江苏省南京师范大学第二附属高级中学、大桥高级中学2022-2023学年高二下学期5月联考调研数学试卷（含答案）

江苏省南京师范大学第二附属高级中学、大桥高级中学2022-2023学年高二下学期5月联考调研数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、设随机变量X服从两点分布，若，则(   )

A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7

2、若向量，且与夹角的余弦值为，则等于(   )

A. B. C.或 D.2

3、二项式的展开式中的系数为(   )

A.-21 B.21 C.36 D.-36

4、在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是(   )

A. B.

C.  D.

5、有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有(   )

A.12种 B.24种 C.36种 D.48种

6、已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为(   )

A. B. C. D.

7、某市2016年至2020年新能源汽车年销量y（单位：百台）与年份代号x的数据如下表，若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则表中m的值为(   )

A.22 B.20 C.30 D.32.5

8、已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点，且平面ABCD，M,N分别为PC,PD上的点，，,则(   )

A. B. C.1 D.

二、多项选择题

9、下列利用方向向量，法向量判断线，面位置关系的结论中，正确的是(   )

A.两条不重合直线，的方向向量分别是，，则

B.直线l的方向向量，平面的法向量是，则

C.两个不同的平面，的法向量分别是，，则

D.直线l的方向向量，平面的法向量是，则

10、下列统计量中，能度量样本,,,的离散程度的是(   )

A.样本,,,的标准差 B.样本,,,的中位数

C.样本,,,的极差 D.样本,,,的平均数

11、已知，则(   )

A. B.

C. D.

12、在棱长为1的正方体中，O为正方形的中心，则下列结论正确的是(   )

A.  B.平面

C.点B到平面的距离为 D.直线BO与直线的夹角为

三、填空题

13、设，且，若能被13整除，则__________．

14、从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率____________．

15、长方体的底面是边长为1的正方形，若在侧棱上至少存在一点E，使得，则侧棱的长的最小值为__________.

四、双空题

16、若，则___________，___________.

五、解答题

17、已知空间中的三点，，，设，.

（1）若与互相垂直，求k的值；

（2）求点N到直线PM的距离.

18、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P．

（1）若投篮1次得分记为，求方差的最大值；

（2）当（1）中取最大值时，求运动员甲投5次篮得分为4分的概率．

19、佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：

（1）请利用所给数据求不戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程；

（2）并估算该路口2022年不戴头盔的人数．

参考公式：,．

20、若的展开式中只有第10项的二项式系数最大.

（1）求展开式中系数最大项；

（2）设，求．

21、如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段.（列出过程，用数字作答）

（1）由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？

（2）由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？

（3）求出图中总计有多少个矩形？

22、如下图，在三棱锥中，O,E分别是BD,BC的中点，，.

（1）求证：平面BCD；

（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

（3）求点E到平面ACD的距离.

参考答案

1、答案：D

解析：由题意得，

因为，

所以解得，

所以，

故选：D

2、答案：A

解析：因为，

所以，，

又与夹角的余弦值为，，

所以，解得，

注意到，即，所以

故选：A.

3、答案：A

解析：二项式的通项公式为：.

所以令，解得，所以展开式中的系数为.

故选：A.

4、答案：A

解析：因为在平行六面体中，，

所以.

故选：A.

5、答案：B

解析：因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，

故选：B

6、答案：A

解析：，,为等腰直角三角形，，

则外接圆的半径为，又球的半径为1，

设O到平面ABC的距离为d，

则，

所以.

故选：A.

7、答案：B

解析：由题意，得，

，

因为y关于x的回归直线方程为，

所以，解得.

故选：B.

8、答案：B

解析：因为，

所以

，

故，,故.

故选：B

9、答案：AC

解析：对于A，两条不重合直线，的方向向量分别是，，且，所以，选项A正确；对于B，直线l的方向向量，平面的法向量是，且，所以或，判断选项B错误；对于C，两个不同的平面，的法向量分别是，，且，所以，选项C正确；对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是，且，所以，选项D错误.故选：AC.

10、答案：AC

解析：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；

由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；

由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；

由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；

故选：AC.

11、答案：ACD

解析：因为，

所以令，可得，

令，可得，

所以选项A正确，选项B错误；

因为，

所以展开式的通项公式为，

所以，，

所以选项C、D正确.

故选：ACD.

12、答案：ABC

解析：对于A，如图，连接,则,交于点O,

正方体中，,平面,平面,

故,而,,,平面,

故平面,故平面，而平面,

故，即，故A正确；

对于B，连接BD,交AC于E,连接,则,

故四边形是平行四边形，故,平面,BO不在平面,

故平面，故B正确；

对于C，设点B到平面距离为d,因为,

故 ，解得，故C正确；

对于D,连接,则,即为直线BO与直线的夹角或其补角，

在中，,,

所以 ,则,故D错误，

故选：ABC

13、答案：12

解析：因为

，

即被13整除的余数为1，而，且，若能被13整除，

则，故，

故答案：12

14、答案：

解析：从5名同学中随机选3名的方法数为

甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率

故答案为：

15、答案：2

解析：设,,,

,,

又因为，所以

即化简得，

即关于x的方程,有解，

当时，不符合题意，

当时，所以，

当且仅当，即时取得等号，

所以侧棱的长的最小值为2，

故答案为:2.

16、答案：①0 ②13

解析：因为，令，则；

因为展开式的通项为，展开式的通项为，

所以；

故答案为：0；-13

17、答案：(1)或

（2）

解析：（1）因为，，，

所以,

，，

因为，

所以，

整理得，

解得或，

所以k的值为或.

(2)设直线PM的单位方向向量为，

则

由于，

所以，

所以点N到直线PM的距离

18、答案：（1）；

（2）.

解析：（1）依题意，的分布列为

当时，取最大值，且最大值为.

（2）由（1）可知，投5次蓝得分为，则

那么

则运动员甲投5次篮得分为4分概率为．

19、答案：（1）

（2）625

解析：（1）由表中数据知，，，

，

所以，

所以，

故所求回归直线方程为，

（2）令，则人，

则预计该路口2022年不戴头盔的人数为625人．

20、答案：（1），；

（2）.

解析：（1）的展开式中只有第10项的二项式系数最大，

展开式有19项，.

设第项的系数最大,则，

所以r为偶数,且最大,即或10.

即展开式中系数最大的项为第9项和第11项的系数最大

所以，.

（2）令,则，

令,则

两式相加得:

.

21、答案：（1）20

（2）111

（3）102

解析：（1）由题意得A沿着图中的线段到达点E的最近路线需要移动6次,向右移动3次,向上移动3次,所以 A沿着图中的线段到达点E的最近路线有条.

（2）设点G、H、P的位置如图所示：

则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为4种情况：

①沿着A→E→C，共有条最近路线；

②沿着A→G→C，共有条最近路线；

③沿着A→H→C，共有条最近路线；

④沿着A→P→C，共有条最近路线；

故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有条；

（3）由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：

①矩形的边不在CD上，共有个矩形；

②矩形的一条边在CD上，共有个矩形；故图中共有个矩形.

22、答案：（1）证明见解析；

（2）；

（3）.

解析：（1）连接OC.

，O是BD的中点，

，且.

又，O是BD的中点，

，且.

在中，，所以，即.

又，平面BCD，平面BCD，平面BCD.

（2）取AC的中点M，连接OM,ME,OE.

由E是BC的中点，知，所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成角.

在中，，.

OM是直角三角形AOC斜边上的中线，.

在中，由余弦定理可得：

，

所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.

（3）设点E到平面ACD的距离为h.

,.

在中，，

.

,

.

即点E到平面ACD的距离为.