江苏省南菁高级中学2023-2024学年高二上学期9月调研考试数学试卷

江苏省南菁高级中学2023-2024学年第一学期9月调研

高二年级  数学学科试题卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.数列，，，，，…的一个通项公式为（    ）

A． B． C． D．

2.若数列满足，且，则                    （    ）

A. B. C. D.

3．已知数列满足，则的通项公式为（    ）

A． B．        C．           D．

4.已知数列的首项为，且数列满足，数列的前项的和为，则

等于 （    ）

A. B. C. D.

5.若数列的前项和为，则等于 （     ）

A. B. C. D.

6.已知等比数列的各项均为正数，公比，，则 （    ）

A. B. C. D.

7.等比数列的前项和为，，，则等于 （    ）

A. B. C. D.

8.已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是（    ）

A．  B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知是等差数列，其前n项和为，若，则下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

10.设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（     ）

A. B.

C.时，的最小值为14 D.数列中最小项为第项

11.已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ）

A．为等比数列 B．的通项公式为

C．为递增数列 D．的前项和

12．对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（    ）

A．若数列为等比数列， 成等差，则也成等差

B．若数列为等比数列，则 

C．若数列为等差数列，且，则

D．若数列为等差数列，且，则中任意三项均不能构成等比数列

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.已知数列满足，数列满足，且，则________.

14.在等比数列中，若，，则________.

15.将数列按“第组有个数”的规则分组如下：，，，…，则第组中的第一个数是________.

16.数列满足，其前n项和为,若，则正整数m的值为       .

四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （10分）已知等差数列，为其前n项和，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

18．（12分）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)设，求的前项和.

19.（12分） 已知数列的前项和为，，,.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，求证：.

20.（12分）已知数列的前n项和为，=1， =3，且，若对任意都成立，求

（1）数列的通项公式；

（2）求实数的最小值．

21.（12分）设公差不为0的等差数列的首项为，且，，构成等比数列.

（1）求数列的通项公式，并求数列的前项和为；

（2）令，若对恒成立，求实数的取值范围.

22．（12分）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.

(1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由；

(2)若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值；

(3)已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：.

江苏省南菁高级中学2023-2024学年第一学期9月调研 答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.数列，，，，，…的一个通项公式为（    ）

A． B． C． D．

答案：A

2.若数列满足，且，则                    （    ）

A. B. C. D.

答案：A

3．已知数列满足，则的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

答案：C

4.已知数列的首项为，且数列满足，数列的前项的和为，则

等于 （    ）

A. B. C. D.

答案：C

5.若数列的前项和为，则等于 （    ）

A. B. C. D.

答案：C

6.已知等比数列的各项均为正数，公比，，则 （    ）

A. B. C. D.

答案：D

7.等比数列的前项和为，，，则等于 （    ）

A. B. C. D.

答案：C

8．已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

答案：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知是等差数列，其前n项和为，若，则下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

答案：AC

10.设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（        ）

A. B.

C.时，的最小值为14 D.数列中最小项为第项

答案：ABD

11.已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ）

A．为等比数列 B．的通项公式为

C．为递增数列 D．的前项和

答案：AD

12．对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（    ）

A．若数列为等比数列， 成等差，则也成等差

B．若数列为等比数列，则 

C．若数列为等差数列，且，则

D．若数列为等差数列，且，则中任意三项均不能构成等比数列

答案：ACD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.已知数列满足，数列满足，且，则________

答案：

14.在等比数列中，若，，则________.

答案：或

15.将数列按“第组有个数”的规则分组如下：，，，…，则第组中的第一个数是________.

答案：

16.数列满足，其前n项和为,若，则正整数m的值为       .

答案：251

四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （10分）已知等差数列，为其前n项和，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2) ,其前n项和为

18．记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)设，求的前项和.

【答案】(1)；(2)

【解析】（1）由是公差为的等差数列，且，则，

即，当时，，两式相减可得：，整理可得，

故，将代入上式，，

故的通项公式为.

（2）由，则.

19.已知数列的前项和为，，,.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，求证：.

【解析】证明：（1）因为，

所以当时，，

两式相减，得到，

整理得，

又因为，所以，

所以数列是公差为的等差数列.

当时，，解得或，

因为，所以，

由（1）可知，即公差，

所以；

（2），

所以.

20.已知数列的前n项和为，=1， =3，且，若对任意都成立，求

（1）数列，的通项公式；

（2）求实数的最小值．

【解析】（1）数列的前项和为，=1， =3，且，

所以：，故：，

因为，所以

所以：， ，

则：，故：。

（2）由（1）得所以：=，

所以：，

因为对任意都成立，所以

设则

当时，当时，

因此，即，故的最小值为．

21.设公差不为的等差数列的首项为，且，，构成等比数列.

（1）求数列的通项公式，并求数列的前项和为；

（2）令，若对恒成立，求实数的取值范围.

【解析】（1）设等差数列的公差为，首项，由题意，

则,解得.

则.

，

，

-得.

（2）,   

当为奇数时，，

.

， ，

，.

当为偶数时，，

.

， ，，

.

综上所述，.

22．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.

(1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由；

(2)若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值；

(3)已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：.

【详解】（1）因为，则，，

又，故，数列是“速增数列”.

（2），

当时，，

即，，

当时，，当时，，

故正整数k的最大值为.

（3），故，即；

，故，

即，

同理可得：，，，

故，

故，，得证.