴OH∥AE，OH=12AE，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=2AF，
∴AFOH=2=ABBO，
∵OH∥AE，
∴∠COH＝∠CAE，
∴∠BOH＝∠BAF，
∴△BOH∽△BAF，
∴BFBH=2，∠HBO=∠FBA，
∴∠HBF＝∠HBO+∠DBF＝∠DBA＝45°；
（2）①如图2，连接AC交BD于点O，连接OH，

由（1）中③问同理可证：△DOH∽△DAF，
∴FDHD=ADDO=2k，
②由①知：△DOH∽△DAF，
∴∠HDO＝∠FDA，
∴∠HDF＝∠BDA＝θ，
在△HDF中，FDHD=2k，
设DF＝2t，HD＝kt，
作HM⊥DF于M，
∴HM＝DH×sinθ＝ktsinθ，DM＝ktcosθ，
∴MF＝DF﹣DM＝（2﹣kcosθ）t，
在Rt△HMF中，由勾股定理得：
HF=tk2−4kcosθ+4，
∴FHDH=k2−4kcosθ+4k．
25．（2022•珠海校级三模）如图，以△ABC的边AC上一点O作⊙O经过点B、C，交AC于点D．连接BD，作OG∥BD交⊙O于点G，交BC于点E，连接DG交BC于点F．
（1）当∠ABD＝∠C时，求证：AB为⊙O的切线；
（2）若GB＝4，GD＝8，求FD的长；
（3）若sin∠GDB=14，求tan∠BGD的值．

【解答】解：（1）证明：如图1，连接OB，则OB＝OC，

∴∠OBC＝∠C，
∵∠ABD＝∠C，
∴∠ABD＝∠OBC，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
即∠OBC+∠OBD＝90°，
∴∠ABO＝∠ABD+∠OBD＝∠OBC+∠OBD＝90°，
∴OB⊥AB，
∵OB是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
（2）证明：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，即CB⊥BD
∵OG∥BD，
∴OG⊥BC，
∴CG=BG，
∴∠GDB＝∠GBF，
又∵∠DGB＝∠BGF，
∴△GBD∽△GFB；
∴GBGF=GDGB，
∴GB2＝GF•GD，
∴42＝8GF，
∴GF＝2，
∴FD＝8﹣2＝6．
（3）连接CG，如图2所示：

∵∠GDB＝∠GCB，OG⊥BC，
∴sin∠GDB＝sin∠GCB=14，BE＝CE，
设GE＝x，OG＝OC＝r，则OE＝r﹣x，CG＝4x，
在Rt△CGE中，CE=CG2−GE2=15x，
∴BC＝2CE＝215x，
在Rt△OCE中，OE2+CE2＝OC2，
即（r﹣x）2+（15x）2＝r2，
解得：r＝8x，
∴CD＝2r＝16x，
在Rt△DBC中，BD2+BC2＝CD2，
∴BD2+（215x）2＝（16x）2，
∴BD=194x或BD=−194x（舍去），
∴tan∠BGD＝tan∠BCD=BDBC=194x215x=291030．
26．（2022•龙湖区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，且AE＝AF．
（1）求证：BD平分∠ABC．
（2）若AF＝3，BF＝5，求BE的长．

【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°＝∠ACB，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠BAF＝90°，
∵AE＝AF，
∴∠F＝∠AEF＝∠BEC，
∵∠F+∠ABF＝∠CEB+∠CBE＝90°，
∴∠ABF＝∠CBE，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：∵∠F+∠DAF＝∠F+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DAF，
又∵∠F＝∠F，
∴△ADF∽△BAF，
∴AFBF=DFAF，
∴35=DF3，
∴DF=95，
∵AE＝AF，AD⊥EF，
∴DE＝DF=95，
∴BE＝5−95−95=75．
27．（2022•天河区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AB＝8．
（1）利用尺规作AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：△ADE∽△ACB，并计算DE的长度．

【解答】（1）解：线段AC的垂直平分线DE，如图所示：

（2）证明∵∠B＝90°，BC＝4，AB＝8，
∴AC=AB2+BC2=45，
∵DE垂直平分线段AC，
∴∠AED＝∠B＝90°，AE＝CE=AC2=25，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴DEBC=AEAB，
∴DE4=258，
∴DE=5．
28．（2022•香洲区校级一模）（1）在网格内画出△OBC以点O为位似中心，且相似比为2的△OB1O1；
（2）如果S△OBC=52，则S△OB1O1=　10　．

【解答】解：（1）如图，△OB1C1为所作；

（2）∵△OB1C1∽△OBC以点O为位似中心，相似比为2，
∴S△OB1C1=4S△OBC＝4×52=10．
故答案为：10．
29．（2022•蓬江区一模）如图，AB为⊙O的直径，CB⊥AB于点B，连接OC，弦AD∥OC，连接CD，连接BD交OC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）请连接AE并延长交BC于点F，若AB＝10，cos∠ABD=255，求FB的长．

【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AD∥OC，
∴△BOE∽△BAD，
∴∠OEB＝∠ADB＝∠OED＝90°，即OC⊥BD，
∵OD＝OB，
∴∠ODE＝∠OBE，
∴∠DOE＝∠BOE，
在△COD和△COB中，
DO=BO∠DOC=∠BOCOC=OC，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠ODC＝∠OBC，
∵CB⊥AB，
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
即CD是⊙O的切线；

（2）解：如图，过点E作EH⊥AB，交AB于点H，
由（1）可知，∠BEO＝90°，
∵cos∠ABD=255，AB＝10，
∴BO＝5，BEBO=255，
∴BE=25，
在Rt△BEO中，
BO＝5，BE=25，
∴OE=BO2−BE2=25−20=5，
S△BEO=12OE⋅BE=12BO⋅EH，
∴5×25=5×EH，
∴EH＝2，
∴OH=OE2−EH2=5−4=1，
∴AH＝AO+OH＝5+1＝6，
∵EH⊥AB，CB⊥AB，
∴EH∥CB，
∴△AEH∽△AFB，
∴EHFB=AHAB，
∴FB=EH×ABAH=2×106=103．

30．（2022•禅城区校级模拟）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则DECF的值为 　1　；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则CEBD的值为 　47　．
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD．
【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝9，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF，求DECF的值．
【解答】（1）解：如图1，设DE与CF交于点G，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED和△DFC中，
∠A=∠CDF∠AED=∠DFCAD=CD，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴DE＝CF，
即DECF=1，
故答案为：1；
（2）解：如图2，设DB与CE交于点G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵∠CDE＝∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴CEBD=CDAD=47，
故答案为：47；
（3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，

∵CG⊥EG，
∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，
∵∠A＝∠H＝90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴DECF=ADCH，
∴DECF=ADAB，
∴DE•AB＝CF•AD；
（4）解：如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，

∵CF⊥DE，GC⊥AD，
∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°，
∴∠FCG＝∠ADE，
∵∠BAD＝∠CGF＝90°，
∴△DEA∽△CFG，
∴DECF=ADCG，
在Rt△ADB中，tan∠ADB=ABAD=39=13，
∴tan∠ADH=13，
即AHDH=13，
设AH＝a，则DH＝3a，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴a2+（3a）2＝92，
∴a=91010（负值已舍去），
∴AH=91010，DH=271010，
∴AC＝2AH=9105，
∵S△ADC=12AC•DH=12AD•CG，
∴12×9105×271010=12×9×CG，
∴CG=275，
∴DECF=ADCG=9275=53．