广东省深圳市高级中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（含答案）

深圳高级中学（集团）2022—2023学年第二学期期末测试

初二数学

注意事项：

1．答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上．

2．全卷共6页，考试时间100分钟，满分100分．

3．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．

4．考试结束，监考人员将答题卡收回．

第一部分  选择题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题有四个选项，其中只有一个是正确的）

1．的倒数是（    ）

A． B． C． D．2023

2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．世界围棋冠军柯洁于2017年5月与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战，截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3．CharGPT是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够通过理解和学习人类的语言来进行对话．初代GPT语言模型的参数是1.17亿个，而最新模型GPT4的真实参数超过1750亿，1750亿用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

4．下列计算中，①；②；③；④正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的0～100km/h的加速时间和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据，已知0～100km/h的加速时间的中位数是m（s），满电续航里程的中位数是n（km），相应的直线将平面分成了①、②、③、④四个区域（直线不属于任何区域）．欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在（    ）

A．区域①、② B．区域①、③ C．区域①、④ D．区域③、④

7．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线交于，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点．若，则的度数为（    ）

A．100° B．106° C．110° D．120°

8．如图，平行四边形中，，，对角线，交于点，将平行四边形绕点顺时针旋转90°，旋转后点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，已知中，的垂直平分线交于，的垂直平分线交于，点，为垂足，若，，，则的长为（    ）

A． B． C． D．

10，如图，菱形中，，，点是上一点，将菱形沿着折叠，使点落在点处，与交于点，点是的中点，，则的长为（    ）

A． B． C． D．

第二部分  非选择题

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11．因式分解：______．

12．已知关于的方程，如果从1、2、3、4、5、6六个数中任取一个数作为方程的常数项，那么所得方程有实数根的概率是______．

13．如图，经过点的直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为______．

14．关于的方程无解，则______．

15．如图，在矩形中，，，点在上，点在上，、分别从、同时出发，以相同的速度向点运动，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共8题，共55分）

16．（本题5分）计算：．

17．（本题6分）先化简：，再从中选取合适的整数代入求值．

18．（本题6分）解方程与不等式组：

（1）

（2）

19．（本题6分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．

过程为：；

这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：

（1）分解因式：；

（2）三边，，满足，判断的形状．

20．（本题7分）某商场计划销售，两种型号的商品，经调查，用1500元采购型商品的件数是用600元采购型商品的件数的2倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多30元．

（1）求一件，型商品的进价分别为多少元？

（2）若该商场购进，型商品共100件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，已知型商品的售价为200元／件，型商品的售价为180元／件，且全部能售出，求该商品能获得的利润至少是多少？21．（本题7分）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形．

（2）若，，求的长．

22．（本题8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，直线：是河岸，河在右侧，左侧的是一个河鲜冷藏仓库，是超市．

（1）现计划在河岸上建立一座河鲜加工厂，加工厂从仓库进货加工，再运输至超市，请在图中找出加工厂的位置，使进出货物的运输路径最短．（仅限在所给网格内作图，不需要说明作图理由）

（2）若河的两岸互相平行，河宽为．

①在图中画出表示对面河岸的直线，并直接写出的解析式．

②上有一点，纵坐标为6，右侧有一点，线段是支流（宽度不计），支流有丰富多样的河鲜可以打捞．为支持河鲜产业发展，政府计划垂直于河的两岸造桥，渔民在支流处打捞河鲜后装上货车，运输河鲜到对岸的河鲜冷藏仓库．请求出上的造桥位置的坐标，以及支流上的打捞河鲜位置的坐标，使运输路径最短．

23．（本题10分）

【探索发现】

“旋转”是一种重要的图形变换，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决几何问题的常用方法．如图1，在正方形中，点在上，点在上，．

某同学进行如下探索：

第一步：将绕点顺时针旋转90°，得到，且、、三点共线；

第二步：证明≌；

第三步：得到和的大小关系，以及、、之间的数量关系．

请完成第二步的证明，并写出第三步的结论．

【问题解决】

如图2，在正方形中，点在上，且不与、重合，将绕点顺时针旋转，旋转角度小于90°，得到，当、、三点共线时，这三点所在直线与交于点，要求使用无刻度的直尺与圆规找到点位置，某同学做法如下：连接，与交于点，以为圆心，为半径画圆弧，与相交于一点，该点即为所求的点．

请证明该同学的做法．（前面【探索发现】中的结论可直接使用，无需再次证明）

【拓展运用】

如图3，在边长为2的正方形中，点在上，与交于点，过点作的垂线，交于点，交于点，设（），，直接写出关于的函数表达式：_______________．

深圳高级中学集团2022—20233学年第二学期期末测试

初二数学参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

10．如图作辅助线，，，，作30°的，设，在中，由勾股定理得，解得（舍去负值），∴，∴，，≌，∴，由，设，在中，由勾股定理得，解得，∴．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．   12．   13．   14．2   15．17

三、解答题（评分仅供参考，具体以实际改卷为准）

16．（5分）解：原式

  ………………2分

．  ………………5分

17．（6分）原式，  ………………3分

根据分式有意义的条件可知：，  ………………5分

∴代入原式  ………………6分

18．（6分）（1）解：配方，得：，   ………………1分

解得：，  ………………3分

（2）解：解不等式，得．  ………………4分

解不等式，得  ………………5分

∴原不等式组的解集是   ………………6分

19．（6分）解：（1）

 ………………1分

；  ………………2分

（2）∵，

∴，  ………………3分

∴，  ………………4分

∴或，  ………………5分

∴的形状是等腰三角形．  ………………6分

20．（7分）（1）设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元．  ……1分

由题意：  ………………2分

解得，  ………………3分

经检验是分式方程的解，且符合实际意义

答：一件型商品的进价为120元，则一件型商品的进价为150元．  ………………4分

（2）因为客商购进型商品件，销售利润为元．

，

，  ………………5分

由题意：，  ………………6分

∵

∴时，有最小值（元）  ………………7分

21．（7分）（1）证明：∵，∴，

∵为的平分线，∴，∴，

∴，  ………………2分

∵，∴，∵，

∴四边形是平行四边形，  ………………3分

∵，

∴平行四边形是菱形；  ………………4分

（2）解：∵四边形是菱形，对角线，交于点，

∴，，，

∴，  ………………5分

在中，

∴，  ………………6分

∵，∴，

在中，，为中点，

∴．  ………………7分

22．（8分）

（1）如图所示  ………………2分

（2）①如图所示，的解析式为   ………………4分

②，由（1）知，且，又∵桥，∴，

∴四边形是平行四边形，∴，

∴运输路径，

当、、共线且垂直于时，运输路径最短，  ………………6分

由图知是等腰直角三角形，∴，

当坐标为时，，∴，

又∵，由等腰三角形三线合一知点为中点，∴

答：，，能使运输路径最短分．  ………………8分

（②能写出正确答案给2分，解答步骤2分，按实际解答情况的情给分）

23．（10分）

【探索发现】

根据SAS判定证明即可，证明步骤略  ………………2分

结论：，  ………………4分

【问题解决】

过点作的垂线，交于点，交于点，

，又，

∴≌（HL）

可得，所以为等腰直角三角形，∴  ………………7分

由前面结论知，当时，，作于点，则，

∴当旋转至位置时，，、三点共线，这三点所在直线与交于点  …………8分

【拓展运用】

  ………………10分

（的任意等价形式均给分，不需要写的取值范围）