统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练55变量的相关关系统计案例文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练55变量的相关关系统计案例文，共5页。

[基础强化]
一、选择题
1.对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图（2）.由这两个散点图可以判断（ ）
A.变量x与y线性相关，u与v非线性相关
B．变量x与y线性相关，u与v不相关
C．变量x与y线性相关，u与v线性相关
D．变量x与y不相关，u与v不相关
2.[2023·江西省南昌市模拟]根据分类变量x与y的观察数据，计算得到K2＝2.974，依据下表给出的K2独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（ ）
A.有95%的把握认为变量x与y独立
B．有95%的把握认为变量x与y不独立
C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
3.[2023·宝鸡模拟]蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：℃）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据如表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程 eq \(y,\s\up6(^))＝0.25x＋k，则下列说法不正确的是（ ）
A.k的值是20
B．变量x，y呈正相关关系
C．若x的值增加1，则y的值约增加0.25
D．当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预测值为33.5 ℃
4.下表是一位母亲给儿子作的成长记录：
根据以上样本数据，她建立的身高y（cm）与年龄x（周岁）的线性回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝7.19x＋73.96，给出下列结论：
①y与x具有正的线性相关关系；
②回归直线过样本点的中心（42，117.1）；
③儿子10岁时的身高是145.86 cm；
④儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19 cm.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
5.某大学舞蹈社团为了解新生对街舞的喜欢是否与性别有关，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
根据表中数据，求得K2的观测值k0＝ eq \f(460×（26×200－184×50）2,210×250×76×384)≈4.804，则至少有 %的把握认为对街舞的喜欢与性别有关．（ ）
参考数据：
A.90 B．95
C．97.5 D．99
6.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝0.8x－155，后因某未知原因使第5组数据的y值模糊不清，此位置数据记为m（如下表所示），则利用回归方程可求得实数m的值为（ ）
A.8.3 B．8.2
C．8.1 D．8
二、填空题
7.
如图是一组数据（x，y）的散点图，经最小二乘法估计公式计算，y与x之间的线性回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋1，则 eq \(b,\s\up6(^))＝_______．
8.为了检验某套眼保健操预防学生近视的作用，把500名做该套眼保健操的学生与另外500名未做该套眼保健操的学生的视力情况作记录并比较，提出假设H0：“这套眼保健操不能起到预防近视的作用”，利用2×2列联表计算所得的K2≈3.918.经查对临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05.对此，四名同学得出了以下结论：
①有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”；②若某人未做该套眼保健操，那么他有95%的可能近视；③这套眼保健操预防近视的有效率为95%；④这套眼保健操预防近视的有效率为5%.
其中所有正确结论的序号是_______．
9.为了解适龄公务员对放开生育三胎政策的态度，某部门随机调查了200位30～40岁之间的公务员，得到的情况如下表：
则 （填“有”或“没有”）99%以上的把握认为“生三胎与性别有关”．
附：K2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)
[能力提升]
10.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得回归直线方程 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋ eq \(a,\s\up6(^))，其中 eq \(b,\s\up6(^))＝0.76， eq \(a,\s\up6(^))＝ eq \(y,\s\up6(－))－ eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up6(－)).据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭年支出为（ ）
A．11.4万元 B．11.8万元
C．12.0万元 D．12.2万元
11.春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
附：K2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
12.[2023·青岛模拟]某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个．根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过_______．
附：K2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d；
13.某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行5次试验，收集到的数据如表：
由最小二乘法得到回归方程 eq \(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9，则a＝ .
专练55 变量的相关关系、统计案例
1．C 由散点图知，这些点都分布在条形区域内，具有相关关系．
2．D 因为K2＝2.974>2.706，所以变量x与y不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过10%.
3．D 由题意，得
eq \(x,\s\up6(－))＝ eq \f(1,5)×(20＋30＋40＋50＋60)＝40，
eq \(y,\s\up6(－))＝ eq \f(1,5)×(25＋27.5＋29＋32.5＋36)＝30，
则k＝ eq \(y,\s\up6(－))－0.25 eq \(x,\s\up6(－))＝30－0.25×40＝20，
故A正确；
由线性回归方程可知， eq \(b,\s\up6(^))＝0.25>0，
变量x，y呈正相关关系，故B正确；
若x的值增加1，则y的值约增加0.25，故C正确；
当x＝52时， eq \(y,\s\up6(^))＝0.25×52＋20＝33，故D不正确．
4．B 由于线性回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝7.19x＋73.96，7.19>0，即y随x的增大而增大，y与x具有正的线性相关关系，①正确；由计算可得，样本点的中心为(6，117.1)，②错误；当x＝10时， eq \(y,\s\up6(^))＝145.86，此为估计值，所以儿子10岁时的身高的估计值是145.86 cm，而不一定是实际值，③错误；由于回归直线的斜率为7.19，则儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19 cm，④正确，故应选B.
5．B 由题意知，4.804>3.841，所以至少有95%的把握认为对街舞的喜欢与性别有关．
6．D 由题意可得：
eq \(x,\s\up6(－))＝ eq \f(196＋197＋200＋203＋204,5)＝200，
eq \(y,\s\up6(－))＝ eq \f(1＋3＋6＋7＋m,5)＝ eq \f(17＋m,5)，
回归方程过样本中心点，则：
eq \f(17＋m,5)＝0.8×200－155，解得：m＝8.
7．答案：0.8
解析： eq \(x,\s\up6(－))＝ eq \f(0＋1＋3＋4,4)＝2，
eq \(y,\s\up6(－))＝ eq \f(0.9＋1.9＋3.2＋4.4,4)＝2.6，
又 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋1过( eq \(x,\s\up6(－))， eq \(y,\s\up6(－)))，
∴2.6＝2 eq \(b,\s\up6(^))＋1，
eq \(b,\s\up6(^))＝0.8.
8．答案：①
解析：根据查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”，即①正确；95%仅指“这套眼保健操能起到预防近视的作用”的可信程度，所以②③④错误．
9．答案：没有
解析：由于K2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)
＝ eq \f(200×（80×40－40×40）2,120×80×120×80)＝ eq \f(50,9)<6.635，故没有99%以上的把握认为“生三胎与性别有关”．
10．B 由已知得 eq \(x,\s\up6(－))＝ eq \f(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9,5)＝10(万元)， eq \(y,\s\up6(－))＝ eq \f(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8,5)＝8(万元)，故 eq \(a,\s\up6(^))＝8－0.76×10＝0.4，所以回归直线方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝0.76x＋0.4，所以社区一户年收入为15万元的家庭年支出为 eq \(y,\s\up6(^))＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元).
11．C 由2×2列联表得到a＝45，b＝10，c＝30，d＝15，则a＋b＝55，c＋d＝45，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100.代入K2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，得K2的观测值k＝ eq \f(100（675－300）2,55×45×75×25)≈3.030.因为2.706<3.030<3.841.所以有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’与性别有关”．
12．答案：0.025
解析：由题意可得列联表如下，
K2＝ eq \f(105×（45×20－10×30）2,55×50×75×30)≈6.109>5.024.
故犯错误的概率不超过0.025.
13．答案：68
解析：计算可得， eq \(x,\s\up6(－))＝30， eq \(y,\s\up6(－))＝ eq \f(307＋a,5)，所以 eq \f(307＋a,5)＝0.67×30＋54.9，解得a＝68.
P（K2≥k）
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
x（次数/分钟）
20
30
40
50
60
y（℃）
25
27.5
29
32.5
36
年龄/周岁
3
4
5
6
7
8
9
身高/cm
94.8
104.2
108.7
117.8
124.3
130.8
139.1
喜欢街舞
不喜欢街舞
总计
男生
184
26
210
女生
200
50
250
总计
384
76
460
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
196
197
200
203
204
y
1
3
6
7
m
男公务员
女公务员
生三胎
80
40
不生三胎
40
40
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
收入x（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y（万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.025
k
2.706
3.841
5.024
P（K2≥k0）
0.05
0.025
0.010
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
10.828
产品数x个
10
20
30
40
50
产品总成本（元）
62
a
75
81
89
集中培训
分散培训
总计
一次考过
45
30
75
一次未考过
10
20
30
总计
55
50
105